Chọn theo hộp hay theo khối lượng: vì sao xác suất thay đổi
Xác định đơn vị đồng khả năng, chứng minh tác động của khối lượng lên cơ hội được gặp và khôi phục tỉ lệ số hộp từ tỉ lệ khối lượng.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Chọn theo hộp hay theo khối lượng: vì sao xác suất thay đổi
Xác định đơn vị đồng khả năng, chứng minh tác động của khối lượng lên cơ hội được gặp và khôi phục tỉ lệ số hộp từ tỉ lệ khối lượng.
01 · “Chọn ngẫu nhiên” còn thiếu đơn vị được chọn
Chọn đều một hộp và chọn đều một phần hàng có cùng khối lượng là hai phép thử khác nhau. Hộp lớn không có thêm cơ hội trong phép chọn thứ nhất, nhưng chứa nhiều phần hàng có thể được chọn trong phép thứ hai. Vì vậy phải xác định kết quả đồng khả năng trước khi dùng tỉ số thuận lợi trên tổng số.
Xét một lô hàng có N\ge1 hộp. Hộp thứ i nặng w_i kg, các w_i là số nguyên dương. Tổng khối lượng là W=w_1+\cdots+w_N>0. Ta so sánh hai mô hình rõ ràng:
- Chọn đều một trong N hộp: mỗi hộp có xác suất 1/N.
- Chia mỗi hộp thành các phần 1 kg, gắn nhãn phần với hộp gốc, rồi chọn đều một trong W phần: hộp thứ i được gặp với xác suất w_i/W.
Phép chia ở đây định nghĩa một mô hình chọn mới. Nó không phải lời khẳng định rằng khách mua hàng thực tế chọn theo khối lượng, và không làm thay đổi lô hàng đã dùng để đếm.
02 · Từ cơ hội của từng hộp đến cơ hội của một nhóm
Nếu nhóm j có n_j hộp, mỗi hộp nặng a_j>0 kg nguyên, thì nhóm chứa n_ja_j phần một kg. Các nhóm phủ hết lô và không trùng nhau. Hai tỉ lệ của nhóm là
p_j=\frac{n_j}{N},\qquad q_j=\frac{n_ja_j}{W}.
Đặt \mu=W/N>0, là khối lượng trung bình của một hộp trong lô. Khi n_j>0,
\frac{q_j}{p_j}=\frac{a_j}{\mu}.
Vậy một nhóm hộp nặng hơn mức trung bình có tỉ lệ lớn hơn khi chọn theo phần hàng; nhóm nhẹ hơn có tỉ lệ nhỏ hơn; nhóm đúng mức trung bình giữ nguyên. Nhóm rỗng có p_j=q_j=0, không dùng phép chia q_j/p_j.
Ở cấp từng hộp, cơ hội được chọn theo phần hàng bằng cơ hội chọn đều hộp khi và chỉ khi w_i=W/N. Vì thế hai phép chọn cho cùng cơ hội đối với mọi hộp khi và chỉ khi tất cả hộp có cùng khối lượng. Chiều đủ là thay w_i=a, W=Na; chiều cần là w_i/W=1/N cho cùng một w_i=W/N với mọi i.
03 · Một lô hàng đầy đủ từ dữ kiện nguồn
Lô hộp na trong mẫu được chọn gồm 15 hộp loại 1 kg, 25 hộp loại 2 kg, 6 hộp loại 5 kg và 4 hộp loại 10 kg. Mỗi khách trong danh sách mua đúng một hộp. Tổng là 50 hộp, ứng với 50 khách; tổng khối lượng là
W=15\cdot1+25\cdot2+6\cdot5+4\cdot10=135\text{ kg}.
Chọn đều một khách từ đúng danh sách này tương đương chọn đều một hộp đã mua. Biến cố hộp có khối lượng ít nhất 5 kg có 6+4=10 hộp thuận lợi, nên xác suất là 10/50=1/5. Đây là kết luận về phép chọn trên danh sách đã biết, không suy ra xác suất của mọi khách tương lai.
Đổi sang phép chọn đều một phần 1 kg của cùng lô: các hộp loại 5 và 10 kg chứa tổng 6\cdot5+4\cdot10=70 phần. Xác suất phần được chọn xuất phát từ một hộp ít nhất 5 kg là
\frac{70}{135}=\frac{14}{27}\approx51{,}85\%.
Mỗi hộp 10 kg có 10 phần thuận lợi để được gặp, trong khi hộp 1 kg chỉ có một. Cơ hội của hai hộp cụ thể có tỉ số 10:1, dù khi chọn đều hộp thì tỉ số là 1:1.
Mỗi thanh đủ dài biểu thị 100\%. Phần xanh là biến cố cần xét: 216/5=43{,}2 đơn vị hình ở hàng đầu, 216\cdot14/27=112 ở hàng sau. Tỉ lệ thay đổi vì kết quả đồng khả năng thay đổi.
04 · Vì sao nhóm hộp lớn luôn được tăng trọng số?
Xét một mốc khối lượng, chia lô thành nhóm lớn và nhóm nhỏ. Giả sử cả hai nhóm đều có hộp. Gọi p\in(0;1) là tỉ lệ số hộp lớn, A là khối lượng trung bình của nhóm lớn, B là trung bình nhóm nhỏ. Nếu nhóm lớn chứa các hộp từ mốc trở lên và nhóm nhỏ chứa các hộp dưới mốc, thì A>B>0.
Tỉ lệ khối lượng nằm trong nhóm lớn là
q=\frac{pA}{pA+(1-p)B}.
Mẫu dương. Trừ hai tỉ lệ:
q-p=\frac{p(1-p)(A-B)}{pA+(1-p)B}>0.
Vậy xác suất gặp nhóm hộp lớn tăng nghiêm ngặt khi đổi đơn vị chọn từ hộp sang phần khối lượng. Nếu một nhóm rỗng, xác suất bằng 0 hoặc 1 trong cả hai cách, nên không có tăng nghiêm ngặt.
Trong lô nguồn, p=1/5, nhóm lớn có trung bình 70/10=7 kg, nhóm nhỏ có trung bình 65/40=13/8 kg. Thay vào công thức cho q=14/27, và độ tăng bằng 14/27-1/5=43/135. Nhận xét về hướng thay đổi đã được chứng minh cho mọi lô hợp mô hình, không chỉ do hai con số này tình cờ khác nhau.
05 · Hộp gặp được theo khối lượng có mức trung bình nào?
Gán cho mỗi phần 1 kg nhãn bằng khối lượng của hộp gốc. Hộp nặng w_i tạo w_i nhãn cùng bằng w_i, đóng góp w_i^2 vào tổng các nhãn. Trung bình các nhãn của W phần, cũng là trung bình theo cơ chế chọn phần hàng, bằng
\nu=\frac{w_1^2+\cdots+w_N^2}{W}.
So với trung bình hộp \mu=W/N,
\nu-\mu=\frac{N(w_1^2+\cdots+w_N^2)-W^2}{NW}.
Tử số bằng tổng (w_i-w_j)^2 trên tất cả các cặp hộp khác nhau, mỗi cặp chỉ lấy một lần. Khi khai triển tổng này, mỗi w_i^2 xuất hiện N-1 lần, còn mỗi tích w_iw_j có hệ số -2. Khai triển W^2 xác nhận đúng đẳng thức ấy. Do đó \nu\ge\mu; dấu bằng khi và chỉ khi mọi cặp khối lượng bằng nhau. Với N=1, tổng cặp rỗng bằng 0, và hai trung bình cũng bằng nhau.
Trong lô nguồn, tổng nhãn là 15\cdot1^2+25\cdot2^2+6\cdot5^2+4\cdot10^2=665. Vì thế \nu=133/27\approx4{,}93 kg, trong khi \mu=135/50=2{,}7 kg. Con số 4{,}93 mô tả khối lượng hộp gốc được gặp ; phần hàng đang chọn vẫn chỉ nặng 1 kg.
06 · Đi ngược từ tỉ lệ khối lượng sang tỉ lệ số hộp
Nếu biết từng loại hộp nặng a_j>0 và tỉ lệ khối lượng của từng loại là q_j\ge0, tổng các q_j bằng 1, ta có thể khôi phục tỉ lệ số hộp. Chia mỗi tỉ lệ khối lượng cho khối lượng một hộp:
\frac{q_j}{a_j}=\frac{n_j}{W}.
Cộng tất cả, đặt T=q_1/a_1+\cdots+q_m/a_m=N/W>0. Vậy
p_j=\frac{q_j/a_j}{T}.
Chiều đảo được kiểm trực tiếp: các p_j không âm, tổng bằng 1, và \sum p_ja_j=1/T; khi chuyển trở lại tỉ lệ khối lượng, p_ja_j/(1/T)=q_j. Đây là một cách khôi phục duy nhất về tỉ lệ.
Tuy nhiên, muốn có đúng N hộp thật, còn cần và đủ mọi Np_j là số nguyên không âm. Khi điều kiện ấy đúng, lấy n_j=Np_j sẽ dựng đúng các tỉ lệ; nếu một số không nguyên, không có lô với đúng cỡ N đã yêu cầu. Nếu chưa biết N, các tỉ lệ chưa quyết định số lượng tuyệt đối.
Ví dụ mới: hộp loại 1 và 2 kg đóng góp mỗi loại một nửa khối lượng. Các số q_j/a_j là 1/2,1/4, nên tỉ lệ hộp là 2/3,1/3. Lô 3 hộp dựng được bằng 2 hộp nhỏ và 1 hộp lớn; lô 2 hộp không dựng được. Với các khối lượng nguyên và tỉ lệ khối lượng hữu tỉ, ta luôn chọn được một N đủ lớn là bội chung các mẫu của p_j để dựng một lô.
07 · Tự kiểm cơ chế chọn
Khôi phục bốn tỉ lệ hộp của lô nguồn từ phần khối lượng
Bốn tỉ lệ khối lượng là 15/135,50/135,30/135,40/135. Chia cho 1,2,5,10, ta được 15/135,25/135,6/135,4/135, tổng 50/135. Chuẩn hóa cho 15/50,25/50,6/50,4/50, đúng dữ kiện nguồn. Biết thêm N=50 mới trả lại bốn tần số.
Chọn đều một trong bốn loại rồi chọn đều hộp của loại ấy có giống hai phép thử trên không?
Không. Đây là phép thử thứ ba: mỗi loại có xác suất 1/4, nên hộp từ 5 kg trở lên có xác suất 2/4=1/2. Mỗi hộp trong loại 10 kg có cơ hội 1/16, mỗi hộp trong loại 1 kg có cơ hội 1/60; chúng không đồng khả năng.
Đổi phần 1 kg thành phần nửa kg có làm thay đổi xác suất không?
Mỗi hộp tạo gấp đôi số phần, cả tử và mẫu cùng nhân 2, nên xác suất của mọi nhóm hộp giữ nguyên. Đơn vị phần khối lượng thay đổi đồng đều không thay đổi cơ chế chọn theo khối lượng.
Chỉ biết tổng khối lượng của hai nhóm có đủ để biết số hộp không?
Chưa đủ nếu không biết khối lượng mỗi loại hoặc trung bình mỗi nhóm. Cùng 10 kg có thể là 10 hộp 1 kg hoặc một hộp 10 kg. Muốn chuyển đơn vị đếm, cần dữ kiện nối khối lượng với số hộp.
Trước một xác suất từ bảng, hãy nói rõ mình chọn đều hộp, khách, loại hàng hay phần khối lượng. Cùng một lô có thể cho nhiều kết quả đúng, miễn là mỗi kết quả đi cùng đúng phép thử và đúng mẫu số.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện