Từ tổng hàng đến tải mỗi xe: mô hình hai trạng thái
Chuyên đề Toán 9: lập bảng tổng hàng–số xe–tải bình quân trước và sau thay đổi; so tỉ lệ tăng, viết phương trình đúng dấu và kiểm tra nghiệm thực tế.
LUKATO · THCS · TOÁN 9 · MÔ HÌNH HÓA
Từ tổng hàng đến tải mỗi xe: mô hình hai trạng thái
Khi cả lượng hàng lẫn số xe cùng thay đổi, trực giác “nhiều xe hơn thì mỗi xe chở ít hơn” có thể sai. Một bảng hai trạng thái và một phép so tỉ lệ sẽ giúp em dựng quan hệ đúng trước khi lập phương trình.
Đặt ẩn có đơn vị Bảng hai trạng thái Tỉ số và phần trăm Điều kiện nghiệm
01 · Ba đại lượng, một quan hệ không đổi
Tải bình quân mỗi xe bằng tổng khối lượng hàng chia cho số xe, với giả thiết các xe chia đều hàng. Không được lấy số xe của trạng thái này chia cho lượng hàng của trạng thái khác.
\text{tải mỗi xe}=\frac{\text{tổng khối lượng hàng}}{\text{số xe}}.
Tổng hàng
Kí hiệu A, đơn vị tấn. Nếu hàng thêm d tấn thì tổng mới là A+d.
Số xe
Kí hiệu n, là số nguyên dương. Nếu điều thêm k xe thì số mới là n+k.
Tải cũ
q_0=A/n, đơn vị tấn/xe.
Tải mới
q_1=(A+d)/(n+k), cùng đơn vị để so sánh.
Giả thiết phải nói rõ: mô hình chỉ dùng được khi “mỗi xe chở như nhau” hoặc đề nói đến tải bình quân. Nếu tải mỗi xe khác nhau và không cho quy tắc phân chia, một phép chia không mô tả được từng xe.
02 · Vẽ hai trạng thái để tránh trộn dữ kiện
Mỗi ô dọc là một trạng thái hoàn chỉnh. Không ghép A với n+k trừ khi đó là một tình huống mới được nêu rõ.
Trạng thái · Khối lượng · Số xe · Mỗi xe
Ban đầu · A tấn · n xe · A/n tấn/xe
Sau điều chỉnh · A+d tấn · n+k xe · (A+d)/(n+k) tấn/xe
03 · Khi nào nhiều xe hơn thật sự làm tải mỗi xe giảm?
Giả sử A>0,n>0,k>0 và lượng hàng mới A+d>0. So sánh tải cũ và mới bằng cách nhân với n(n+k)>0, nên chiều bất đẳng thức được giữ nguyên:
\frac{A}{n}>\frac{A+d}{n+k}\quad\Longleftrightarrow\quad A(n+k)>n(A+d)\quad\Longleftrightarrow\quad Ak>nd.
Với d\ge0, chia hai vế cho An>0 cho cách đọc sâu hơn:
\frac{k}{n}>\frac{d}{A}.
Tải bình quân giảm khi tỉ lệ tăng số xe lớn hơn tỉ lệ tăng lượng hàng. Nếu bằng nhau thì tải không đổi; nếu tỉ lệ tăng hàng lớn hơn thì mỗi xe chở nhiều hơn, dù số xe cũng tăng.
Phản ví dụ trực giác: 10 xe chia 60 tấn thì mỗi xe 6 tấn. Sau đó 12 xe chia 120 tấn thì mỗi xe 10 tấn. Số xe tăng nhưng hàng tăng mạnh hơn, nên tải mỗi xe tăng.
04 · Từ câu chữ sang phương trình: dấu là một quyết định về nghĩa
Nếu tải mỗi xe giảm c tấn với c>0, phương trình là “giá trị cũ trừ giá trị mới bằng mức giảm”. Nếu tải tăng thì đảo thứ tự. Viết câu bằng lời trước khi viết kí hiệu.
q_0-q_1=c\quad\Longrightarrow\quad\frac{A}{n}-\frac{A+d}{n+k}=c.
Nhân hai vế với n(n+k) được cấu trúc đại số tổng quát:
Ak-dn=c n(n+k)\quad\Longleftrightarrow\quad c n^2+(ck+d)n-Ak=0.
Đây là phương trình theo số xe ban đầu n. Việc lập đúng phương trình quan trọng hơn việc vội tính nghiệm. Sau khi giải, chỉ giữ nghiệm nguyên dương phù hợp số xe, kiểm tra lại tải cũ, tải mới và quan hệ “giảm c tấn”.
Miền
n\in\mathbb{N}^*; nếu số xe mới là n+k, cũng cần n+k>0.
Đơn vị
A/n và (A+d)/(n+k) đều có đơn vị tấn/xe; c phải cùng đơn vị.
Khả thi
Nếu đề nói giảm tải mà số liệu cho Ak\le nd, giả thiết hoặc cách hiểu cần kiểm tra lại.
Nghiệm ngoại cảnh
Nghiệm âm hoặc không nguyên có thể giải đúng phương trình nhưng không thể là số xe.
05 · Ba lỗi thường gặp và cách tự phát hiện
Cách viết sai · Vì sao sai? · Phép kiểm nhanh
(A+d)/n cho trạng thái mới · Hàng đã đổi nhưng vẫn dùng số xe cũ. · Đọc lại cùng một cột trạng thái trong bảng.
A/(n+k) cho trạng thái mới · Xe đã đổi nhưng bỏ quên hàng thêm. · Đọc lại cả hai thay đổi.
q_1-q_0=c khi nói “giảm” · Trái dấu với nghĩa: giảm nghĩa là q_1<q_0. · Thử thế q_0=8,q_1=7: biểu thức nào bằng 1?
Kiểm tra độ lớn cũng hữu ích: nếu d=0 và k>0, tải mới phải nhỏ hơn tải cũ; một phương trình cho điều ngược lại chắc chắn đã sai dấu hoặc sai mẫu.
06 · Chuyển giao sang những bối cảnh khác
Cấu trúc “tổng chia số phần” xuất hiện ở nhiều câu chuyện. Chỉ chuyển mô hình khi giả thiết chia đều vẫn đúng.
Chia nước vào chai
Tổng lít / số chai = lít mỗi chai. Thêm chai và thêm nước cần theo dõi trong hai trạng thái riêng.
Chia quà vào túi
Tổng món / số túi = số món mỗi túi, với yêu cầu số món là số nguyên nếu không được chia nhỏ.
Chia việc cho nhóm
Tổng khối lượng việc / số nhóm là bình quân; thời gian hoàn thành chỉ suy ra được nếu năng suất các nhóm như nhau.
Bài ngược
Khi biết tải bình quân và số xe, tổng hàng là tích; đừng mặc định luôn phải lập phân thức.
Tự kiểm: tỉ lệ tăng xe bằng tỉ lệ tăng hàng thì sao?
Tải bình quân không đổi. Từ Ak=nd suy ra A/n=(A+d)/(n+k) khi các mẫu dương.
Tự kiểm: tại sao phải thử lại nghiệm trong câu chuyện?
Phương trình đại số có thể có nghiệm âm hoặc không nguyên. Số xe phải là số nguyên dương, và thế lại vào cả hai trạng thái phải khớp quan hệ tải.
Thẻ ghi nhớ: hai trạng thái → giữ đúng cặp tổng/số phần → so tải → viết dấu bằng lời → giải → trả nghiệm về đơn vị và điều kiện thực tế.
LUKATO · Chuyên đề mô hình hóa hai trạng thái · Ví dụ minh họa riêng; không cung cấp lời giải của một đề thi cụ thể.