Điểm cố định trong hình động: tìm bằng tọa độ và kiểm tra suy biến
Chọn trục theo đường kính, chứng minh công thức chân vuông góc và tìm một điểm chung của các đường nối trung điểm với chân đường cao khi đỉnh thay đổi.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Điểm cố định trong hình động: tìm bằng tọa độ và kiểm tra suy biến
Chọn trục theo đường kính, chứng minh công thức chân vuông góc và tìm một điểm chung của các đường nối trung điểm với chân đường cao khi đỉnh thay đổi.
1. Một điểm đứng yên trong một hình đang thay đổi
Giữ cố định đường tròn và hai điểm A,B trên đó. Cho điểm C chạy trên đường tròn. Chân vuông góc từ B xuống AC thay đổi; trung điểm của BC cũng thay đổi. Tuy vậy, đường nối hai điểm ấy luôn đi qua một điểm cố định. Ta sẽ tìm điểm ấy, chứng minh bằng tọa độ và xác định trường hợp nào không còn một giao điểm duy nhất.
Điểm xuất phát là cấu hình chọn lọc sau: tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R>0; AL là đường kính; E là chân vuông góc từ B xuống AC; M là trung điểm BC; đường thẳng ME cắt AL tại N. Một hệ thức cần hiểu là
AN\cdot AL=AB^2.
Ta không cần dùng thêm trực tâm hay các đường cao còn lại để hiểu hệ thức này. Hơn nữa, kết quả sẽ mở rộng ra nhiều tam giác không nhọn, nếu cho phép chân vuông góc nằm trên đường thẳng chứa cạnh và kiểm tra các ngoại lệ.
Vế phải chỉ phụ thuộc vào A,B, còn đường kính AL cố định. Điều đó gợi ý AN không đổi. Nhưng độ dài không đổi chưa đủ để xác định điểm: ta còn phải chứng minh N nằm trên đoạn nào.
2. Chọn trục theo đường kính để phương trình đường tròn gọn hơn
Đặt A=(0,0), cho trục ngang đi từ A đến L. Khi đó
L=(2R,0),\qquad O=(R,0).
Theo công thức khoảng cách suy ra từ định lí Pythagore, điểm X=(x,y) thuộc đường tròn khi và chỉ khi
(x-R)^2+y^2=R^2\iff x^2+y^2=2Rx.
Đặt B=(u,v), C=(w,z). Vì chúng thuộc đường tròn:
u^2+v^2=2Ru,\qquad w^2+z^2=2Rw.
Trong cấu hình đang xét, B khác hai đầu đường kính. Do đó 0<u<2R, v\ne0. Thật vậy, phương trình cho v^2=u(2R-u)\ge0, nên 0\le u\le2R; hai đầu mút buộc v=0, lần lượt là A,L. Với C\ne A, ta có w>0 và w^2+z^2>0, kể cả khi C=L.
Không nên lấy trục theo một hướng bất kì rồi chấp nhận phương trình dài. Đường kính giúp đặt tâm trên trục, một đầu ở gốc, và biến điều kiện thuộc đường tròn thành một tổng bình phương bằng một hạng bậc nhất.
3. Tính chân vuông góc mà không cần chia cho hệ số góc
Mọi điểm trên đường thẳng AC có dạng (tw,tz), với t thực. Nếu 0<t<1, điểm nằm trong đoạn AC; t=0,1 cho hai đầu; t<0 hoặc t>1 cho phần kéo dài. Điều này xuất phát từ các tam giác đồng dạng theo hai trục, và vẫn đúng khi đường thẳng thẳng đứng hoặc nằm ngang.
Công cụ kiểm tra vuông góc: hai hướng khác không (p,q) và (r,s) vuông góc khi và chỉ khi pr+qs=0. Để chứng minh, đặt hai đoạn ấy cùng gốc. Bình phương khoảng cách hai đầu là (p-r)^2+(q-s)^2. Theo định lí Pythagore và chiều đảo, góc giữa hai đoạn vuông khi và chỉ khi
(p-r)^2+(q-s)^2=p^2+q^2+r^2+s^2\iff pr+qs=0.
Với E=(tw,tz), điều kiện BE\perp AC trở thành
(u-tw)w+(v-tz)z=0.
Vì w^2+z^2>0, phương trình này có đúng một nghiệm:
t=\frac{uw+vz}{w^2+z^2},\qquad E=\left(\frac{w(uw+vz)}{w^2+z^2},\frac{z(uw+vz)}{w^2+z^2}\right).
Trong một tam giác không suy biến, B\notin AC, nên BE là đoạn khác không; tiêu chuẩn vuông góc vừa dùng hợp lệ. Công thức giữ được cả dấu của t; không tự biến chân trên phần kéo dài thành chân trong cạnh. Tọa độ trung điểm cho
M=\left(\frac{u+w}{2},\frac{v+z}{2}\right).
4. Tìm điểm cố định trước, rồi kiểm tra nó nằm trên đường
Đặt N_0=(u,0), tức hình chiếu vuông góc của B lên đường kính AL. Điểm này chỉ phụ thuộc A,B và đường tròn, không phụ thuộc C. Ta chứng minh E,M,N_0 thẳng hàng.
Nếu M=N_0, kết luận đã đúng. Nếu M\ne N_0, tiêu chuẩn thẳng hàng là
(x_E-u)y_M-y_E(x_M-u)=0.
Khi x_M\ne u, đây là điều kiện hai tỉ số độ dời theo trục bằng nhau, tức hai điểm trên cùng đường thẳng qua N_0. Khi x_M=u, ta có y_M\ne0, nên biểu thức bằng không buộc x_E=u; đó chính là đường thẳng đứng qua N_0. Như vậy tiêu chuẩn không bỏ sót hướng thẳng đứng.
Thay E=(tw,tz) và tọa độ M, rồi nhân biểu thức với số dương 2(w^2+z^2), ta được
(uw+vz)(wv+zu)-u(v+z)(w^2+z^2).
Khai triển và nhóm lại theo hai phương trình đường tròn:
z\big[w(u^2+v^2)-u(w^2+z^2)\big]=z\big[w\cdot2Ru-u\cdot2Rw\big]=0.
Vậy E,M,N_0 thẳng hàng trong mọi trường hợp đang xét. Đây là cách dùng tọa độ có định hướng: không giải giao hai đường dài ngay từ đầu, mà dự đoán một điểm đơn giản rồi kiểm tra chính xác.
Khi A,B và đường tròn cố định, các đường ME thu được đều đi qua hình chiếu N_0 của B trên AL, miễn là A,B,C phân biệt.
Đường ME tồn tại: tam giác BEC vuông tại E, nên trung điểm M của cạnh huyền BC thỏa ME=BC/2>0. Trường hợp E=C không xảy ra vì nếu BC\perp AC, góc C vuông thì AB là đường kính, trái với B\ne L. Nếu E=B, ba điểm A,B,C thẳng hàng, cũng không thể là ba điểm phân biệt trên một đường tròn.
5. Khi nào giao điểm với đường kính là duy nhất?
Hai đường ME và AL đã có điểm chung N_0. Chúng hoặc cắt nhau duy nhất, hoặc trùng nhau; không thể song song phân biệt. Trường hợp trùng xảy ra chính xác khi BC là đường kính.
Nếu BC là đường kính, thì AB\perp AC, nên chân E=A; đồng thời M=O. Do đó ME=AO=AL theo nghĩa các đường thẳng, và không có một giao điểm duy nhất mang tên N.
Ngược lại, giả sử ME trùng AL. Nếu C=L, chân E=N_0, nhưng tung độ của M là v/2\ne0, trái với M\in AL. Vậy C\ne L; hai đường AC,AL khác nhau và chỉ gặp tại A. Vì E thuộc cả hai, E=A. Suy ra AB\perp AC, nên theo định lí góc nội tiếp, BC là đường kính.
Tam giác nguồn nhọn nên BC không phải đường kính. Vì thế N tồn tại duy nhất và bằng N_0=(u,0). Do 0<u<2R, điểm N nằm trong đoạn AL, không phải trên phần kéo dài. Bây giờ mới được viết
AN=u,\qquad AL=2R,\qquad AB^2=u^2+v^2=2Ru,\boxed{AN\cdot AL=AB^2}.
Còn có AN<AB<AL, vì 0<AB<AL và AN=AB^2/AL. Hệ thức cũng có lời giải ngắn sau khi đã nhận ra BN\perp AL: tam giác ABL vuông tại B, và ABN\sim ALB cho AN/AB=AB/AL. Tuy nhiên, chính việc chứng minh đường ME đi qua chân N mới là phần không được bỏ qua.
6. Kiểm tra bằng một hình cụ thể
Lấy R=5, A=(0,0), L=(10,0), B=(4,2\sqrt6), C=(9,-3). Hai điểm thuộc đường tròn vì 4^2+(2\sqrt6)^2=40=10\cdot4 và 9^2+(-3)^2=90=10\cdot9. Đây là tam giác nhọn: chân từ B xuống AC có tham số (36-6\sqrt6)/90 nằm giữa không và một, nên các góc tại A,C nhọn. Tương tự, chân từ C xuống AB có tham số (36-6\sqrt6)/40 cũng nằm giữa không và một, nên góc tại B nhọn. Các nhận xét này đến từ các tam giác vuông có chân nằm trong cạnh.
t=\frac{36-6\sqrt6}{90}=\frac{6-\sqrt6}{15},E=\left(\frac{3(6-\sqrt6)}5,-\frac{6-\sqrt6}5\right),\qquad M=\left(\frac{13}2,\frac{2\sqrt6-3}2\right).
Không cần giải tiếp hai đường để tìm giao: kết quả tổng quát cho N=(4,0). Vì AB^2=40, ta kiểm được AN\cdot AL=4\cdot10=40.
Hình dựng với cùng một tỉ lệ cho hai trục. Đường màu vàng nối E,M; đoạn xanh BN vuông góc đường kính. Mọi tọa độ đều từ các công thức đã chứng minh.
Các số này chỉ để kiểm chứng và dựng hình chính xác. Chứng minh ở phần trước áp dụng cho mọi cấu hình trong miền đã nêu, kể cả khi một hình khác khiến chân E nằm trên phần kéo dài.
7. Chuyển giao: giữ điểm nào để kết luận còn đúng?
Nếu chỉ cho C thay đổi trên cùng đường tròn, giữ A,B cố định, thì N_0 đứng yên. Nếu cho cả B thay đổi, N_0 cũng thay đổi theo hoành độ u. “Có điểm cố định” luôn cần nói rõ những dữ kiện nào được giữ cố định.
Với A,L cố định và B chạy trên đường tròn, không lấy hai đầu đường kính, N_0 chạy trên toàn bộ đoạn mở AL. Chiều thuận đã có 0<u<2R. Chiều đảo: với bất kì u trong khoảng ấy, số u(2R-u)>0, nên chọn
B=\big(u,\sqrt{u(2R-u)}\big)
cho một điểm hợp lệ trên đường tròn và hình chiếu đúng (u,0). Hai đầu mút chỉ xuất hiện nếu cho phép B=A hoặc B=L, khi cấu hình hoặc giả thiết đã thay đổi.
Nếu thay M bằng một điểm tùy ý T trên BC, kết luận có thể mất. Chẳng hạn, trên đường tròn (x-5)^2+y^2=25, lấy A=(0,0),B=(2,4),C=(9,-3). Khi đó E=(3/5,-1/5), N_0=(2,0). Lấy T=B, đường TE=BE không qua N_0:
(x_E-2)\cdot4-y_E\cdot(2-2)=-\frac{28}{5}\ne0.
Trung điểm không phải một trang trí của hình. Tọa độ trung bình của hai đầu dây đã tạo ra sự triệt tiêu trong phép tính.
8. Tự kiểm tra điều kiện trước khi kết luận
Nếu C là điểm đối diện B qua tâm thì phần nào vẫn đúng?
E=A, M=O, nên đường ME trùng đường kính AL. Điểm cố định N_0 vẫn nằm trên đường ấy, nhưng kí hiệu N=ME\cap AL không xác định một điểm duy nhất. Không được gọi một trong vô số điểm chung là giao điểm duy nhất rồi gán cho nó hệ thức độ dài.
Trong hình bán kính năm, B có tọa độ hai và bốn. Tìm điểm cố định và tích độ dài.
B=(2,4) thuộc đường tròn vì 2^2+4^2=20=10\cdot2. Điểm cố định là N_0=(2,0), nên AN_0\cdot AL=2\cdot10=20=AB^2. Không cần biết vị trí cụ thể của C, nhưng nếu gọi nó là giao duy nhất thì phải loại C=(8,-4), điểm đối diện B, cùng với A,B.
Có thể dùng công thức chân vuông góc khi C bằng A không?
Không. Khi ấy w=z=0, mẫu w^2+z^2 bằng không, và hai điểm trùng nhau không xác định đường AC. Điều kiện hình học và điều kiện đại số cùng báo đúng một sự suy biến.
Một phép kiểm tọa độ đáng tin cần ba bước: chọn trục làm rõ quan hệ hình học, chứng minh tiêu chuẩn đại số theo hai chiều, rồi kiểm tra các mẫu số và các trường hợp điểm hoặc đường trùng nhau. Kết quả số đúng trong một hình không thay cho các bước ấy.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện