Biết chu vi và diện tích: dựng được một hay hai cửa sổ?
Giải ngược bài cửa sổ ghép nửa hình tròn: tìm đủ kích thước, phân biệt nghiệm đại số với hình hợp lệ và chứng minh số thiết kế ở từng mốc diện tích.
TOÁN 9 · DIỆN TÍCH VÀ SỐ THIẾT KẾ
Biết chu vi và diện tích: dựng được một hay hai cửa sổ?
Giải ngược bài cửa sổ ghép nửa hình tròn: tìm đủ kích thước, phân biệt nghiệm đại số với hình hợp lệ và chứng minh số thiết kế ở từng mốc diện tích.
1. Biết chu vi và diện tích có xác định được hình?
Xét cửa sổ gồm một hình chữ nhật rộng 2r, cao h, phía trên gắn một nửa hình tròn bán kính r. Hai phần chỉ chung đường kính, không chồng diện tích. Ta yêu cầu r>0,h>0, để cả phần chữ nhật và phần nửa tròn đều thật sự có mặt.
Nguồn dùng chu vi ngoài 6\,\mathrm m và hỏi diện tích lớn nhất. Ở đây, câu hỏi chính được đảo lại: giữ chu vi ngoài, muốn một diện tích đã định thì có bao nhiêu bộ kích thước? Một diện tích nhỏ có thể chỉ cho một cửa sổ; một diện tích lớn hơn lại có thể cho hai hình khác nhau.
Dự đoán. Nếu phương trình tìm bán kính có hai nghiệm dương, có chắc cả hai cho hình chữ nhật cao dương không? Điều kiện hình học sẽ chọn lại các nghiệm như thế nào?
Trong phần tổng quát, gọi chu vi ngoài là L>0, đo cùng đơn vị với r,h; diện tích dùng đơn vị bình phương tương ứng. Đường kính ở chỗ ghép không nằm trên đường viền ngoài, nên không được cộng thêm vào chu vi.
2. Mô tả đúng toàn bộ các kích thước hợp lệ
Đường viền ngoài gồm đáy 2r, hai cạnh đứng 2h và cung nửa đường tròn dài \pi r. Do đó
L=(\pi+2)r+2h,\qquad h=\frac{L-(\pi+2)r}{2}.
Điều kiện r>0,h>0 tương đương
\boxed{0<r<b,\qquad b=\frac{L}{\pi+2}.}
Chiều đảo rất rõ: chọn bất kì r trong khoảng ấy, công thức cho một h>0; dựng hình chữ nhật và nửa đường tròn sẽ cho đúng chu vi L. Vì thế mỗi bán kính trong khoảng cho đúng một bộ kích thước hợp lệ.
Diện tích là
S(r)=2rh+\frac{\pi r^2}{2}=Lr-\frac{\pi+4}{2}r^2.
Trên miền hợp lệ, S(r)>0, vì là tổng diện tích hai phần dương. Bán kính r=b làm h=0, nên chỉ còn nửa hình tròn và không thuộc mô hình đang xét.
3. Hai mốc diện tích có vai trò khác nhau
Hoàn thành bình phương để biết diện tích nào có thể đạt:
S(r)=M-\frac{\pi+4}{2}(r-a)^2,
a=\frac{L}{\pi+4},\qquad M=\frac{L^2}{2(\pi+4)}.
Vì 0<a<b, cận S\le M đạt tại đúng một bán kính r=a. Khi đó h=a>0. Đây là diện tích lớn nhất, nhưng mốc quyết định số nghiệm hình học còn có diện tích ở đầu bị loại r=b:
B=S(b)=\frac{\pi L^2}{2(\pi+2)^2}.
Ta dùng kí hiệu B để nói về một giá trị diện tích; không nhận hình suy biến r=b. Hai mốc thỏa 0<B<M, bởi
M-B=\frac{2L^2}{(\pi+4)(\pi+2)^2}>0.
Phần đồ thị ở hai phía của a đối xứng về giá trị, nhưng miền bán kính kết thúc tại b<2a. Thật vậy, (\pi+4)/(\pi+2)<2 do \pi>0. Một nghiệm ở nhánh bên phải có thể đi ra ngoài miền trước khi diện tích giảm về không.
M là mốc hết nghiệm đại số thực ở phía trên. B là mốc một nghiệm vẫn dương nhưng chạm chiều cao h=0. Phân biệt hai mốc này mới đếm đúng số hình.
4. Giải ngược và lọc từng bán kính
Cho diện tích yêu cầu A. Nếu A\le0, không có hình hợp lệ vì diện tích luôn dương. Nếu A>M, bình phương ở phần trước cho ngay vô nghiệm.
Với 0<A\le M, giải S(r)=A được
\boxed{r_-=\frac{L-\sqrt{L^2-2(\pi+4)A}}{\pi+4},\qquad r_+=\frac{L+\sqrt{L^2-2(\pi+4)A}}{\pi+4}.}
Biểu thức dưới căn không âm do A\le M. Vì A>0, căn nhỏ hơn L, nên r_->0; đồng thời r_-\le a<b. Vậy nghiệm nhỏ luôn cho một cửa sổ hợp lệ.
Nghiệm lớn được nhận khi nào?
Điều kiện r_+<b tương đương
\sqrt{L^2-2(\pi+4)A}<\frac{2L}{\pi+2}.
Hai vế không âm và vế phải dương, nên bình phương giữ tương đương. Thu gọn cho
\boxed{r_+<b\quad\Longleftrightarrow\quad A>B.}
Nếu A=B, nghiệm lớn bằng b, làm h=0, nên loại. Nếu 0<A<B, nghiệm lớn vượt b, làm h<0, cũng loại. Nếu B<A<M, hai nghiệm phân biệt đều trong miền. Nếu A=M, chúng trùng nhau tại a, chỉ cho một hình.
Chiều đủ không bị bỏ quên: mỗi nghiệm được nhận có r>0, cho h>0 từ chu vi; thay lại vào biểu thức diện tích được đúng A. Vì phương trình bậc hai đã cho toàn bộ nghiệm, danh sách không thiếu hình nào.
5. Bảng đếm đầy đủ, kể cả đúng tại mốc
- A\le0 hoặc A>M: không có cửa sổ hợp lệ.
- 0<A\le B: đúng một bộ kích thước, ứng với r_-.
- B<A<M: đúng hai bộ kích thước khác nhau.
- A=M: đúng một bộ kích thước, với r=h=a.
Trục đứng biểu diễn diện tích yêu cầu. Các mốc nằm đúng thứ tự và tỉ lệ tương đối; số hình tại từng mốc được ghi riêng. Vùng xanh có một hình, vùng nâu có hai hình.
Tại A=B, nghiệm được nhận và chiều cao của nó có thể viết gọn:
r_- =\frac{L\pi}{(\pi+4)(\pi+2)},\qquad h_- =\frac{2L}{\pi+4}>0.
Nghiệm còn lại là r_+=b,h_+=0. Vậy diện tích B vẫn có một cửa sổ không suy biến, dù mốc B được tính bằng cách xét một hình suy biến ở đầu miền.
Hai nghiệm dương có thể cho chỉ một hình hợp lệ không?
Có. Khi 0<A<B, cả hai nghiệm bán kính đều dương, nhưng nghiệm lớn cho h<0. Khi A=B, nó cho h=0. Điều kiện bán kính dương chỉ là một phần của bài toán; hình chữ nhật cũng phải có chiều cao dương.
6. Hai cửa sổ cùng chu vi nguồn và cùng diện tích
Lấy chu vi nguồn L=6\,\mathrm m. Khi đó
M=\frac{18}{\pi+4}\approx2{,}52045\,\mathrm{m}^2,\qquad B=\frac{18\pi}{(\pi+2)^2}\approx2{,}13908\,\mathrm{m}^2.
Chọn một thiết kế độc lập có r_1=1\,\mathrm m. Chu vi cho h_1=(4-\pi)/2\,\mathrm m>0, và diện tích là
A=4-\frac\pi2\approx2{,}42920\,\mathrm{m}^2.
Diện tích này nằm giữa B và M, nên còn một thiết kế khác. Có thể xác nhận chính xác bằng 3<\pi<4:
A-B=\frac{(4-\pi)(\pi^2+8)}{2(\pi+2)^2}>0,\qquad M-A=\frac{(\pi-2)^2}{2(\pi+4)}>0.
Tổng hai nghiệm của phương trình diện tích bằng 2a=12/(\pi+4). Do đó
r_2=\frac{12}{\pi+4}-1=\frac{8-\pi}{\pi+4}\,\mathrm m,
h_2=\frac{L-(\pi+2)r_2}{2}=\frac{\pi^2+8}{2(\pi+4)}\,\mathrm m.
Gần đúng, hai cặp (r,h) là (1;0{,}42920) và (0{,}68030;1{,}25109), đơn vị mét. Một cửa rộng, thấp; cửa kia hẹp, cao. Không làm tròn kích thước trước khi kiểm chu vi và diện tích bằng các công thức chính xác.
Hai hình dùng cùng tỉ lệ độ dài, đều có chu vi ngoài 6\,\mathrm m và diện tích bằng nhau. Đường nét đứt là chỗ ghép, không thuộc đường viền ngoài. Chữ h chỉ chiều cao riêng của phần chữ nhật.
Kiểm tra diện tích bằng nhau mà không khai triển biểu thức dài
Với hai bán kính bất kì,
S(u)-S(v)=(u-v)\left[L-\frac{\pi+4}{2}(u+v)\right].
Ở đây r_1+r_2=2L/(\pi+4), nên ngoặc bằng không, suy ra S(r_1)=S(r_2). Hai chiều cao được định nghĩa từ cùng công thức chu vi và đều dương, nên phép kiểm này xác nhận đúng hai thiết kế hợp lệ.
7. Đổi yêu cầu ở biên hoặc đổi tỉ lệ
Nếu cho phép bỏ hẳn phần chữ nhật
Đổi giả thiết thành r>0,h\ge0. Miền bán kính là (0,b]. Khi ấy tại đúng A=B, hình nửa tròn r=b,h=0 được nhận thêm, nên có hai hình. Các mức diện tích khác giữ số lượng như trên. Việc thay dấu lớn hơn bằng lớn hơn hoặc bằng có thể đổi đáp án đúng tại một mốc, chứ không đổi toàn bộ bảng.
Phóng hình lên không làm đổi số nghiệm tương ứng
Với hệ số c>0, nhân r,h,L với c thì diện tích nhân c^2. Ngược lại, chia kích thước một thiết kế có chu vi cL, diện tích c^2A cho c sẽ cho thiết kế chu vi L, diện tích A. Đây là một sự tương ứng hai chiều giữa các thiết kế, nên số lượng bằng nhau.
Cũng thấy điều ấy từ các mốc: B và M đều tỉ lệ với L^2. Tỉ số A/L^2 quyết định vùng của bảng đếm. Chỉ nhân diện tích với c, thay vì c^2, không phải phép phóng hình cùng tỉ lệ.
8. Tự kiểm tra số hình trước khi tính kích thước
Gợi ý. Trước tiên tìm miền bán kính, sau đó so sánh diện tích yêu cầu với hai mốc. Chỉ tính nghiệm khi đã biết cần nhận bao nhiêu hình.
Chu vi 6 mét, diện tích 2 mét vuông có bao nhiêu hình?
Vì B-2=2(\pi-1)(4-\pi)/(\pi+2)^2>0, nên 0<2<B và có đúng một. Hai nghiệm đại số là
r_\pm=\frac{6\pm\sqrt{20-4\pi}}{\pi+4}.
Nghiệm nhỏ được nhận; nghiệm lớn vượt 6/(\pi+2) nên cho chiều cao âm. Không nhận cả hai chỉ vì căn có nghĩa và hai bán kính đều dương.
Chu vi 6 mét, diện tích 3 mét vuông có thể dựng không?
Không, vì \pi>2 cho M=18/(\pi+4)<3. Cận trên đã được chứng minh bằng một bình phương, nên không thể khắc phục bằng cách chọn hình rộng hơn hoặc cao hơn.
Chu vi 12 mét, diện tích 16 trừ 2 lần pi mét vuông có bao nhiêu hình?
Đó là chu vi gấp đôi và diện tích gấp bốn ví dụ hai cửa sổ ở phần 6. Có đúng hai hình. Các cặp kích thước là
(r,h)=(2,4-\pi)\quad\text{và}\quad\left(\frac{2(8-\pi)}{\pi+4},\frac{\pi^2+8}{\pi+4}\right),
đơn vị mét. Chia mọi độ dài cho 2 đưa về ví dụ đã kiểm chứng, nên cả sự tồn tại và tính đầy đủ đều được giữ.
Diện tích lớn nhất có cho hai hình đối xứng qua đỉnh không?
Không. Tại A=M, căn trong công thức nghiệm bằng không, hai nghiệm trùng nhau tại r=a. Khi đó h=a, nên chỉ có một bộ kích thước. Hai biểu thức có dấu cộng và trừ không luôn là hai giá trị khác nhau.
Bài toán dựng ngược không kết thúc ở nghiệm phương trình. Miền kích thước, nghiệm trùng và việc nhận hay loại đầu mút cùng quyết định số hình thật sự tồn tại.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu