Diện tích và ngân sách: chọn vườn khi chi phí có nhiều phần
Dùng đồng dạng để lập mô hình kích thước, so sánh chi phí của hai hình cùng diện tích và chứng minh thiết kế tối ưu dưới một ngân sách có điều kiện.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Diện tích và ngân sách: chọn vườn khi chi phí có nhiều phần
Dùng đồng dạng để lập mô hình kích thước, so sánh chi phí của hai hình cùng diện tích và chứng minh thiết kế tối ưu dưới một ngân sách có điều kiện.
01 · Đơn giá và ngân sách là hai loại dữ kiện
Nếu chi phí chỉ bằng một đơn giá dương nhân diện tích, hình có diện tích lớn nhất cũng có chi phí lớn nhất. Nhưng nếu yêu cầu là làm diện tích lớn nhất trong một ngân sách cho trước , trước hết phải kiểm tra hình ấy có trả được hay không. Khi thêm chi phí theo chu vi, hai hình cùng diện tích còn có thể tốn tiền khác nhau.
Ta nghiên cứu một vườn hình chữ nhật có một cạnh trên đáy của khu đất tam giác. Mục tiêu là viết rõ quan hệ giữa kích thước, diện tích, chu vi và tiền, rồi xác định các thiết kế thật sự được phép. Mọi khoản tiền dưới đây là dữ kiện của mô hình toán học, cùng đơn vị triệu đồng.
02 · Một tham số mô tả cả họ vườn
Cho tam giác có đáy dài b>0, chiều cao h>0, chân đường cao nằm trên đoạn đáy. Vườn có hai đỉnh trên đáy và hai đỉnh còn lại trên hai cạnh bên; cạnh trên song song đáy. Gọi chiều cao vườn là th, với 0<t<1. Đồng dạng giữa tam giác nhỏ phía trên và tam giác lớn cho chiều rộng b(1-t).
Mọi t trong miền đều dựng được. Thật vậy, đặt hai đầu đáy ở (0,0),(b,0), đỉnh ở (d,h), với 0\le d\le b. Hai đầu cạnh trên ở (td,th), ((1-t)b+td,th). Hình chiếu của chúng xuống đáy nằm trong đoạn đáy, cách nhau b(1-t)>0; chiều cao th>0. Ngược lại, mỗi vườn của họ có đúng một tỉ lệ chiều cao t.
S(t)=bh\,t(1-t),\qquad P(t)=2b+2(h-b)t.
Diện tích lớn nhất là bh/4, đạt duy nhất tại t=1/2, vì t(1-t)=1/4-(t-1/2)^2. Hai đầu t=0,1 làm vườn suy biến, nên chỉ dùng để hiểu cận, không gọi là thiết kế hợp lệ.
03 · Hai hình cùng diện tích, hình nào có chu vi nhỏ hơn?
Hai tham số t và 1-t cho cùng diện tích. Hiệu chu vi là
P(t)-P(1-t)=2(b-h)(1-2t).
Nếu b>h và t<1/2, hiệu dương. Trong cặp ấy, vườn cao hơn, hẹp hơn có chu vi nhỏ hơn. Nếu b<h, thứ tự đảo lại; nếu b=h, hai chu vi bằng nhau. Đây là kết luận có điều kiện, không phải quy tắc “hình cao luôn rẻ hơn”.
Giả sử phí làm mặt vườn là p>0 triệu đồng mỗi mét vuông và phí viền đủ bốn cạnh là q\ge0 triệu đồng mỗi mét. Tổng chi phí là
C(t)=pS(t)+qP(t).
Với q>0,b>h, trong hai hình cùng diện tích, hình có t>1/2 rẻ hơn nghiêm ngặt. Nếu q=0, hai hình cùng diện tích có cùng chi phí. Một ràng buộc ngân sách C(t)\le B phải được xét trên đúng công thức chi phí đã nêu.
04 · Mẫu gốc: chỉ tính tiền theo diện tích
Khu đất ABC vuông tại A, AB=6\,\mathrm m, AC=8\,\mathrm m. Vườn chữ nhật MNPQ có M,N\in BC, Q\in AB,P\in AC. Đơn giá làm vườn là 1{,}2 triệu đồng mỗi mét vuông; không có khoản viền riêng trong dữ kiện này.
Ta có BC=10\,\mathrm m. Diện tích tam giác là 24\,\mathrm m^2, nên chiều cao xuống BC bằng 4{,}8\,\mathrm m. Chân cao nằm trong cạnh huyền, đúng điều kiện dựng. Vậy trong mô hình, b=10,h=4{,}8,
S(t)=48t(1-t)\le12.
Tại t=1/2, hai kích thước là 5 m và 2{,}4 m, diện tích 12 mét vuông. Chi phí tương ứng là 1{,}2\cdot12=14{,}4 triệu đồng. Đây là tiền cần cho vườn lớn nhất khi không có trần ngân sách, không phải một ngân sách được cho trước.
05 · Thêm phí viền: miền được phép có thể tách thành hai phần
Tình huống mới giữ khu đất và đơn giá mặt vườn, thêm phí viền 0{,}5 triệu đồng mỗi mét cho cả bốn cạnh. Ngân sách là 19{,}5 triệu đồng. Chu vi và chi phí trở thành
P(t)=20-10{,}4t,
C(t)=1{,}2\cdot48t(1-t)+0{,}5(20-10{,}4t)=10+52{,}4t-57{,}6t^2.
Hình có diện tích lớn nhất t=1/2 tốn 21{,}8 triệu đồng, vượt ngân sách. Điều kiện chi phí được phân tích chính xác:
C(t)-19{,}5=-\frac{288}{5}\left(t-\frac14\right)\left(t-\frac{95}{144}\right).
Hệ số đầu âm, nên C(t)\le19{,}5 tương đương tích hai nhân tử không âm. Giao với 0<t<1, miền cho phép là
0<t\le\frac14\quad\text{hoặc}\quad\frac{95}{144}\le t<1.
Ở đoạn thấp, S(t) tăng tới t=1/4. Ở đoạn cao, nó giảm từ t=95/144, vì đỉnh nằm tại 1/2. So khoảng cách đến đỉnh: 1/2-1/4=36/144, còn 95/144-1/2=23/144. Điểm phía cao gần đỉnh hơn nên diện tích lớn hơn.
Trục ngang: t từ 0 đến 1, dài 200 đơn vị hình. Trục đứng: mỗi triệu đồng ứng với 6 đơn vị hình; đường ngang ở C=19{,}5. Đường cong được dựng đúng đa thức chi phí. Hai đầu t=0,1 là vòng rỗng vì vườn suy biến.
Thiết kế tốt nhất là t=95/144, có chiều rộng 245/72 m, chiều cao 19/6 m. Diện tích
S_{\max}=\frac{4655}{432}\,\mathrm m^2\approx10{,}78\,\mathrm m^2.
Kiểm tiền bằng hai khoản: phí mặt vườn 931/72, phí viền 473/72, tổng 19{,}5 triệu đồng. Hình tại t=1/4 cũng dùng hết tiền nhưng chỉ có diện tích 9 mét vuông. Dùng hết ngân sách chưa đủ chứng minh diện tích lớn nhất.
06 · Đổi ngân sách: khi nào có vườn, khi nào giữ được cực đại cũ?
Giữ nguyên hai đơn giá của tình huống mới, nhưng cho ngân sách B thay đổi. Trước hết
C(t)-4{,}8=(1-t)(57{,}6t+5{,}2)>0\qquad(0<t<1).
Vì vậy B\le4{,}8 không cho vườn nào. Tại t=1, công thức cho 4{,}8, nhưng chiều rộng bằng 0, không cứu được trường hợp biên.
Nếu B\ge21{,}8, vườn t=1/2 hợp lệ và giữ diện tích cực đại 12. Với 4{,}8<B<21{,}8, chỉ cần tối ưu trên nửa t>1/2: mọi hình t<1/2 có hình đối ứng 1-t cùng diện tích và rẻ hơn, do b>h.
Trên [1/2;1), cả diện tích và chi phí đều giảm nghiêm ngặt. Với 1/2\le u<v<1,
C(v)-C(u)=(v-u)\bigl(52{,}4-57{,}6(u+v)\bigr)<0.
Nghiệm của C(t)=B trong nửa này là
t_B=\frac{131+\sqrt{31561-1440B}}{288}.
Vì 4{,}8<B<21{,}8, số dưới căn nằm giữa 13^2 và 157^2, nên 1/2<t_B<1. Thay ngược xác nhận đúng chi phí B; nửa miền này cho phép chính xác t_B\le t<1. Diện tích lớn nhất đạt duy nhất tại t_B.
Không có điểm tối ưu bị bỏ ở nửa thấp: nếu một hình ở đó hợp lệ, hình đối ứng cao hơn rẻ hơn nghiêm ngặt. Cụ thể, C(1-t)<C(t)\le B=C(t_B). Tính giảm nghiêm ngặt của chi phí trên nửa cao cho 1-t>t_B; tính giảm của diện tích cho S(t)=S(1-t)<S(t_B). Vì vậy nó chưa đạt cực đại toàn miền.
07 · Tự kiểm khi một khoản chi thay đổi
Nếu chỉ trả tiền theo diện tích như mẫu gốc và ngân sách12triệu?
Điều kiện 1{,}2S\le12 cho S\le10. Mức 10<12 dựng được vì 48t(1-t)=10 có hai nghiệm t=(1\pm1/\sqrt6)/2, đều trong (0;1). Vậy diện tích lớn nhất là 10, có hai thiết kế cùng tối ưu. Kết luận duy nhất ở phần06 phụ thuộc khoản viền dương.
Vì sao không cộng1,2 và0,5 thành một đơn giá1,7?
Hai đơn giá có đơn vị khác nhau: triệu đồng mỗi mét vuông và triệu đồng mỗi mét. Phải nhân với diện tích và chu vi tương ứng rồi mới cộng hai khoản tiền. Cộng trực tiếp đơn giá sẽ làm sai cả mô hình lẫn đơn vị.
Ngân sách4,8triệu có đạt một vườn rất hẹp không?
Không. Với mọi t<1, hai thừa số trong C(t)-4{,}8 đều dương, nên vẫn vượt ngân sách. Các vườn hẹp có thể làm tiền gần mức đó, nhưng không có vườn thật sự đạt nó.
Một bài thiết kế đầy đủ phải nêu rõ họ hình, khoản chi tính theo đại lượng nào, miền đủ tiền và điều kiện đạt diện tích lớn nhất. Một công thức cực đại không thay thế bước kiểm tra tính khả thi của mô hình mới.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện