Hai tiếp tuyến từ một điểm: dùng đối xứng để tìm đường và độ dài
Từ tam giác vuông bằng nhau đến trục đối xứng, dây tiếp điểm và đường tròn phụ. Chứng minh hệ thức, kiểm hai tâm khác nhau, tính góc/diện tích và nhận biết…
TOÁN 9 · TIẾP TUYẾN VÀ ĐỐI XỨNG
Hai tiếp tuyến từ một điểm: dùng đối xứng để tìm đường và độ dài
Trong hình có hai tiếp tuyến, vẽ thêm nhiều đường chưa chắc giúp chứng minh. Một đường thường đáng tìm trước: đường nối điểm ngoài với tâm. Nó đồng thời liên hệ hai tam giác vuông, hai tiếp điểm, phân giác và một đường tròn phụ.
Mục tiêu: tự chứng minh hai tiếp tuyến bằng nhau; xác định trục đối xứng; dùng đúng tâm khi xét tiếp tuyến; suy ra vị trí dây tiếp điểm và các độ dài bằng Pythagore, đồng dạng; biết một cấu hình mất ý nghĩa khi điểm ngoài tiến đến đường tròn.
Cần biết: tam giác vuông bằng nhau, đường trung trực, phân giác, Pythagore, tam giác đồng dạng và góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Ví dụ và hình vẽ được tự biên soạn.
1. Trước hết, nói rõ đang tiếp xúc với đường tròn nào
Với đường tròn tâm O, bán kính R>0, một đường thẳng qua điểm B trên đường tròn là tiếp tuyến tại B khi nó vuông góc OB. Có hai thông tin phải kiểm: B thuộc đường tròn; đường thẳng vuông góc với bán kính đến đúng tiếp điểm .
Từ điểm P ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến PB,PC, tiếp điểm phân biệt B,C. Đặt OP=d>R. Ta có OB\perp PB, OC\perp PC. Vì thế hình đã chứa hai tam giác vuông: OBP và OCP.
Dự đoán. Hai đoạn PB,PC có bằng nhau vì chúng cùng xuất phát từ P, hay còn cần tính chất đường tròn?
Tìm hai dữ kiện thật sự làm hai tam giác bằng nhau
Hai tam giác vuông có cạnh huyền OP chung và cạnh góc vuông OB=OC=R. Theo trường hợp cạnh huyền–cạnh góc vuông, chúng bằng nhau. Suy ra PB=PC. Hai đoạn bất kì cùng xuất phát từ một điểm không nhất thiết bằng nhau.
Chính phép so sánh ấy còn cho \angle BPO=\angle OPC và \angle BOP=\angle POC. Nghĩa là đường nối tâm chia đôi cả góc giữa hai tiếp tuyến tại P và góc nhỏ giữa hai bán kính tại O.
2. Đường trung trực giải thích hình đối xứng
Vì PB=PC, điểm P nằm trên đường trung trực BC. Vì OB=OC, tâm O cũng nằm trên đường trung trực ấy. Hai điểm O,P phân biệt, nên đường thẳng OP chính là đường trung trực của BC.
Gọi H=OP\cap BC. Khi đó:
OP\perp BC,\qquad HB=HC.
Hai tiếp điểm là ảnh đối xứng của nhau qua OP, còn O,P,H nằm trên trục nên giữ nguyên. Ta không cần giả sử bức vẽ cân đối; sự cân đối là kết quả đã chứng minh .
Cùng tỉ lệ 25 đơn vị hình cho một đơn vị độ dài: O ở (270;240), P ở (595;240). Tiếp điểm được dựng từ tọa độ chính xác B=(25/13,60/13), C=(25/13,-60/13) trong hệ có O là gốc, OP là trục ngang. Bán kính và tiếp tuyến thật sự vuông góc.
Ở ví dụ hình vẽ, R=5, d=13. Hai tiếp tuyến dài 12. Điểm H nằm giữa O,P, nhưng không phải trung điểm OP. Đường trung trực của BC đi qua trung điểm của BC ; điều đó không nói giao điểm cũng chia đôi đoạn OP.
Chỉ biết HB=HC chưa đủ nói OP\perp BC, nếu chưa có vị trí của O,P. Ngược lại, một đường đi qua trung điểm dây chưa chắc vuông góc dây: cần chứng minh đường ấy là đường trung trực, không chỉ đi qua một điểm.
3. Một tam giác vuông cho nhiều hệ thức, nhưng không nên học rời
Trong \triangle OBP vuông tại B, cạnh huyền là OP=d. Pythagore cho độ dài tiếp tuyến:
PB^2=OP^2-OB^2=d^2-R^2,\qquad PB=PC=\sqrt{d^2-R^2}.
Trong tam giác vuông OBP, H là chân đường cao xuống cạnh huyền OP, nên H nằm giữa O,P. Để tìm OH, xét \triangle OHB và \triangle OBP. Hai tam giác đều vuông, có góc tại O bằng nhau vì O,H,P thẳng hàng cùng phía. Do đó \triangle OHB\sim\triangle OBP, với cặp đỉnh O\leftrightarrow O, H\leftrightarrow B, B\leftrightarrow P.
\frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OP}\quad\Longrightarrow\quad OH=\frac{R^2}{d}.
Vì d>R>0, ta có 0<OH<R<d, phù hợp với vị trí H trong đoạn OP. Tiếp tục dùng Pythagore trong OHB và HB=HC:
BH=\sqrt{R^2-OH^2}=\frac{R\sqrt{d^2-R^2}}{d},\qquad BC=\frac{2R\sqrt{d^2-R^2}}{d}.
Kiểm ví dụ: với R=5,d=13, ta được PB=PC=12, OH=25/13, BH=60/13, BC=120/13. Hình được dựng từ đúng các giá trị này. Đặc biệt, dây BC nhỏ hơn đường kính 10 vì 120/13<10.
Tự phát hiện lỗi: vì PB = 12 nên dây BC cũng bằng 12?
Không. Tiếp tuyến và dây là hai loại đoạn khác nhau. Ở ví dụ, BC=120/13, xấp xỉ 9,23, khác 12. Một phép kiểm nhanh: mọi dây dài không quá đường kính 10, nên BC bằng 12 đã vô lí trước khi tính chi tiết.
4. Một đường tròn phụ vừa giúp dựng hình vừa dễ gây nhầm
Hai góc OBP,OCP đều vuông và cùng nhìn đoạn OP. Bởi vậy O,B,P,C cùng thuộc đường tròn đường kính OP. Gọi I là trung điểm OP; đường tròn phụ có tâm I, bán kính d/2.
Nét xanh: tâm O, bán kính 5; nét tím đứt: tâm I, bán kính 13/2. Hai đường tròn có chung B,C nhưng khác tâm và bán kính. Đường tròn phụ qua O,P; đường PB cắt đường tròn phụ tại hai điểm. Hình giữ cùng tỉ lệ với hình trước.
Đừng thay tâm O bằng tâm I chỉ vì hai đường tròn cùng đi qua B,C. Đường PB là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, nhưng là cát tuyến của đường tròn phụ: nó đi qua hai điểm phân biệt P,B trên đường tròn phụ. Bán kính IB không vuông góc PB.
Cách dựng hai tiếp tuyến từ P: xác định trung điểm I của OP; vẽ đường tròn đường kính OP; lấy hai giao điểm của nó với đường tròn ban đầu là B,C; nối PB,PC. Vì B,C thuộc đường tròn đường kính OP, góc tại chúng vuông. Do đó các đường vừa nối vuông góc bán kính OB,OC, đúng là tiếp tuyến của đường tròn ban đầu.
Điều kiện P ngoài đường tròn bảo đảm có hai tiếp điểm phân biệt. Một nét vẽ trông chạm nhẹ đường tròn không phải phép dựng; quan hệ góc vuông mới là chứng cứ.
5. Khi đề cho góc hoặc diện tích: chọn cách nhìn phù hợp
Tứ giác theo thứ tự O,B,P,C có hai góc tại B,C đều vuông. Tổng góc tứ giác cho:
\angle BPC+\angle BOC=180^\circ,
trong đó \angle BOC là góc nhỏ giữa hai bán kính đến tiếp điểm. Nhờ phân giác OP, nếu góc giữa hai tiếp tuyến là 60^\circ, mỗi góc BPO,OPC bằng 30^\circ. Trong tam giác vuông OBP, cạnh OB=R đối diện góc 30^\circ, nên OP=2R, PB=R\sqrt3.
Có thể kiểm bằng lượng giác THCS: \sin30^\circ=OB/OP=1/2. Không lấy góc ở tâm 120^\circ làm góc nhọn của tam giác vuông đang xét.
Diện tích tứ giác: đường OP chia tứ giác thành hai tam giác vuông không chồng phần trong. Mỗi tam giác có hai cạnh góc vuông R và PB, nên:
S_{OBPC}=2\cdot\frac12R\cdot PB=R\sqrt{d^2-R^2}.
Một cách khác là dùng hai đường chéo vuông góc OP,BC: S_{OBPC}=\tfrac12 OP\cdot BC. Thay biểu thức BC ở phần 3 cho cùng kết quả. Hai cách tính là một phép kiểm chéo có ý nghĩa, không phải hai công thức phải học thuộc tách biệt.
Ví dụ R=5,d=13 cho diện tích 60. Ví dụ khác, R=4 và góc giữa hai tiếp tuyến 60^\circ cho d=8, độ dài tiếp tuyến 4\sqrt3, diện tích 16\sqrt3. Đơn vị diện tích là bình phương đơn vị độ dài đã dùng.
6. Thay đổi dữ kiện, giữ lại điều gì?
Giữ R, thay d. Từ PB^2=d^2-R^2, khi điểm ngoài ở xa tâm hơn thì tiếp tuyến dài hơn. Từ OH=R^2/d, chân H lại gần tâm hơn. Điều này không mâu thuẫn: đang nói về hai đoạn khác nhau.
Khoảng cách tâm đến dây nhỏ hơn làm dây dài hơn, theo BH^2=R^2-OH^2. Nhưng dây BC luôn nhỏ hơn 2R khi d hữu hạn và P ở ngoài. Ví dụ d=13,R=5 không cho dây bằng hai tiếp tuyến cộng lại.
Khi d=R. Điểm P nằm trên đường tròn, chỉ có một tiếp tuyến tại P. Các điểm B,C trong cách mô tả hai tiếp tuyến trùng về P; dây và tứ giác bốn đỉnh phân biệt không còn. Giá trị 0 trong căn chỉ gợi sự suy biến, không cho phép tiếp tục dùng một tam giác vuông có cạnh dài 0.
Khi d<R. Điểm P nằm trong đường tròn; không có tiếp tuyến thực từ P. Biểu thức d^2-R^2<0 giúp nhận ra dữ kiện không thuộc mô hình, không phải lời mời lấy căn âm ở cấp học này.
Phân biệt dữ kiện và kết luận: R và d xác định được các độ dài trong cấu hình. Chỉ biết hai tiếp tuyến bằng nhau chưa xác định một độ dài số. Góc nhìn của hình có thể thay đổi khi xoay giấy; tâm, khoảng cách và quan hệ vuông góc vẫn phải được xác định bằng giả thiết.
7. Tự kiểm bằng cấu trúc đã học
A. Bán kính 3, khoảng cách điểm ngoài đến tâm 5: tiếp tuyến dài bao nhiêu?
PB=\sqrt{5^2-3^2}=4. Căn dương vì là độ dài. Không tính 5-3=2: Pythagore liên hệ bình phương, không trừ trực tiếp hai cạnh.
B. Với dữ kiện A, tìm khoảng cách từ tâm tới dây hai tiếp điểm và độ dài dây
OH=9/5; BH=\sqrt{9-81/25}=12/5; BC=24/5. Dây 4,8 nhỏ hơn đường kính 6, phù hợp hình học.
C. Với dữ kiện A, kiểm diện tích tứ giác bằng hai cách
Hai tam giác vuông cho S=3\cdot4=12. Hai đường chéo vuông góc cho S=\tfrac12\cdot5\cdot24/5=12. Cùng đơn vị diện tích; cả hai cách đều tính cùng tứ giác OBPC.
D. Đường PB vuông OB: PB có là tiếp tuyến của mọi đường tròn qua B không?
Không. Đường tròn nào có tâm O và đi qua B thì bán kính OB phù hợp. Với đường tròn phụ tâm I, phải xét IB; PB đã cắt nó tại P và B nên là cát tuyến.
E. Giao điểm H có phải trung điểm OP vì OP là đường trung trực BC?
Không. Kết luận là H là trung điểm BC. Ví dụ R=3,d=5 cho OH=9/5, khác OP/2=5/2. Đừng chuyển tên đoạn khi đọc định nghĩa.
F. Biết bán kính 6 và tiếp tuyến 8: tìm khoảng cách đến tâm
d^2=6^2+8^2=100, nên d=10. Kiểm điều kiện 10>6: điểm thật sự ở ngoài. Không lấy 8-6 hoặc 8+6 làm khoảng cách đến tâm.
G. Bán kính 4, khoảng cách đến tâm 3: có dựng được hai tiếp tuyến không?
Không, điểm nằm trong đường tròn. Dữ kiện không thỏa d>R. Phép tính PB^2=9-16=-7 chỉ xác nhận cấu hình không tồn tại theo mô hình đã nêu.
H. Góc giữa hai tiếp tuyến 60 độ, bán kính 2: tìm góc ở tâm và diện tích tứ giác
Góc ở tâm nhỏ bằng 120^\circ. Ta có d=4, PB=2\sqrt3, diện tích 4\sqrt3. Góc nửa tại P bằng 30^\circ mới thuộc tam giác vuông cần dùng.
Trước một hình mới: gọi đúng đường tròn và tâm; đánh dấu bán kính vuông tiếp tuyến; tìm hai tam giác vuông chung cạnh huyền; rút ra trục đối xứng; chọn đồng dạng, Pythagore hoặc góc theo đại lượng cần tìm; kiểm các điểm còn phân biệt.
Chuyên đề tự biên soạn · Hai tiếp tuyến, một trục đối xứng, hai đường tròn khác tâm · Toàn bộ nội dung nằm trong trang này