Viên bi trong ly nón: kiểm tra chỗ đặt và mức chìm
Dùng tiếp xúc và đồng dạng để xác định đỉnh viên bi, ghép với bảo toàn thể tích để chứng minh miền mực nước thật sự phù hợp giả thiết chìm hoàn toàn.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Viên bi trong ly nón: kiểm tra chỗ đặt và mức chìm
Dùng tiếp xúc và đồng dạng để xác định đỉnh viên bi, ghép với bảo toàn thể tích để chứng minh miền mực nước thật sự phù hợp giả thiết chìm hoàn toàn.
1. Một công thức thể tích không tự đặt được viên bi trong ly
Trong ly hình nón có đỉnh ở dưới, nước càng cao thì mặt nước càng rộng. Thả một viên bi vào ly đòi hỏi hai mô hình phối hợp: hình học cho biết viên bi đặt ở đâu và cao đến đâu; bảo toàn thể tích cho biết mặt nước cuối ở đâu. Chỉ khi hai kết quả phù hợp mới được dùng giả thiết “chìm hoàn toàn”.
Ta xét phần chứa nước là một hình nón tròn xoay đứng, đỉnh kín ở dưới, miệng tròn nằm ngang ở trên. Chiều cao trong là H>0, bán kính miệng là R>0. Mọi độ cao đều đo từ đỉnh nón. Viên bi là hình cầu đặc bán kính r>0, không thấm nước, không giữ bọt khí.
Để kiểm tra vị trí một cách cụ thể, dùng mô hình viên bi đặt đối xứng ở vị trí thấp nhất, tâm nằm trên trục nón và tiếp xúc với thành. Không xét ma sát, giá đỡ hay một vị trí treo khác. Bỏ qua bề dày thành và mặt nước cong sát thành. “Chìm hoàn toàn” được hiểu là cả viên bi nằm dưới hoặc vừa chạm mặt nước ở đỉnh trên; nước không tràn khi mặt nước chưa vượt miệng.
Đỉnh dưới của viên bi không thể đặt trùng đỉnh nhọn của nón. Một quả cầu có bán kính dương sẽ chạm thành trước khi tới đó. Vì vậy không được lấy độ cao đỉnh trên của bi bằng đường kính như trong một bình có đáy phẳng.
2. Tam giác vuông xác định độ cao tâm và đỉnh viên bi
Cắt hình qua trục nón. Gọi S là đỉnh nón, T là tâm miệng, B là một điểm ở vành miệng trong mặt cắt. Khi đó ST=H, TB=R, và đường sinh
SB=\ell=\sqrt{H^2+R^2}.
Viên bi cho một đường tròn bán kính r trong mặt cắt. Gọi tâm là I, tiếp điểm với SB là J. Bán kính IJ vuông góc thành, nên hai tam giác vuông SIJ và SBT đồng dạng: chung góc tại S, có góc vuông tại J,T.
Tỉ số cạnh đối góc S với cạnh huyền cho
\frac{IJ}{SI}=\frac{TB}{SB}=\frac R\ell.
Vì R>0, suy ra độ cao tâm là SI=r\ell/R. Đỉnh trên của viên bi cao hơn tâm r, nên đặt
\boxed{b=\frac{r\ell}{R}+r=r\left(1+\frac\ell R\right)}.
Đỉnh dưới cao r(\ell/R-1)>0 vì \ell>R. Viên bi không chạm đỉnh nhọn của ly, đúng nhận xét ban đầu.
Điều kiện đặt trọn viên bi trong ly
Tâm thấp hơn r\ell/R sẽ làm mặt cầu xuyên qua thành; tâm ở đúng độ cao ấy cho tiếp xúc đối xứng. Với vị trí này, cần và đủ để cả viên bi không nhô khỏi miệng là b\le H, tương đương
\boxed{r\le\frac{RH}{R+\ell}}.
Chiều cần kiểm tra đỉnh trên. Chiều đủ: ở mỗi mặt cắt qua trục, đường tròn của bi nằm giữa hai cạnh nón và tiếp xúc chúng; đỉnh trên không vượt mặt phẳng miệng. Quay mặt cắt quanh trục cho toàn khối cầu nằm trong ly. Ở dấu bằng, bi vừa chạm mặt phẳng miệng; muốn có khoảng hở ở trên phải dùng dấu nghiêm.
3. Mực nước thay đổi theo lập phương của độ cao
Ở độ cao z, với 0<z\le H, gọi bán kính mặt nước là \rho(z). Hai tam giác mặt cắt từ đỉnh đến mặt nước và đến miệng đồng dạng, nên
\rho(z)=\frac RH z.
Dùng công thức thể tích nón, phần ly từ đỉnh đến cao z có dung tích
V(z)=\frac13\pi\rho(z)^2z=\frac{\pi R^2}{3H^2}z^3.
Tại z=0, thể tích bằng không; công thức vẫn đúng, nhưng không gọi phần rỗng là một hình nón không suy biến.
Giả sử ban đầu nước cao h_0, sau khi đặt bi thì cao h. Nếu bi chìm hoàn toàn và không có nước tràn, phần ly dưới mặt nước mới gồm nước ban đầu và toàn bộ viên bi:
\frac{\pi R^2}{3H^2}h^3=\frac{\pi R^2}{3H^2}h_0^3+\frac43\pi r^3.
Nhân với hệ số dương 3H^2/(\pi R^2) cho
\boxed{h^3=h_0^3+\frac{4H^2r^3}{R^2}}.
Đây là một giá trị ứng viên cho mực nước. Căn bậc ba dương là duy nhất, vì nếu 0\le u<v, thì v^3-u^3=(v-u)(v^2+uv+u^2)>0. Nhưng nghiệm đại số chưa tự bảo đảm h\ge b hoặc h\le H.
4. Ghép điều kiện hình học và bảo toàn thành một miền hợp lệ
Đặt D=4H^2r^3/R^2>0. Đây là phần tăng của h^3, không phải trực tiếp thể tích viên bi. Giả sử bi đã thỏa điều kiện vừa ly ở phần 2. Trạng thái chìm hoàn toàn, không tràn cần và đủ có
b\le h\le H,\qquad h^3=h_0^3+D.
Vì lập phương tăng trên các số không âm, ta được điều kiện tương đương cho mực nước ban đầu:
\boxed{b^3-D\le h_0^3\le H^3-D}.
Chiều cần: mọi trạng thái đúng mô hình phải thỏa hai giới hạn độ cao và bảo toàn. Chiều đủ: chọn h_0 trong miền ấy, công thức cho đúng một h nằm giữa đỉnh bi và miệng; khoảng trống chứa nước dưới h có thể tích đúng bằng nước ban đầu. Bi ở vị trí đã dựng, nên các điều kiện cùng được thỏa.
Vì sao cận dưới không tạo một mực nước âm?
Đặt s=\ell/R>1. Vì H^2/R^2=s^2-1, ta có
b^3-D=r^3\big((1+s)^3-4(s^2-1)\big)=r^3(s+1)\big((s-1)^2+4\big)>0.
Vậy hai đầu mút đều có căn bậc ba dương. Nếu bi vừa ly, b\le H, thì H^3-D\ge b^3-D; khoảng mực nước ban đầu không rỗng. Khi bi lớn đến mức b=H, chỉ còn đúng một mực nước ban đầu làm trạng thái vừa chìm và vừa đầy đồng thời.
Ở đầu trái, mặt nước vừa chạm đỉnh bi. Ở đầu phải, mặt nước vừa chạm miệng ly. Nếu cần cả đỉnh bi ngập thấp hơn mặt nước và một khoảng trống dương dưới miệng, phải bỏ cả hai đầu mút.
5. Kiểm tra tình huống chọn lọc trước khi nhận đáp số
Ly hình nón có chiều cao trong 12\,\mathrm{cm}, đường kính miệng 10\,\mathrm{cm}, đỉnh ở dưới. Nước ban đầu cao 6\,\mathrm{cm}. Viên bi sắt đặc có đường kính 3\,\mathrm{cm}, được thả chìm hoàn toàn; không có nước tràn. Tìm độ tăng mực nước, làm tròn đến hàng phần trăm.
Ta có R=5, r=1{,}5, \ell=\sqrt{12^2+5^2}=13. Theo mô hình vị trí thấp nhất, tâm bi cao
SI=\frac{1{,}5\cdot13}{5}=3{,}9\,\mathrm{cm},\qquad b=3{,}9+1{,}5=5{,}4\,\mathrm{cm}.
Bi vừa ly vì b<12. Thậm chí nước ban đầu 6 đã cao hơn đỉnh trên 5{,}4 của bi ở vị trí này; khi thêm thể tích bị chiếm chỗ, mặt nước sẽ cao hơn nữa nếu không tràn.
Bán kính mặt nước ban đầu là 5\cdot6/12=2{,}5\,\mathrm{cm}, nên
V_0=\frac13\pi\cdot2{,}5^2\cdot6=12{,}5\pi\,\mathrm{cm}^3.
Thể tích bi là \frac43\pi\cdot1{,}5^3=4{,}5\pi\,\mathrm{cm}^3. Vì thế
\frac{25\pi}{432}h^3=17\pi\quad\Longleftrightarrow\quad h^3=293{,}76.
Không cần dùng số gần đúng của \pi, vì nó triệt tiêu. Giá trị h\approx6{,}64759\,\mathrm{cm} thỏa 5{,}4<h<12: bi chìm, nước không tràn. Kiểm tra ngược dung tích dưới mức mới trừ thể tích bi cho 17\pi-4{,}5\pi=12{,}5\pi, đúng lượng nước ban đầu.
Đề hỏi độ tăng, nên
h-h_0=\sqrt[3]{293{,}76}-6\approx0{,}64759\,\mathrm{cm}\approx\boxed{0{,}65\,\mathrm{cm}}.
Có thể kiểm soát việc làm tròn bằng hai phép lập phương: 6{,}647^3<293{,}76<6{,}648^3. Do đó độ tăng nằm trong (0{,}647,0{,}648), chắc chắn làm tròn hàng phần trăm thành 0{,}65.
Mặt cắt được dựng cùng tỉ lệ 14 đơn vị vẽ cho một centimet. Tâm bi cao 3{,}9, bán kính 1{,}5; điểm tiếp xúc J thuộc thành nón và IJ\perp SB. Đường nét đứt là mức ban đầu 6; đường xanh là mức mới tính từ bảo toàn. Hình bi không đặt tại đỉnh nhọn.
6. Có thể biết trước những mực nước ban đầu nào phù hợp?
Giữ ly và viên bi của tình huống trên, thay h_0. Có b=27/5, D=1944/25. Điều kiện đầy đủ ở phần 4 cho
\boxed{\frac{9963}{125}\le h_0^3\le\frac{41256}{25}}.
Hai mốc của h_0 lần lượt xấp xỉ 4{,}30355 và 11{,}81723\,\mathrm{cm}; khi quyết định một trường hợp ở biên phải dùng biểu thức chính xác, không dùng các số đã làm tròn để thay miền.
Nước ban đầu cao 6 nằm trong khoảng, nên mô hình nguồn hợp lệ. Nếu h_0=1, công thức giả định chìm hoàn toàn cho h^3=78{,}76, nhỏ hơn b^3=157{,}464. Vì thế h<b, trái giả thiết. Không được báo căn bậc ba ấy như đáp số của mô hình chìm hoàn toàn.
Trong trường hợp nước quá thấp, chỉ một phần bi ở dưới nước; phải tính thể tích phần chìm thay vì thể tích cả cầu. Bài học không dùng công thức phần cầu ấy, nên dừng đúng ở kết luận “mô hình hiện tại không phù hợp”, không đoán một mực nước khác.
Nếu h_0^3>41256/25, ứng viên h vượt miệng; giả thiết không tràn sai. Khi ấy cần thêm lượng nước tràn vào phương trình bảo toàn, không tăng chiều cao ly bằng cách giữ nguyên kết quả đại số.
7. Ly hẹp hơn vừa làm nước dâng mạnh, vừa đẩy viên bi lên cao
Đổi mô hình: vẫn cao H=12, vẫn bi bán kính 1{,}5, vẫn nước ban đầu cao 6, nhưng bán kính miệng chỉ còn R=3. Một suy nghĩ chưa đủ là “ly hẹp hơn nên nước dâng cao hơn, chắc bi sẽ chìm”. Ta phải tính cả vị trí bi.
Đường sinh là \ell=\sqrt{153}, nên đỉnh bi ở vị trí thấp nhất cao
b=\frac{3+\sqrt{153}}2\approx7{,}68466.
Viên bi vẫn đặt vừa ly vì b<12. Tuy nhiên công thức giả định chìm hoàn toàn cho
h^3=6^3+\frac{4\cdot12^2\cdot1{,}5^3}{3^2}=432,\qquad h\approx7{,}55953.
Ta có h<b, nên giả thiết chìm hoàn toàn không tự nhất quán. Có thể chứng minh không cần làm tròn:
b^3=\frac{351+45\sqrt{153}}2>432,
vì \sqrt{153}>57/5, được kiểm tra bằng 153>(57/5)^2. Do lập phương tăng, b>\sqrt[3]{432}=h.
Ly hẹp làm cùng thể tích chiếm chỗ tạo mức nước cao hơn, nhưng cũng làm viên bi tiếp xúc thành ở vị trí cao hơn. Chỉ so độ dâng hoặc chỉ kiểm đường kính miệng đều chưa đủ. Đây là một thay đổi hình học có thể phá giả thiết của công thức đang dùng.
8. Tự kiểm tra điều kiện trước phép tính
Bi đường kính3cm đặt trong ly nón có nhất thiết đỉnh trên cao3cm không?
Không. Trong ly nguồn, đỉnh dưới cao 3{,}9-1{,}5=2{,}4\,\mathrm{cm}, đỉnh trên cao 5{,}4\,\mathrm{cm}. Đường kính chỉ là khoảng cách từ đáy bi tới đỉnh bi, không phải khoảng cách từ đỉnh nón tới đỉnh bi.
Viên bi lớn nhất đặt đối xứng trọn trong ly nguồn có bán kính bao nhiêu?
Điều kiện r\le RH/(R+\ell) cho r\le5\cdot12/(5+13)=10/3\,\mathrm{cm}. Dấu bằng đạt được bằng bi tiếp xúc thành và chạm mặt phẳng miệng. Nếu yêu cầu nằm thấp hơn miệng một khoảng dương, bán kính phải nhỏ hơn 10/3; khi ấy không có bán kính lớn nhất, chỉ có cận trên này.
Tính được một nghiệm dương nhỏ hơn chiều cao ly đã đủ nhận chưa?
Chưa. Còn phải kiểm tra bi đặt vừa ly và mặt nước cao ít nhất bằng đỉnh trên của bi ở vị trí được mô tả. Ví dụ ly bán kính miệng 3 có ứng viên h\approx7{,}56<12, nhưng vẫn thấp hơn đỉnh bi, nên không hợp lệ cho giả thiết chìm hoàn toàn.
Một lời giải khép kín đi qua cả hình học và thể tích: xác định vị trí vật bằng tiếp xúc; suy bán kính mặt nước từ đồng dạng; bảo toàn đúng lượng nước; rồi kiểm miền nằm giữa đỉnh vật và miệng ly. Nghiệm chỉ được nhận sau khi quay lại những giả thiết đã tạo ra nó.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện