Giao điểm và tỉ số chia: chứng minh song song bằng đúng vị trí
Định vị các giao điểm trong cấu hình đường cao, tìm một tỉ số chung và dựng chiều đảo; phân biệt tam giác nhọn, cân và các trường hợp suy biến.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Giao điểm và tỉ số chia: chứng minh song song bằng đúng vị trí
Định vị các giao điểm trong cấu hình đường cao, tìm một tỉ số chung và dựng chiều đảo; phân biệt tam giác nhọn, cân và các trường hợp suy biến.
01 · Muốn dùng Thales đảo, cần biết điểm ở phía nào
Cho tam giác không suy biến AXY. Chọn P trong đoạn AX, Q trong đoạn AY. Khi đó
PQ\parallel XY\iff\frac{AP}{AX}=\frac{AQ}{AY}.
Chiều thuận là định lí Thales. Với chiều đảo, kẻ qua P đường song song XY, cắt AY tại Q'. Thales cho AQ'/AY=AP/AX=AQ/AY. Vì Q,Q' cùng trên tia AY, cùng khoảng cách đến A, chúng trùng nhau. Ta đã chứng minh cả sự tồn tại lẫn tính duy nhất của điểm cần tìm.
Đặt tỉ số chung là t, với 0<t<1. Hai tam giác đồng dạng còn cho PQ=t\,XY. Nếu tỉ số xuất hiện từ một cấu hình phức tạp, việc xác định t giúp biết vị trí, độ dài và đường song song cùng lúc.
Chỉ biết các tỉ số độ dài bằng nhau nhưng không biết hướng tia thì chưa đủ. Lấy A=(0,0),X=(2,0),Y=(0,2), P=(1,0),Q=(0,-1). Hai tỉ số đều 1/2, nhưng PQ có hệ số góc 1, còn XY có hệ số góc -1.
02 · Biến một cấu hình đường cao thành ba tham số
Ứng dụng được chọn: tam giác nhọn ABC, AB<AC, nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD,BE,CF gặp nhau tại H. Gọi AM là đường kính, P=AH\cap EF, I=AM\cap BC, và K là trung điểm BC. Ta muốn hiểu vì sao PI\parallel HK, đồng thời xác định chính xác các giao điểm nằm ở đâu.
Đặt gốc tọa độ tại D, trục ngang theo BC, trục đứng theo DA. Viết
A=(0,a),\quad B=(-b,0),\quad C=(c,0),
trong đó a=AD>0, b=BD>0, c=DC>0. Vì AB^2=a^2+b^2, AC^2=a^2+c^2, điều kiện AB<AC tương đương b<c. Hai góc ở B,C đã nhọn vì D ở giữa; góc A nhọn tương đương a^2>bc. Thật vậy, AB^2+AC^2-BC^2=2(a^2-bc), và tiêu chuẩn so sánh bình phương các cạnh cho đúng điều kiện góc nhọn.
Ngược lại, chọn bất kỳ 0<b<c, a>0, a^2>bc, ba tọa độ trên dựng được một tam giác nhọn thỏa toàn bộ giả thiết. Ba tham số không chỉ mô tả hình đã có mà còn cho cách dựng các hình mới.
03 · Đường kính cho trung điểm trước khi cho tỉ số
Đường AC có hệ số góc -a/c, nên đường cao từ B có hệ số góc c/a. Tại trục đứng x=0, tung độ của nó là bc/a. Vì AD là trục đứng,
H=\left(0,\frac{bc}{a}\right).
Điều kiện a^2>bc cho 0<bc/a<a, nên thứ tự trên đường cao là A,H,D.
Do AM là đường kính, BM\perp AB, CM\perp AC. Các đường cao cho CH\perp AB, BH\perp AC, do đó BM\parallel CH, CM\parallel BH. Tứ giác theo thứ tự B,H,C,M là hình bình hành thật sự: H không nằm trên BC. Hai đường chéo BC,HM có cùng trung điểm K.
K=\left(\frac{c-b}{2},0\right),\qquad M=\left(c-b,-\frac{bc}{a}\right).
Vì c-b>0, điểm M không nằm trên đường AH; tam giác AHM không suy biến. Từ A, điểm trên AM có phần đường đi bằng t có tọa độ
\left(t(c-b),\ a-t\left(a+\frac{bc}{a}\right)\right).
Đặt tung độ bằng 0 để gặp BC, ta được duy nhất
t=\frac{a^2}{a^2+bc},\quad I=\left(\frac{a^2(c-b)}{a^2+bc},0\right).
Mẫu dương và 1/2<t<1. Vậy I nằm trong đoạn AM. Hoành độ của nó dương và nhỏ hơn c-b<c, nên I cũng nằm trong đoạn DC, không phải giao của hai đường kéo dài ở ngoài tam giác.
04 · Tìm đường nối hai chân cao, không đoán giao điểm
Gọi E là chân vuông góc từ B xuống AC. Điểm trên AC có dạng (uc,a(1-u)). Đường BE có hệ số góc c/a, nên
a(1-u)=\frac ca(uc+b)\iff u=\frac{a^2-bc}{a^2+c^2}.
Suy ra, và tính tương tự với chân F từ C xuống AB,
E=\left(\frac{c(a^2-bc)}{a^2+c^2},\frac{ac(b+c)}{a^2+c^2}\right),
F=\left(-\frac{b(a^2-bc)}{a^2+b^2},\frac{ab(b+c)}{a^2+b^2}\right).
Các mẫu dương; E có hoành độ dương, F có hoành độ âm, nên hai điểm phân biệt. Các tham số chân đường cao nằm giữa 0 và 1, vì tử a^2-bc>0 và nhỏ hơn từng mẫu. Vì vậy chúng đúng là các chân nằm trong cạnh.
Thay tọa độ E, vế trái của phương trình dưới trở thành
\frac{-ac(c-b)(a^2-bc)+ac(b+c)(a^2+bc)}{a^2+c^2}=2abc.
Với F, phép thay cho
\frac{ab(c-b)(a^2-bc)+ab(b+c)(a^2+bc)}{a^2+b^2}=2abc.
Vậy hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng
-a(c-b)x+(a^2+bc)y=2abc.
Đây chính là EF. Hệ số của y dương nên đường này cắt trục AH tại duy nhất
P=\left(0,\frac{2abc}{a^2+bc}\right).
Ta không cần khẳng định giao điểm tồn tại chỉ từ hình vẽ: phương trình đã xác nhận nó và cho giá trị cụ thể.
05 · Hai giao điểm chia theo cùng một tỉ lệ
So sánh tung độ cho
\frac{bc}{a}<\frac{2abc}{a^2+bc}<a,
vì cả hai bất đẳng thức đều tương đương a^2>bc sau khi nhân với các mẫu dương. Do đó thứ tự là A,P,H,D. Ta tính được
AP=\frac{a(a^2-bc)}{a^2+bc},\quad AH=\frac{a^2-bc}{a},
\frac{AP}{AH}=\frac{a^2}{a^2+bc}=\frac{AI}{AM}=t.
Vì P,I ở trong hai cạnh của tam giác không suy biến AHM, Thales đảo cho PI\parallel HM. Hai đường này phân biệt vì P\ne H. Mặt khác H,K,M thẳng hàng, nên PI\parallel HK. Đồng dạng còn cho
PI=t\,HM=2t\,HK.
Hình chỉ giữ phần phục vụ Thales. Dựng từ a=3,b=1,c=4, tỉ lệ 40 đơn vị hình cho một đơn vị độ dài. Khi ấy H=(0,4/3), M=(3,-4/3), P=(0,24/13), I=(27/13,0), K=(3/2,0), nên t=9/13.
Vì 1/2<t<1, điểm P nằm về phía H so với trung điểm của AH, và HK<PI<2HK. Những kết luận vị trí và độ dài là thông tin thêm mà một dòng “song song theo Thales” thường che khuất.
06 · Đi ngược từ tỉ số để dựng tam giác
Giữ 0<b<c. Muốn tỉ số chung bằng một số t, giải công thức theo chiều cao:
t=\frac{a^2}{a^2+bc}\iff a^2=\frac{tbc}{1-t}.
Với mỗi 1/2<t<1, vế phải dương và lớn hơn bc. Chọn căn dương a=\sqrt{tbc/(1-t)} dựng được đúng một chiều cao, tạo tam giác nhọn và tái lập đúng tỉ số đã yêu cầu. Mọi tỉ số trong khoảng ấy đều đạt, không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất: với một tỉ số đã chọn, vẫn có thể chọn số lớn hơn hoặc nhỏ hơn trong cùng khoảng rồi dựng lại.
Ví dụ b=2,c=3,t=2/3 cho a=2\sqrt3. Khi ấy H=(0,\sqrt3), P=(0,4\sqrt3/3), I=(2/3,0), M=(1,-\sqrt3). Tính trực tiếp AP/AH=2/3=AI/AM, xác nhận chiều dựng ngược.
07 · Các biên không được giữ nguyên lời chứng minh
Vì sao t bằng một phần hai không xảy ra trong tam giác nhọn?
Nó đòi hỏi a^2=bc, khiến góc A vuông, H=A, và cả E,F trùng A. Đường EF không còn được xác định, tỉ số AP/AH có mẫu bằng 0. Công thức đại số của t còn cho một số, nhưng đối tượng hình học ban đầu đã mất.
Nếu bỏ AB nhỏ hơn AC và lấy AB bằng AC?
Khi b=c, tam giác vẫn có thể nhọn và các tọa độ vẫn đúng. Tuy nhiên A,H,M,P,I cùng nằm trên đường cao, I=K=D. Đường PI trùng đường HM, không phải hai đường thẳng phân biệt song song. Tam giác AHM suy biến nên không dùng Thales trong tam giác ấy. Điều kiện bất cân có vai trò thật sự với cách phát biểu song song.
Tỉ số t bằng một có đạt được không?
Không với b,c>0 và chiều cao hữu hạn, vì a^2/(a^2+bc)<1. Tăng a làm tỉ số gần 1 hơn; điều này khác với một cấu hình có t=1.
Phương pháp ở đây là biến giao điểm thành điều kiện tuyến tính, dùng các bất đẳng thức để xác định thứ tự điểm, rồi mới chuyển tỉ số thành song song. Phần đại số không thay định lí hình học; nó cung cấp chính những điều kiện để định lí được dùng đúng.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện