Điểm đối diện trên đường tròn: biến đường cao thành đường song song
Từ trực tâm và điểm đối diện đến hình bình hành, trung điểm và cách đổi đích chứng minh. Chứng minh thuần THCS, ví dụ kiểm tọa độ, chuyển sang trọng tâm và…
TOÁN 9 · TRỰC TÂM, ĐƯỜNG KÍNH VÀ HÌNH BÌNH HÀNH
Điểm đối diện trên đường tròn: biến đường cao thành đường song song
Một chứng minh có trực tâm dễ trở nên dài nếu chỉ đuổi góc. Khi xuất hiện một đường kính, hãy thử ghép các đường cùng vuông góc. Một hình bình hành có thể hiện ra và biến mục tiêu trung điểm hoặc song song thành điều rất ngắn.
Mục tiêu: chứng minh hình bình hành từ hai cặp vuông góc; chuyển thông tin sang đường chéo và trung điểm; đổi mục tiêu vuông góc thành song song đúng điều kiện; nhận ra cấu trúc khi xoay hoặc đổi hình; nối kết với trọng tâm mà không dùng vectơ.
Cần biết: trực tâm của tam giác nhọn, góc nội tiếp chắn đường kính, hai đường cùng vuông góc, hình bình hành và trung tuyến. Phần trọng tâm cuối bài dùng tỉ số chia trung tuyến đã học ở THCS.
1. Hai nguồn góc vuông cần được ghép đúng
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm. Lấy M đối diện A qua tâm, tức AM là đường kính. Với tam giác nhọn, năm điểm A,B,C,H,M phân biệt. Tâm O có thể trùng H, chẳng hạn khi tam giác đều.
Đường cao cho BH\perp AC và CH\perp AB. Đường kính lại cho \angle ACM=\angle ABM=90^\circ, nên CM\perp AC và BM\perp AB.
Ghép theo cùng đường bị vuông góc :
BH\perp AC,\ CM\perp AC\ \Longrightarrow\ BH\parallel CM;
CH\perp AB,\ BM\perp AB\ \Longrightarrow\ CH\parallel BM.
Dự đoán. Vì BH\perp AC, có được ghép ngay với BM\perp AB để kết luận BH\parallel BM không?
Đối chiếu tên đường trước khi kết luận
Không. Hai quan hệ ấy vuông góc với hai đường khác nhau. Để suy ra song song bằng cách này, cần cùng vuông góc với một đường, như cặp BH và CM cùng vuông góc AC. Việc cả hình có nhiều dấu vuông không cho phép ghép tùy ý.
2. Gọi đúng thứ tự tứ giác để thấy đúng đường chéo
Hai cặp song song vừa có là hai cặp cạnh đối của tứ giác theo thứ tự B,H,C,M. Do đó BHCM là hình bình hành. Trong tứ giác này, hai đường chéo là BC và HM, không phải BH và CM.
Gọi T là trung điểm BC. Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, suy ra:
T\in HM,\qquad TH=TM.
Nói cách khác, H,M đối xứng nhau qua điểm T. Ta tìm được trung điểm của một đoạn liên quan trực tâm bằng trung điểm của một cạnh tam giác, không cần tính tọa độ hai chân đường cao.
BH song song CM; CH song song BM. Ví dụ đúng tỉ lệ 28 đơn vị hình cho một đơn vị tọa độ, với X=350+28x, Y=335-28y. Hình bình hành tô xanh có đường chéo BC và HM gặp nhau tại T; đường kính AM đi qua tâm O. Các tọa độ được tính và kiểm ở phần 3.
Chuỗi lập luận có thể dùng lại: đường kính tạo góc vuông; ghép với đường cao để tạo song song; hai cặp cạnh đối song song tạo hình bình hành; đường chéo hình bình hành cho trung điểm. Mỗi mũi nối ở đây có một định lí, không chỉ dựa vào hình.
Tự kiểm độ dài: trong hình bình hành còn có BH=CM, CH=BM. Nhưng đường chéo BC và HM không nhất thiết bằng nhau. Tính chất “đường chéo bằng nhau” cần thêm điều kiện hình chữ nhật; không thuộc mọi hình bình hành.
3. Một ví dụ dựng được và hai cách kiểm
Để kiểm hình cụ thể, chọn B=(-5,0), C=(5,0), A=(1,8). Đường cao từ A là đường thẳng đứng x=1. Đường AC có độ giảm 8 trên độ tăng 4, nên đường cao qua B tăng 1 theo mỗi 2 đơn vị ngang; tại x=1, nó có tung độ 3. Vì vậy H=(1,3).
Đường AB tăng 8 trên độ tăng 6; đường qua C vuông góc AB giảm 3 trên mỗi 4 đơn vị ngang. Tại x=1, đường này cũng có tung độ 3, kiểm lại trực tâm vừa tìm.
Tâm đường tròn nằm trên trung trực của BC nên có hoành độ 0. Đặt O=(0,k), so sánh bình phương khoảng cách tới A và B:
1+(8-k)^2=25+k^2\quad\Longrightarrow\quad k=\frac52.
Vì O là trung điểm AM, ta được M=(-1,-3). Trung điểm của HM là (0,0), đúng bằng trung điểm T của BC. Bán kính thỏa R^2=25+(5/2)^2=125/4.
Đây là kiểm tra bằng số cho một hình. Chứng minh hình bình hành ở phần 2 mới áp dụng cho mọi tam giác nhọn. Một ví dụ đúng không chứng minh một định lí tổng quát; ngược lại, một ví dụ sai với đủ giả thiết có thể bác bỏ một phát biểu quá mạnh.
Phản ví dụ cho “BC và HM luôn bằng nhau”
Ở hình này, BC=10, trong khi HM=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}. Vì 100\ne40, hai độ dài khác nhau. Cùng trung điểm không có nghĩa cùng độ dài.
4. Đổi đích chứng minh: điều gì là đủ?
Giả sử một bài mới cần chứng minh một đường \ell vuông góc AG. Ta đã biết G là một giao điểm của đường thẳng HM với đường tròn, với G\ne A,M. Vì AM là đường kính:
\angle AGM=90^\circ,\qquad AG\perp GM.
Do G,M,H thẳng hàng, đường GM chính là đường HM. Vậy chỉ cần chứng minh \ell\parallel HM, hoặc chứng minh \ell trùng đường HM. Trong mặt phẳng, một đường song song với đường đã vuông góc AG cũng vuông góc AG.
Đổi mục tiêu như vậy hữu ích khi dữ kiện mới cho trung điểm, đường trung bình hoặc hai cặp cạnh song song. Nhưng nó chỉ rút gọn mục tiêu ; chưa tự chứng minh được \ell\parallel HM. Bài giải vẫn phải cung cấp bước còn thiếu đó.
Điều kiện G\ne A,M bảo đảm góc AGM xác định. Nếu giao điểm được chọn trùng A hoặc M, không được viết góc vuông của một tam giác suy biến. Cũng không tự cho rằng một giao điểm “thứ hai” luôn khác mọi điểm đã có; phải kiểm cấu hình.
Ví dụ chuyển phương pháp: trung điểm hai cạnh tạo đường cần tìm
Trong một tam giác không suy biến XHM, gọi U,V lần lượt là trung điểm XH,XM. Định lí đường trung bình cho UV\parallel HM. Nếu đồng thời đã có AG\perp HM như trên, suy ra UV\perp AG. Vai trò của tam giác XHM là cung cấp song song; vai trò của đường tròn là cung cấp vuông góc.
5. Chuyển sang trọng tâm: cùng một trung điểm mở thêm một kết luận
Trong cấu hình ban đầu, T là trung điểm BC và HM. Gọi K là trọng tâm tam giác ABC, tức giao các trung tuyến. K nằm trên AT và AK:KT=2:1. Xét riêng tam giác AHM: AT cũng là một trung tuyến vì T là trung điểm HM.
Trên đoạn AT chỉ có một điểm chia nó theo tỉ số 2:1 tính từ A. Do đó K cũng là trọng tâm của tam giác AHM. Mặt khác, O là trung điểm AM, nên HO là một trung tuyến của tam giác AHM. Suy ra:
H,K,O\ \text{thẳng hàng},\qquad HK:KO=2:1.
Kết luận này áp dụng trực tiếp khi A,H,M không thẳng hàng. Nếu A,H,M thẳng hàng, lập luận “tam giác AHM” không còn hợp lệ; phải tách trường hợp thay vì dùng định lí trọng tâm cho một tam giác có diện tích 0.
Trường hợp thẳng hàng: xử lí bằng trung điểm trên một đường
Vì A,O,M thẳng hàng và H,M,T thẳng hàng, nếu A,H,M cùng một đường thì A,O,H,T cùng nằm trên đường ấy. Điểm K nằm trên AT nên O,K,H thẳng hàng. Để kiểm tỉ số khi cần, đặt tọa độ có hướng trên chính đường thẳng: chọn T ở 0, H ở h, M ở -h, A ở a. Khi đó O ở (a-h)/2, K ở a/3. Ta có h-a/3=2(a/3-(a-h)/2), nên HK=2KO. Nếu cả hai bằng 0, O,K,H trùng nhau; khi ấy không viết tỉ số 0:0.
Đặc biệt, tam giác đều có O,H,K trùng nhau. Không gọi “đường thẳng qua ba điểm phân biệt” trong trường hợp ấy. Đây là ví dụ vì sao kiểm suy biến là một phần của chứng minh, không phải chú thích thừa.
AT và HO là hai trung tuyến; HK = 2KO. Sơ đồ riêng cho bước trọng tâm, không phải bản phóng của hình trước. T là trung điểm HM; O là trung điểm AM; K là trọng tâm tam giác AHM. Vị trí K được tính từ trung bình ba tọa độ đỉnh, đúng tỉ số chia trung tuyến.
Trong ví dụ số ở phần 3, K=(1/3,8/3), O và H đã biết. Điểm K nằm giữa O,H; hai khoảng cách có tỉ lệ2:1 tính từ H. Nhờ định lí trọng tâm, ta không cần tính căn để chứng minh tỉ lệ.
6. Tự kiểm: đừng đánh tráo cạnh với đường chéo
A. Vì sao CM song song BH?
CM\perp AC vì AM là đường kính, còn BH\perp AC vì H là trực tâm. Hai đường cùng vuông góc AC nên song song.
B. Trong hình bình hành BHCM, T là trung điểm BC. Có được nói T nằm trên BH?
Không. BC và HM là hai đường chéo; T nằm trên HM. BH là cạnh. Cần đọc đúng thứ tự đỉnh trước khi dùng tính chất đường chéo.
C. Nếu TH bằng 7 thì HM bằng bao nhiêu?
Vì T là trung điểm HM, TM=7, HM=14. Không suy ra BC bằng 14: chưa có quan hệ độ dài hai đường chéo.
D. Nếu BC bằng 12, HM bằng 8 thì TB và TH bằng bao nhiêu?
TB=TC=6; TH=TM=4. Cả hai đường chéo cùng bị chia đôi, nhưng không phải chia thành bốn đoạn đều bằng nhau.
E. Một đường qua T có tự động song song HM không?
Không. Qua T có nhiều đường; HM chỉ là một trong số đó. Biết đi qua trung điểm chưa xác định phương của đường. Cần thêm điểm hoặc quan hệ song song/vuông góc.
F. Hai trung tuyến AT và HO của tam giác AHM gặp nhau tại K; nếu KO bằng 3 thì KH bằng bao nhiêu?
Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 tính từ đỉnh, nên KH=6, HO=9. Đỉnh của trung tuyến HO là H, không phải O.
G. Tam giác vuông tại B có H trùng B: có giữ nguyên chứng minh hình bình hành bốn đỉnh không?
Không. Khi B và H trùng nhau, đoạn BH không xác định một đường thẳng như trước. Bài đang giả sử tam giác nhọn để tránh các điểm trùng. Một hệ thức có thể còn có dạng giới hạn, nhưng chứng minh bốn đỉnh phân biệt không được bê nguyên sang.
H. Muốn dùng đường kính để suy ra AG vuông GM, cần kiểm những gì?
AM là đường kính của đúng đường tròn; G thuộc đường tròn ấy; G khác A,M. Khi đó góc AGM chắn đường kính nên vuông. H là trực tâm riêng nó không đủ tạo kết luận ấy.
Phương pháp mang theo: liệt kê mỗi góc vuông cùng lí do; ghép theo cùng đường chuẩn; gọi tứ giác đúng thứ tự; chuyển sang đường chéo; kiểm đích mới thật sự đủ cho đích cũ; tách hình suy biến trước khi viện dẫn định lí.
Chuyên đề tự biên soạn · Chứng minh tổng quát bằng hình học THCS · Toàn bộ nội dung ở ngay trong trang