Từ số lượng và tổng tiền đến hệ phương trình có điều kiện
Chuyên đề Toán THCS về mô hình hai loại, số lượng và tổng tiền: đơn vị, quan hệ độc lập, nghiệm nguyên không âm, điều kiện giá, phí và giảm giá; đồ thị chính…
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THCS · MÔ HÌNH HAI ĐẠI LƯỢNG
Từ số lượng và tổng tiền đến hệ phương trình có điều kiện
Một hệ phương trình không bắt đầu từ việc chọn phép thế hay cộng. Nó bắt đầu từ câu hỏi mỗi số đang đo gì, tổng nào đang được bảo toàn và các giá trị nào được phép tồn tại trong tình huống.
Chuẩn bị: biểu thức đại số, phương trình bậc nhất, tọa độ và đơn vị. Sau bài học, em biết lập hai quan hệ độc lập, kiểm tra tính nguyên và không âm, nhận ra dữ kiện thiếu hoặc mâu thuẫn, rồi thay kết quả trở lại tình huống. Ví dụ dưới đây tự biên soạn để học phương pháp, không phải lời giải đề thi.
1. Định nghĩa ẩn bằng đại lượng, đơn vị và miền hợp lệ
Giả sử một quầy chỉ bán hai loại thẻ: loại A giá 3 nghìn đồng mỗi thẻ, loại B giá 1 nghìn đồng mỗi thẻ. Trong một buổi, quầy bán 12 thẻ và thu 22 nghìn đồng. Giá không đổi; không có thẻ tặng, khoản phí hay giảm giá. Đây là toàn bộ dữ kiện của ví dụ.
Gọi x là số thẻ A đã bán và y là số thẻ B đã bán. Vì đang đếm thẻ, x,y phải là số nguyên không âm. Dữ kiện không nói mỗi loại đều có người mua, nên không tự đặt x,y>0.
Đại lượng · Loại A · Loại B · Tổng
Số thẻ · x · y · 12
Giá một thẻ, nghìn đồng · 3 · 1 · Không cộng hai giá thành giá chung
Tiền thu, nghìn đồng · 3x · y · 22
Hai hàng số thẻ và tiền thu nói về hai tổng khác nhau. Mỗi tổng có đơn vị riêng; không cộng số thẻ với số tiền.
Dự đoán: chỉ biết tổng 12 thẻ có đủ tìm từng loại không?
Không. Các cặp (0,12),(1,11),(2,10) đều phù hợp, cùng với các cặp còn lại có tổng 12. Tổng tiền cung cấp thêm quan hệ để phân biệt chúng.
2. Lập quan hệ trước, biến đổi sau
\begin{cases}x+y=12,\\3x+y=22.\end{cases}
Phương trình đầu đếm tất cả thẻ; phương trình sau cộng tiền của hai loại. Khi trừ phương trình đầu khỏi phương trình sau, ta đã chọn đơn vị nghìn đồng cho giá trị số của tiền. Phép biến đổi đại số cho:
(3x+y)-(x+y)=22-12,\qquad2x=10.
Cách hiểu cùng phép biến đổi: nếu tất cả 12 thẻ đều là loại B, tiền thu là 12 nghìn đồng. Đổi một thẻ B thành A giữ nguyên tổng số thẻ và tăng tiền thêm 2 nghìn đồng. Phần tăng 10 nghìn đồng tương ứng 5 lần đổi. Vì vậy trong ví dụ, x=5,y=7.
Cách “lấy tất cả theo loại rẻ” không phải mẹo không cần chứng minh; nó xuất phát từ việc giữ tổng số lượng và đo phần chênh lệch giá. Nó áp dụng khi giá mỗi loại cố định và hai loại bao quát mọi đối tượng được đếm.
Việc trừ hai hàng số học không có nghĩa “22 nghìn đồng trừ12 thẻ”. Giá cơ sở đã biến 12 thẻ thành 12 nghìn đồng. Với giá B khác 1, phải dùng giá B nhân tổng số thẻ trước khi trừ.
3. Công thức tổng quát và điều kiện của phép chia
Gọi giá hai loại lần lượt là a,b, cùng một đơn vị tiền; tổng số lượng là N, tổng tiền là R. Giả sử a>b>0. Khi giá cố định và không có khoản điều chỉnh, mô hình là:
\begin{cases}x+y=N,\\ax+by=R.\end{cases}
Nhân phương trình số lượng với b, rồi trừ khỏi phương trình tiền, ta được:
(a-b)x=R-bN,\qquad x=\frac{R-bN}{a-b},\qquad y=N-x.
R-bN là phần tiền vượt mức tất cả đều theo giá rẻ; a-b là tiền tăng cho mỗi lần đổi. Vì a-b\ne0, phép chia hợp lệ. Đây là nghiệm đại số duy nhất của hệ trong giả thiết hai giá khác nhau.
Nếu a=b, không được dùng công thức ấy: mẫu bằng 0. Khi R=aN, phương trình tiền chỉ lặp lại thông tin về số lượng; chưa xác định riêng x,y. Khi R\ne aN, hai dữ kiện mâu thuẫn. Nếu N nguyên không âm và không thêm điều kiện, trường hợp phù hợp có N+1 cặp nguyên không âm; riêng N=0 chỉ có cặp (0,0).
Tự thử: vì sao biết “hai phương trình” chưa đủ?
Hai phương trình có thể là hai cách viết của cùng một thông tin, như x+y=12 và 2x+2y=24. Cần xét quan hệ độc lập, không đếm số dòng để kết luận có nghiệm duy nhất.
4. Nghiệm trên giấy phải được kiểm tra trong tình huống
Từ 0\le x\le N, mô hình hai giá a>b buộc:
bN\le R\le aN.
Mức thấp nhất xảy ra khi tất cả theo giá B; mức cao nhất khi tất cả theo giá A. Tổng tiền ngoài đoạn này không thể xảy ra trong mô hình. Nhưng nằm trong đoạn chỉ là điều kiện cần khi đang đếm đối tượng nguyên.
Với N=12,a=3,b=1, nếu cho R=23 nghìn đồng thì:
x=\frac{23-12}{2}=\frac{11}{2},\qquad y=\frac{13}{2}.
Hệ có nghiệm thực, nhưng không có cách bán nửa thẻ trong mô hình này. Không làm tròn thành 6 và 6: cặp đó thu 24 nghìn đồng, không phải 23. Làm tròn đã thay dữ kiện.
Các tổng tiền hợp lệ của ví dụ giá trên phải có dạng:
R=12+2x,\qquad x\in\{0,1,\ldots,12\}.
Nghĩa là 12,14,\ldots,36 nghìn đồng. Khi giá là số thập phân hữu hạn, có thể đổi về đơn vị nhỏ phù hợp để kiểm tra bằng số nguyên; không khẳng định mọi số nằm giữa hai mức đều bán được.
Nếu đối tượng là khối lượng chất lỏng có thể chia nhỏ, nghiệm không nguyên có thể hợp lệ. Miền nghiệm phụ thuộc đại lượng đang đo, không chỉ phụ thuộc dạng phương trình.
5. Nhìn hệ như hai đường: giao điểm và điểm hợp lệ
Trong ví dụ 12 thẻ, mỗi điểm (x,y) trên đường x+y=12 thỏa tổng số lượng. Đường 3x+y=22 thỏa tổng tiền. Điểm thỏa đồng thời là giao điểm (5,7). Các vạch trục bên dưới ghi đúng giá trị; hai trục dùng tỉ lệ vẽ khác nhau nên không dùng hình để đo góc hoặc độ dài.
Hai đường có thể giao ở điểm không phù hợp, như (11/2,13/2) khi tổng tiền là 23. Có giao điểm không tự chứng minh tình huống đếm thẻ thực hiện được. Cần kiểm tra nguyên, không âm và các giới hạn thêm nếu có.
Dự đoán: tổng tiền 36 nghìn đồng có thể xảy ra không?
Có trong dữ kiện không yêu cầu bán cả hai loại: (x,y)=(12,0). Nếu bổ sung “mỗi loại bán ít nhất một thẻ”, cặp ấy bị loại. Một điều kiện mới có thể thay đổi miền hợp lệ.
6. Đổi tình huống: khoản phí và giảm giá nằm ở đâu?
Nếu tổng tiền đã bao gồm một khoản phí cố định F thu một lần cho cả buổi, mô hình tiền là ax+by+F=R. Trừ F trước khi dùng mô hình hai loại. Không cộng F vào giá mỗi thẻ vì làm vậy sẽ tính phí N lần.
Nếu mỗi thẻ A được giảm một khoản cố định d, giá hiệu dụng là a-d. Chỉ dùng một hệ tuyến tính với giá đó nếu việc giảm áp dụng như nhau cho mọi thẻ A đang xét. Nếu giảm giá phụ thuộc số lượng hoặc chỉ áp dụng cho vài thẻ, phải tách trường hợp hoặc thêm thông tin.
Ví dụ tự biên soạn: cùng 12 thẻ và giá 3,1, tổng thu 24 nghìn đồng gồm phí một lần 2 nghìn đồng. Tiền thẻ là 22; mô hình số lượng cho (5,7). Nếu nhầm 24 là tiền thẻ, sẽ ra (6,6), rồi cộng phí làm tổng thành 26, trái dữ kiện.
“Doanh thu” khác “lợi nhuận”. Giá bán nhân số lượng cho tiền bán; muốn tính lợi nhuận còn phải biết chi phí liên quan. Một con số tiền không có tên rõ có thể khiến cả hệ sai dù phép giải đúng.
7. Tự dựng, kiểm tra và sửa mô hình
A. Hai loại huy hiệu giá 4 và 2 nghìn đồng, bán 10 chiếc, tiền huy hiệu là 28 nghìn đồng. Trước khi giải, hãy viết miền của ẩn và nêu ý nghĩa mỗi quan hệ.
Gợi ý A
Lấy tất cả theo giá rẻ: 10 chiếc tạo 20 nghìn đồng. Mỗi lần đổi tăng bao nhiêu?
Kiểm tra A
x,y nguyên không âm; x+y=10,4x+2y=28. Phần tăng là 8, mỗi lần tăng 2, nên x=4,y=6. Thay lại: số lượng 4+6=10, tiền 16+12=28, đúng cả hai quan hệ.
B. Cũng giá và tổng số lượng như A, nhưng tổng tiền là 29. Làm tròn nghiệm để báo số huy hiệu được không?
Kiểm tra B
Không. x=(29-20)/2=9/2, không nguyên. Trong mô hình bán nguyên chiếc, dữ kiện không tương thích; cần kiểm tra giá, tiền tổng hoặc điều kiện giảm giá, không tự sửa số lượng.
C. Cả hai loại đều giá 2 nghìn đồng, bán 10 chiếc và thu 20 nghìn đồng. Có thể kết luận mỗi loại 5 chiếc không?
Kiểm tra C
Không. Cặp (5,5) hợp lệ nhưng còn (0,10),(1,9) và các cặp khác. Có 11 cặp nguyên không âm nếu không thêm điều kiện. Cần dữ kiện phân biệt hai loại.
D. Giá 4,2, tổng 10 chiếc; số thu 30 nghìn đồng gồm phí một lần 2. Đưa khoản phí vào đâu?
Kiểm tra D
Tiền huy hiệu là 28. Viết 4x+2y+2=30 hoặc 4x+2y=28, cùng với tổng 10. Không dùng giá 6,4 cho mỗi chiếc.
Phiếu rà mô hình: ẩn đo gì, đơn vị gì? nguyên hay thực? không âm hay dương? hai quan hệ có độc lập không? giá có cố định không? tổng tiền đã gồm phí chưa? mẫu chia có khác 0 không? nghiệm có thỏa mọi điều kiện? thay vào cả hai quan hệ và diễn giải bằng lời đã đúng chưa?
Giải hệ là một bước trong quy trình mô hình hóa. Một kết quả đáng tin cần đúng đại lượng, đúng điều kiện và đúng dữ kiện sau khi thay lại.