Phí cố định và phí theo lượng dùng: hiểu giao điểm, chọn đúng miền
Từ lời mô tả đến hàm chi phí: giao điểm, hiệu hai hàm, ngân sách, số nguyên và giá theo từng khoảng. Đồ thị đúng tọa độ, phản ví dụ và tự kiểm có lí do.
TOÁN 9 · HÀM SỐ VÀ MÔ HÌNH CHI PHÍ
Phí cố định và phí theo lượng dùng: hiểu giao điểm, chọn đúng miền
Một phương án có phí ban đầu thấp chưa chắc luôn rẻ hơn. Một phương án tăng chậm hơn cũng chưa chắc rẻ hơn trong mức sử dụng của em. Muốn so sánh, phải biến lời mô tả thành hai hàm số có cùng biến, cùng đơn vị và cùng khoảng áp dụng.
Mục tiêu: giải thích ý nghĩa hệ số; tự dựng đồ thị; dùng hiệu hai hàm để tìm khoảng có lợi; xử lí ngân sách, đơn vị tính nguyên và mức giá có điều kiện; kiểm lại kết luận bằng bối cảnh.
Cần biết: hàm số bậc nhất, tọa độ điểm, phương trình và bất phương trình bậc nhất. Tất cả bảng giá dưới đây là tình huống giả định tự biên soạn, không phải lời chào giá thực tế.
1. Từ lời mô tả đến hai thành phần của chi phí
Một dịch vụ thuê thiết bị thu 36 nghìn đồng phí mở lượt và 4 nghìn đồng cho mỗi giờ sử dụng. Gọi x là số giờ được tính tiền, C(x) là chi phí tính bằng nghìn đồng. Mô hình là:
C(x)=36+4x,\qquad x\ge0.
Số 36 là khoản không đổi trong một lượt. Hệ số 4 cho biết chi phí tăng 4 nghìn đồng khi số giờ tăng một đơn vị. Hai số có vai trò và đơn vị khác nhau: 36 tính bằng nghìn đồng; 4 tính bằng nghìn đồng/giờ. Nhân 4 với số giờ rồi mới cộng được với 36.
Ở đây phí mở lượt được thu ngay khi bắt đầu thuê: C(0)=36 mô tả khoản ấy. Nếu khách không thuê thì trả 0 là một tình huống khác, nằm ngoài lượt thuê đang xét. Không coi giá trị tại 0 của công thức là bằng chứng một người không dùng dịch vụ vẫn phải trả tiền.
Dự đoán. Dùng 5 giờ phải trả 40 nghìn đồng vì 36+4=40, hay 56 nghìn đồng? Hãy chỉ ra phép nhân nào đang bị bỏ quên.
Giải thích bằng từng khoản, rồi tổng quát hóa
Tiền theo giờ là 4\cdot5=20 nghìn đồng. Tổng là 36+20=56 nghìn đồng. Với mô hình p+qx, mỗi lần dùng thêm t giờ thì chi phí tăng qt, không cộng thêm phí cố định p một lần nữa trong cùng lượt.
Một mô hình phải khai báo cả biến và phạm vi. Trong phần đầu, ta giả sử tính tiền chính xác theo thời gian sử dụng, không có giảm giá, trần phí, phụ thu hoặc làm tròn giờ. Những điều kiện ấy sẽ được thay đổi có chủ đích ở phần sau.
2. Dựng đồ thị từ ý nghĩa, không vẽ hai đường cho có
Xét hai phương án cho cùng một lượt thuê:
A(x)=36+4x,\qquad B(x)=72+2x,\qquad x\ge0.
Phương án A bắt đầu thấp hơn nhưng tăng nhanh hơn. Phương án B bắt đầu cao hơn nhưng tăng chậm hơn. Để dựng mỗi đường thẳng, dùng giá trị khi x=0 và thêm một điểm có tọa độ tính được. Chẳng hạn A(30)=156, B(30)=132.
Đường A: 36 + 4x; đường B: 72 + 2x (chi phí tính bằng nghìn đồng). Tọa độ vẽ dùng X=100+15x, Y=350-1{,}5C. Hai trục có đơn vị khác nhau; độ dốc nhìn trên màn hình còn phụ thuộc tỉ lệ hai trục. Kết luận nhanh hay chậm phải dựa vào hệ số tăng chi phí 4 và 2, không đo góc bằng mắt.
Giao điểm biểu thị cùng lượng dùng, cùng chi phí . Hoành độ 18 là số giờ; tung độ 108 là số nghìn đồng. Không đổi chỗ hai ý nghĩa này. Đồ thị chỉ vẽ đoạn từ 0 đến 30 giờ để quan sát; phạm vi áp dụng giả định của công thức rộng hơn khung hình.
Hãy tự kiểm điểm giao: A(18)=36+72=108 và B(18)=72+36=108. Một điểm nhìn giống giao nhau trên hình chưa đủ; thay vào cả hai công thức mới xác nhận.
3. Một hiệu số thay cho nhiều phép thử rời rạc
Tìm giao điểm bằng phương trình A(x)=B(x) chỉ cho biết khi nào hai giá bằng nhau. Muốn biết mỗi bên rẻ hơn ở khoảng nào, xét hiệu:
D(x)=A(x)-B(x)=2x-36=2(x-18).
Nếu D(x)<0, A nhỏ hơn B, nên A rẻ hơn. Nếu D(x)>0, B rẻ hơn. Nếu D(x)=0, hai phương án bằng nhau. Do hệ số 2 dương, dấu của hiệu chính là dấu của x-18.
0\le x<18:\ A(x)<B(x);\qquad x=18:\ A(x)=B(x);\qquad x>18:\ A(x)>B(x).
Kiểm bằng hai mốc: ở 10 giờ, A bằng 76 còn B bằng 92, nên A tiết kiệm 16 nghìn đồng. Ở 25 giờ, A bằng 136 còn B bằng 122, nên B tiết kiệm 14 nghìn đồng. Hai phép thử giúp phát hiện đảo dấu, nhưng lập luận bằng hiệu mới chứng minh toàn bộ khoảng.
Đừng viết “A tốt hơn B” mà bỏ lượng dùng. Kết luận đúng có điều kiện: A rẻ hơn trong khoảng nào, bằng nhau ở đâu, B rẻ hơn ở đâu. Giá rẻ cũng chỉ là tiêu chí đang được mô hình hóa; chất lượng hay điều kiện sử dụng chưa có trong dữ kiện.
Kiểm lỗi: một bạn tìm được x = 18 rồi kết luận A luôn rẻ hơn vì 36 nhỏ hơn 72
Bạn ấy chỉ so sánh phí cố định. Hiệu A-B=2x-36 tăng theo x, vì A có đơn giá cao hơn. Tại x=25, hiệu bằng 14 dương, là phản ví dụ cụ thể cho từ “luôn”.
4. Ngân sách là một câu hỏi ngược
“Dùng 20 giờ phải trả bao nhiêu?” thay x=20 vào hàm. “Có tối đa 100 nghìn đồng thì dùng được bao lâu?” lại là tìm x thỏa bất phương trình. Với ngân sách M nghìn đồng, một phương án C(x)=p+qx, q>0, yêu cầu:
p+qx\le M\quad\Longleftrightarrow\quad x\le\frac{M-p}{q}.
Phải ghép với x\ge0. Nếu M<p, không đủ tiền mở lượt theo mô hình. Nếu M=p, chỉ có x=0: chưa có thời gian sử dụng dương. Nếu M>p, mới có một khoảng thời gian dương được phép.
Thử trước. Với 100 nghìn đồng, phương án B có đơn giá thấp hơn có cho dùng lâu hơn A không?
Giải bằng ngân sách còn lại sau phí mở lượt
A còn 100-36=64, đủ 64/4=16 giờ. B còn 100-72=28, đủ 28/2=14 giờ. A cho dùng lâu hơn vì phí cố định thấp hơn quan trọng trong ngân sách này.
Với ngân sách 120, A cho tối đa (120-36)/4=21 giờ; B cho tối đa (120-72)/2=24 giờ. Kết luận đổi khi ngân sách đổi. Hai phương án cùng cho 18 giờ tại ngân sách 108, đúng với giao điểm đã tìm.
Không lấy phần tiền tiết kiệm ở một mức dùng rồi mặc nhiên nhân 12 để kết luận tiết kiệm một năm. Cần giả thiết mức dùng và điều kiện thu phí giống nhau trong cả 12 tháng; nếu phí cố định là phí mở lượt, số lượt thuê cũng phải được tính.
5. Miền số nguyên và cách tính phí có thể đổi câu trả lời
Nếu dịch vụ thu theo mỗi giờ bắt đầu , biến tính tiền không còn là thời gian thực liên tục. Một lượt 2 giờ 15 phút được tính 3 giờ. Với gói A, trả 36+4\cdot3=48 nghìn đồng, không phải 36+4\cdot2{,}25=45.
Hãy gọi n là số giờ tính tiền, một số nguyên dương khi có sử dụng. Khi hai gói cùng làm tròn theo cách này, ta vẫn so sánh 36+4n và 72+2n, nhưng chỉ xét các giá trị nguyên của n. B bắt đầu rẻ hơn tại n=19; ở n=18, hai giá vẫn bằng nhau.
Trục thời gian chia đều 160 đơn vị hình cho một giờ; điểm thực dùng ở x=2{,}25, cách mốc 2 đúng một phần tư khoảng từ 2 đến 3. Quy tắc làm tròn đến giờ bắt đầu tiếp theo là điều kiện hợp đồng giả định, không phải quy tắc tự thêm vào mọi bài.
Với ngân sách 99 nghìn đồng và gói A tính theo giờ bắt đầu, bất phương trình cho n\le15{,}75. Số giờ tính tiền nguyên tối đa là 15. Đừng làm tròn 15,75 lên 16: khi đó chi phí là 100, vượt ngân sách.
Trong câu hỏi “nhiều nhất mà không vượt”, lấy số nguyên lớn nhất vẫn thỏa bất phương trình rồi thay ngược. Trong câu hỏi “ít nhất để vượt một ngưỡng”, kiểm cả dấu nghiêm và giá trị sát biên. Làm tròn gần nhất không thay cho kiểm điều kiện.
6. Mô hình thay đổi: một đường thẳng chưa chắc đủ
Hai đường có thể không giao trong miền dùng. So sánh C(x)=30+3x, D(x)=50+3x: cùng đơn giá, C luôn thấp hơn 20 nghìn đồng với mọi x\ge0. Không có một lượng dùng làm chúng bằng nhau.
So sánh E(x)=20+2x, F(x)=40+3x: giải bằng nhau cho x=-20, nhưng số giờ dùng không âm. Trong miền hợp lệ, F-E=20+x>0, nên E luôn rẻ hơn. Một giao điểm trên toàn mặt phẳng có thể không có ý nghĩa trong bối cảnh.
Gói có giờ miễn phí phải tách khoảng. Gói G thu 60 nghìn đồng cho tối đa 3 giờ đầu; phần vượt 3 giờ thu 5 nghìn đồng mỗi giờ, tính chính xác theo thời gian. Khi đó:
G(x)=\begin{cases}60,&0\le x\le3,\\60+5(x-3),&x>3.\end{cases}
Ở 2 giờ, trả 60; ở 5 giờ, trả 70. Công thức 60+5x sai vì tính tiền lại 3 giờ đã bao gồm. Hai nhánh khớp tại 3: phí vẫn là 60, không nhảy thành 75.
Chuyển phương pháp: so sánh G với A khi 0 đến 10 giờ
Với 0\le x\le3, A(x)\le48<60=G(x). Với x>3, G(x)=45+5x, nên G(x)-A(x)=9+x>0. Vậy trong miền 0 đến 10, A luôn rẻ hơn. Tách mô hình theo khoảng trước rồi mới so sánh; không kéo dài nhánh thứ hai về 0.
Trước khi tính, đọc rõ khoản đặt cọc có hoàn lại, phí một lần hay mỗi lượt, giá đã gồm khoản nào, thời hạn ưu đãi và cách làm tròn. Dữ kiện chưa có thì nêu giới hạn; không tự đặt một con số để công thức có vẻ đầy đủ.
7. Tự kiểm: mỗi đáp án phải có miền và đơn vị
A. Vì sao 40+6x không có nghĩa phí cố định 6 và đơn giá 40?
Thay x=0 cho chi phí 40. Khi x tăng 1, chi phí tăng 6. Vì vậy 40 là phí cố định, 6 là đơn giá trên một đơn vị dùng. Cách kiểm bằng thay số đáng tin hơn vị trí số được đọc vội.
B. Hai gói 20+5x và 50+2x bằng nhau khi nào?
Hiệu là 3x-30, bằng 0 tại x=10. Giá chung là 70 (theo đơn vị tiền đã chọn). Gói thứ nhất rẻ hơn khi 0\le x<10, gói thứ hai rẻ hơn khi x>10.
C. Dùng 8 đơn vị ở câu B thì tiết kiệm bao nhiêu khi chọn gói rẻ hơn?
Hai phí là 60 và66; chọn gói thứ nhất tiết kiệm 6 đơn vị tiền. Hiệu phí bằng 3\cdot8-30=-6; dấu âm chỉ phương án rẻ, độ lớn 6 là số tiền tiết kiệm.
D. Ngân sách 79, phí 20+5n, n nguyên không âm: dùng được nhiều nhất bao nhiêu?
n\le(79-20)/5=11{,}8, nên tối đa 11. Kiểm: 11 đơn vị tốn 75; 12 tốn 80, vượt 79. Không làm tròn 11,8 lên 12.
E. Chỉ có 30 nhưng phí mở lượt 40: thay công thức cho số giờ âm có chấp nhận không?
Không. Số âm báo giao của điều kiện ngân sách với miền x\ge0 là rỗng. Không đủ tiền mở lượt; số giờ âm không phải một lựa chọn sử dụng.
F. Hai gói 50+2x và 30+2x có điểm hòa vốn ở 10 không?
Không. Hiệu luôn 20, không phụ thuộc x. Hai đồ thị song song và khác nhau; gói thứ hai luôn rẻ hơn 20 trong miền dùng chung.
G. Gói 60 gồm 3 giờ đầu rồi 5 mỗi giờ vượt: 4,5 giờ tốn bao nhiêu?
Phần vượt là 4{,}5-3=1{,}5 giờ, nên G(4{,}5)=60+5\cdot1{,}5=67{,}5 nghìn đồng. Không dùng quy tắc giờ bắt đầu, vì mô hình G đã nói tính chính xác theo thời gian.
H. Hai đường cắt tại (-5;20) có đủ nói đổi phương án sau 5 giờ không?
Không. Hoành độ giao là -5, không phải5. Nếu biến là thời gian dùng không âm, giao điểm nằm ngoài miền. Cần xét dấu của hiệu hai hàm trong x\ge0; không bỏ dấu âm để làm dữ kiện hợp bối cảnh.
Quy trình có thể dùng lại: đặt biến cùng đơn vị; ghi miền; dựng chi phí từ từng khoản; lấy hiệu để so sánh; giải bất phương trình khi có ngân sách; kiểm số nguyên và điều kiện giá; thay ngược một mốc mỗi phía của ngưỡng.
Chuyên đề tự biên soạn · Mô hình giả định minh bạch · Lập luận có điều kiện thay cho chọn đáp án theo đề