Tối ưu thể tích: giữ đúng ràng buộc, chứng minh đúng dấu bằng
Từ hình trụ và hình nón cùng đáy, cùng chiều cao đến ràng buộc Pythagore; chọn biến, chứng minh cận bằng bình phương, kiểm tra dấu bằng, miền hình học và đổi…
THCS · TOÁN · MÔ HÌNH HÌNH KHỐI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
Tối ưu thể tích: giữ đúng ràng buộc, chứng minh đúng dấu bằng
Mục tiêu: chuyển một điều kiện hình học thành quan hệ giữa các kích thước; chọn biến, tìm một cận trên và chứng minh cận đó đạt được. Bài dùng hằng đẳng thức, không cần đạo hàm.
Cần biết: định lí Pythagore, thể tích hình trụ và hình nón tròn xoay, khai triển đa thức, căn bậc hai. Mô hình và số liệu dưới đây được tự biên soạn đầy đủ.
1. Đọc rõ vật nào được đo, kích thước nào bị giữ cố định
Xét một hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r>0, chiều cao h>0. Một hình nón tròn xoay nằm trong hình trụ: đáy nón trùng đáy dưới của trụ, đỉnh nón là tâm đáy trên. Vì vậy nón và trụ có cùng bán kính đáy r và cùng chiều cao h.
Ta giữ cố định độ dài đường sinh của nón là L>0, cho phép r,h thay đổi theo điều kiện đó. Mục tiêu là làm thể tích toàn hình trụ lớn nhất. Không hiểu “nón nằm trong trụ” thành việc trừ thể tích nón nếu chưa có yêu cầu về phần còn lại.
Đường sinh nón là đoạn nối đỉnh với một điểm trên đường tròn đáy. Nó khác chiều cao nón. Trong mô hình này, L cũng không phải đường sinh của trụ; đường sinh trụ có độ dài h.
Chọn O là tâm đáy dưới, A là đỉnh nón, B là một điểm trên đường tròn đáy. Tam giác AOB vuông tại O, với AO=h, OB=r, AB=L. Do đó:
r^2+h^2=L^2.
Dự đoán: có thể tăng đồng thời r và h mà vẫn giữ L không đổi không? Hãy kiểm tra bằng tổng hai bình phương trước khi mở gợi ý.
Xem gợi ý về sự đánh đổi giữa hai kích thước
Với r,h>0, tăng cả hai làm r^2+h^2 tăng, trái với L^2 cố định. Trong mô hình này, khi h tăng, r^2=L^2-h^2 giảm. Thể tích lớn không chỉ phụ thuộc vào một kích thước lớn.
2. Chọn một biến và ghi miền có hình khối thật
Thể tích trụ là V=\pi r^2h. Vì r^2=L^2-h^2, chọn h sẽ tránh phải mang căn thức trong công thức thể tích:
V(h)=\pi(L^2-h^2)h,\qquad 0<h<L.
Miền này có hai lí do: h>0 để có chiều cao dương; r^2>0 để đáy không co thành một điểm, nên h^2<L^2, tương đương h<L vì h,L>0. Ngược lại, mỗi h trong miền này cho đúng một bán kính dương r=\sqrt{L^2-h^2}.
Nếu thay hình thức h=0 hoặc h=L vào đa thức, ta được 0. Đó là giá trị ở cấu hình suy biến, không phải hai hình trụ thật trong miền đã chọn. Việc xem hai đầu giúp hiểu mô hình, nhưng chưa chứng minh vị trí thể tích lớn nhất bên trong.
Nếu chọn r, công thức đúng là V=\pi r^2\sqrt{L^2-r^2}, miền 0<r<L. Cả hai cách hợp lệ; chọn h chỉ giúp biểu thức gọn hơn, không thay đổi bài toán.
3. Chứng minh một cận trên bằng một bình phương
Ta cần chặn L^2h-h^3. Một cách tìm chứng minh là tạo hiệu có dạng bình phương nhân với số dương. Với một số a>0, khai triển:
(h-a)^2(h+2a)=h^3-3a^2h+2a^3.
Để hệ số của h là -L^2, chọn 3a^2=L^2, tức a=L/\sqrt3. Khi đó:
2a^3-(L^2h-h^3)=(h-a)^2(h+2a)\ge0.
Vì h>0,a>0, thừa số h+2a dương. Bình phương không âm nên toàn bộ hiệu không âm. Suy ra cận trên:
V(h)\le2\pi a^3=\frac{2\pi L^3}{3\sqrt3}.
Đây là chứng minh cho mọi chiều cao trong miền, không phải chỉ kiểm tra một vài số trên máy tính. Đẳng thức xảy ra chính xác khi h=a, vì h+2a\ne0.
Phải kiểm tra cận có đạt được: 0<L/\sqrt3<L, và bán kính tương ứng r=L\sqrt{2/3}>0. Vậy đó là một hình trụ hợp lệ, nên cận trên thực sự là giá trị lớn nhất.
Kết quả của mô hình: h=L/\sqrt3, r=L\sqrt{2/3}, r^2=2h^2. Tỉ lệ tối ưu là r=\sqrt2\,h, không phải r=h.
4. Đọc một cấu hình chính xác, rồi thử một cấu hình khác
Lấy mô hình tự biên soạn có L=3\sqrt3\,\mathrm{cm}. Ta được h=3\,\mathrm{cm}, r=3\sqrt2\,\mathrm{cm}. Kiểm tra độc lập: h^2+r^2=9+18=27=L^2, và V=\pi\cdot18\cdot3=54\pi\,\mathrm{cm}^3.
Hình biểu diễn tam giác kích thước trong một nửa thiết diện qua trục, không phải toàn hình trụ. Cùng tỉ lệ 60 đơn vị hình cho 1 cm: AO dài 180, OB dài 180\sqrt2, AB dài 180\sqrt3. Đơn vị các độ dài ghi trên hình là cm.
Thử cấu hình h=\sqrt{27/2}\,\mathrm{cm}, r=\sqrt{27/2}\,\mathrm{cm}, tức hai kích thước bằng nhau. Nó vẫn thỏa r^2+h^2=27, nhưng không đạt dấu bằng h=3. Bởi vậy thể tích nhỏ hơn 54\pi; không cần tính gần đúng để chứng minh điều này.
Với h=2\,\mathrm{cm}, bán kính phải là \sqrt{23}\,\mathrm{cm}, không phải giữ nguyên 3\sqrt2. Thể tích là 46\pi\,\mathrm{cm}^3, và độ thiếu so với cực đại là 8\pi\,\mathrm{cm}^3. Công thức hiệu kiểm lại: \pi(2-3)^2(2+6)=8\pi.
5. Đổi vật cần đo hoặc đổi ràng buộc sẽ đổi lập luận
Điều đang thay đổi · Quan hệ đúng · Hệ quả
Đo nón cùng đáy, cùng chiều cao · V_{\text{nón}}=\frac13\pi r^2h · Với cùng ràng buộc L, nhân bởi hằng số dương 1/3 giữ nguyên cấu hình tối ưu; giá trị cực đại bằng một phần ba của trụ.
Đo phần trụ nằm ngoài nón · V_{\text{còn lại}}=\frac23\pi r^2h · Chỉ đúng khi nón nằm trong trụ như mô hình đã mô tả. Cấu hình tối ưu vẫn giữ nguyên vì hệ số 2/3 dương và cố định.
Giữ r=r_0>0, không chặn h · V=\pi r_0^2h · Không có giá trị lớn nhất hữu hạn: tăng h tùy ý sẽ tăng V. Không được mang kết quả giữ L sang đây.
Thêm giới hạn chế tạo h\le H · Vẫn cần cả r^2+h^2=L^2 và giới hạn mới · Nếu H<L/\sqrt3, cấu hình vừa tìm bị loại. Cần tối ưu lại trên miền mới, không công bố cận cũ là giá trị đạt được.
Cùng mang tên “tối đa thể tích” không có nghĩa dùng cùng một tỉ lệ. Điều kiện về đường sinh, bán kính, diện tích vật liệu hay chiều cao là các mô hình khác nhau.
6. Kiểm tra đơn vị, tỉ lệ và ý nghĩa của một chứng minh
Trong V=\pi(L^2-h^2)h, các độ dài phải dùng cùng đơn vị. L^2-h^2 có đơn vị diện tích; nhân với h cho đơn vị thể tích. Nếu độ dài đo bằng cm, kết quả là \mathrm{cm}^3, không phải \mathrm{cm}^2.
Nếu đồng thời phóng lớn toàn mô hình theo hệ số t>0, thì L,r,h đều nhân t, còn giá trị thể tích lớn nhất nhân t^3. Chẳng hạn tăng L gấp đôi và tối ưu lại cho thể tích cực đại gấp 8, không phải gấp đôi. Đây không phải thao tác giữ L rồi tăng riêng h.
Ba mệnh đề cần tách rõ: một giá trị là kết quả của một cấu hình; một cận trên đúng cho tất cả cấu hình; một cận trên có cấu hình đạt tới. Chỉ khi có hai điều sau, ta mới kết luận đó là giá trị lớn nhất.
Tự kiểm chứng biểu thức: khai triển lại (h-a)^2(h+2a), kiểm tra thừa số còn lại dương trên miền, rồi thay cấu hình dấu bằng vào điều kiện hình học và công thức thể tích. Đồ thị hoặc bảng giá trị giúp dự đoán; chúng không thay cho chứng minh trên cả miền liên tục.
7. Tự kiểm tra: từ điều kiện đến cận đạt được
Thử nêu lí do trước khi mở. Bài học cần một lập luận tái sử dụng được, không chỉ ghi nhớ tỉ lệ cuối.
1. Vì sao không viết r + h = L?
Gợi ý: Nhìn góc tại O.
Tự đối chiếu: Tam giác kích thước vuông, nên Pythagore cho r^2+h^2=L^2. Đường sinh là cạnh huyền, không phải tổng hai cạnh góc vuông.
2. Nếu h = L, ta còn hình trụ thật không?
Gợi ý: Tính lại bán kính.
Tự đối chiếu: r^2=L^2-L^2=0, đáy co thành một điểm. Cấu hình suy biến này nằm ngoài miền r,h>0.
3. Khai triển bình phương cho biết cách chọn a thế nào?
Gợi ý: So sánh hệ số của h.
Tự đối chiếu: (h-a)^2(h+2a)=h^3-3a^2h+2a^3. Chọn 3a^2=L^2 để hiệu còn đúng dạng cần chặn, rồi dùng a>0.
4. Tại sao có cận trên vẫn phải kiểm tra dấu bằng?
Gợi ý: Một cận có thể không đạt được.
Tự đối chiếu: Cần h=a thuộc miền và bán kính tương ứng dương. Nếu cấu hình dấu bằng bị một điều kiện khác loại, ta mới chỉ có cận, chưa có giá trị lớn nhất đạt được.
5. Với L = 3√3 cm, h = 4 cm có hợp lệ không?
Gợi ý: Kiểm tra r² rồi so với cực đại.
Tự đối chiếu: Có: r^2=27-16=11>0. Thể tích 44\pi\,\mathrm{cm}^3, thiếu 10\pi so với 54\pi. Công thức hiệu cho \pi(4-3)^2(4+6)=10\pi.
6. Tại cực đại, diện tích đáy bằng bình phương chiều cao không?
Gợi ý: Phân biệt r² và πr².
Tự đối chiếu: r^2=2h^2, còn diện tích đáy là \pi r^2=2\pi h^2. Không bỏ hệ số \pi hoặc nhầm bán kính với đường kính.
7. Nếu đo nón trong ví dụ thay vì trụ, giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Gợi ý: Hệ số thể tích là hằng số dương.
Tự đối chiếu: V_{\text{nón,max}}=54\pi/3=18\pi\,\mathrm{cm}^3, đạt ở cùng h=3, r=3\sqrt2. Đừng dùng 54\pi cho vật cần đo đã đổi.
8. Giới hạn h ≤ 2 cm trong ví dụ có cho phép dùng cấu hình h = 3 cm không?
Gợi ý: Kiểm tra miền trước khi dùng đáp số.
Tự đối chiếu: Không. Cấu hình đó bị loại. Bất đẳng thức V\le54\pi vẫn đúng, nhưng dấu bằng không đạt trên miền mới. Phải tìm và chứng minh cận đạt được của miền mới thay vì chỉ chép kết quả cũ.
Quy trình: xác định vật cần đo → viết ràng buộc → chọn biến và miền → chứng minh cận → kiểm tra dấu bằng → trả kết luận cùng đơn vị và giả thiết.
Chuyên đề tự biên soạn · Hình học và đại số phục vụ mô hình tối ưu · Ví dụ độc lập, không phụ thuộc đề thi bên ngoài.