Nhiều lần đo, một chiều cao: giao khoảng và sai số nhỏ nhất
Kiểm tra các phép đo bóng có cùng phù hợp một tháp hay không, dựng chiều cao trong các khoảng cho phép và chứng minh mức sai số chung tối thiểu.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Nhiều lần đo, một chiều cao: giao khoảng và sai số nhỏ nhất
Kiểm tra các phép đo bóng có cùng phù hợp một tháp hay không, dựng chiều cao trong các khoảng cho phép và chứng minh mức sai số chung tối thiểu.
01 · Một mô hình chung để đối chiếu nhiều lần đo
Ta xét một tháp thẳng đứng trên mặt đất ngang, tia nắng là đường thẳng. Chiều cao H>0 không đổi. Nếu bóng dài s>0, góc tia nắng với phương ngang là \alpha, với 0<\alpha<90^\circ, tam giác vuông cho
H=s\tan\alpha.
Hai lần đo chính xác phải cho cùng H. Nếu số đo chỉ được biết trong các khoảng, mỗi lần không cho một chiều cao duy nhất mà cho một tập chiều cao có thể có. Các phép đo phù hợp mô hình khi và chỉ khi có một chiều cao thuộc tất cả các tập ấy.
Đây là cách kiểm tra tính nhất quán, không phải khẳng định thiết bị chắc chắn có sai số nào. Khi không tìm được chiều cao chung, ít nhất một dữ kiện hoặc giả thiết mô hình cần được xem lại; phép tính tự nó chưa chỉ ra nguyên nhân.
02 · Từ khoảng bóng và khoảng góc đến khoảng chiều cao
Giả sử 0<l\le s\le u và 0<\alpha_0\le\alpha\le\alpha_1<90^\circ. Tang tăng trên khoảng góc nhọn: với các tam giác có cùng cạnh kề, tia có góc lớn hơn cắt đường đứng ở điểm cao hơn. Đặt p_0=\tan\alpha_0>0, p_1=\tan\alpha_1\ge p_0. Vì các thừa số dương,
lp_0\le H=s\tan\alpha\le up_1.
Hai cận đều đạt được bằng cách chọn đồng thời hai đầu tương ứng của khoảng bóng và khoảng góc. Còn mọi chiều cao ở giữa có dựng được không?
Với H\in[lp_0;up_1], đặt
s=\max\{l,H/p_1\},\qquad p=H/s.
Ta có s\le u vì cả l và H/p_1 đều không vượt u. Ta cũng có s\le H/p_0: điều này đúng cho l do H\ge lp_0, và đúng cho H/p_1 do p_1\ge p_0. Vì vậy p\ge p_0; còn s\ge H/p_1 cho p\le p_1. Chọn góc nhọn có tang bằng p, ta được một lần đo trong hai khoảng đã cho và chiều cao đúng bằng H.
Nếu các sai lệch của bóng và góc được phép chọn độc lập trong khoảng, toàn bộ chiều cao khả thi chính xác là [l\tan\alpha_0;u\tan\alpha_1]. Đây là kết quả có cả chiều thuận và chiều đảo.
Nếu có quan hệ bổ sung giữa sai lệch bóng và sai lệch góc, không được tự coi mọi cặp trong hai khoảng đều có thể xảy ra. Khi ấy khoảng trên vẫn là cận, nhưng chiều dựng mọi giá trị có thể không còn hợp lệ.
03 · Giao các khoảng là phép kiểm tra chung
Giả sử lần đo thứ i cho khoảng chiều cao [L_i;U_i], với L_i>0. Đặt L là số lớn nhất trong các đầu trái, U là số nhỏ nhất trong các đầu phải. Có chiều cao chung khi và chỉ khi L\le U.
Chiều cần: một chiều cao phù hợp phải lớn hơn hoặc bằng mọi L_i, và nhỏ hơn hoặc bằng mọi U_i. Chiều đủ: chọn bất kỳ H\in[L;U], rồi dùng cách dựng ngược của từng lần đo. Nếu các sai lệch giữa các lần độc lập, các cách dựng cùng dùng đúng chiều cao H, nên mọi dữ kiện có thể đồng thời phù hợp.
Nếu L=U, chỉ còn một chiều cao. Nếu L<U, cả một đoạn chiều cao vẫn có thể có. Nếu L>U, hai khoảng cực đoan đã mâu thuẫn. Không lấy trung bình các kết quả rồi coi đó là cách chữa một giao rỗng.
04 · Mẫu nguồn: hai phép đo khớp chính xác
Tháp AB vuông góc mặt đất ngang. Lần đầu, bóng dài 30\,\mathrm m, góc nắng 60^\circ. Lần sau, bóng dài 90\,\mathrm m. Dữ kiện lần đầu cho H=30\sqrt3\,\mathrm m; lần sau có
\tan\beta=\frac{30\sqrt3}{90}=\frac1{\sqrt3},
nên \beta=30^\circ, do góc nắng đang xét là góc nhọn. Nếu ghi hai cặp (30,60^\circ), (90,30^\circ), cả hai cho đúng cùng chiều cao. Đây là trường hợp các khoảng đo co về các giá trị chính xác.
Tình huống mới: góc vẫn coi là chính xác 60^\circ và 30^\circ, nhưng số đo bóng ghi được là 30 m và 89 m. Hai chiều cao suy ra riêng lẻ không bằng nhau. Ta muốn tìm mức sai số tuyệt đối chung nhỏ nhất của độ dài bóng để chúng có thể cùng mô tả một tháp.
05 · Sai số tối thiểu được quyết định bởi một cặp phép đo
Giả sử có n\ge2 lần đo, các góc chính xác có tang p_i>0, bóng ghi được s_i>0. Gọi h_i=p_is_i là chiều cao suy ra nếu tin hoàn toàn số đo. Cho phép mỗi số đo bóng lệch không quá \varepsilon\ge0 mét. Bóng thật của tháp cao H phải là H/p_i, nên
\left|\frac H{p_i}-s_i\right|\le\varepsilon\iff h_i-p_i\varepsilon\le H\le h_i+p_i\varepsilon.
Nếu đầu trái âm, vẫn phải giữ H>0. Điều này không gây khó cho chiều đủ phía dưới, vì mọi đầu phải h_i+p_i\varepsilon đều dương.
Các khoảng giao nhau khi và chỉ khi mọi đầu trái không vượt mọi đầu phải. Với cặp i,j, điều kiện là
h_i-h_j\le(p_i+p_j)\varepsilon.
Đổi chỗ hai chỉ số, ta thấy phải có \varepsilon\ge|h_i-h_j|/(p_i+p_j) cho mỗi cặp. Do đó mức nhỏ nhất là
\varepsilon_* =\max_{i<j}\frac{|h_i-h_j|}{p_i+p_j}.
Đây thực sự là mức đạt được. Khi chọn \varepsilon=\varepsilon_*, mọi bất đẳng thức giữa đầu trái và đầu phải đều đúng. Chọn H bằng đầu phải nhỏ nhất: nó dương và không nhỏ hơn bất kỳ đầu trái nào. Vì vậy bóng thật H/p_i thỏa toàn bộ sai số cho phép.
Không có mức nhỏ hơn vì một trong hữu hạn các cặp đạt giá trị lớn nhất. Nếu \varepsilon_*>0, chọn cặp đạt cực đại và đánh số sao cho h_i\ge h_j. Hai đầu h_i-p_i\varepsilon_* và h_j+p_j\varepsilon_* bằng nhau, buộc chiều cao chung duy nhất bằng số đó. Nếu \varepsilon_*=0, mọi h_i đã bằng nhau, cũng cho đúng một chiều cao.
06 · Sửa mô hình số đo bằng một mức sai số rõ ràng
Với hai góc 60^\circ,30^\circ, hai bóng ghi 30,89 m, ta có p_1=\sqrt3, p_2=1/\sqrt3. Khi đó
\varepsilon_* =\frac{|30\sqrt3-89/\sqrt3|}{\sqrt3+1/\sqrt3}=\frac14\text{ m}.
Chiều cao duy nhất tại mức sai số tối thiểu là
H_* =\left(30-\frac14\right)\sqrt3=\frac{119\sqrt3}{4}\text{ m}.
Các bóng thật tương ứng là 119/4=29{,}75 m và 357/4=89{,}25 m. Chúng lệch lần lượt -0{,}25 và +0{,}25 m so với số ghi; mỗi lần đạt đúng sai số cho phép. Đây là một bộ số đo phù hợp được dựng cụ thể, không chỉ là một cận dưới của sai số.
Để nhìn trên cùng thang, hình biểu diễn z=\sqrt3H. Với \varepsilon=1/4, hai khoảng của z là [89{,}25;90{,}75] và [88{,}75;89{,}25]. Tỉ lệ ngang 80 đơn vị hình cho một đơn vị z, nên chúng chạm đúng tại 89{,}25; không có một đoạn giao có độ dài dương.
Nếu chỉ cho phép sai số 0{,}2 m, lần đầu buộc H\ge29{,}8\sqrt3=89{,}4/\sqrt3, còn lần sau buộc H\le89{,}2/\sqrt3, mâu thuẫn. Nếu cho phép 0{,}3 m, giao trở thành
29{,}7\sqrt3\le H\le\frac{89{,}3}{\sqrt3},
có nhiều chiều cao và hai cận đều đạt. Tăng mức sai số cho phép làm tập mô hình phù hợp rộng hơn; nó không làm phép đo chính xác hơn.
07 · Các giả thiết nào phải được giữ?
Công thức sai số tối thiểu ở phần05 coi các góc là chính xác và chỉ tối ưu sai số bóng theo mét. Nếu cả góc cũng có sai số, phải lập khoảng chiều cao như phần02 hoặc một mô hình sai số mới. Không cộng trực tiếp số mét với số độ.
Tháp nghiêng, mặt đất dốc hoặc số đo bóng là khoảng cách nghiêng sẽ thay đổi phương trình H=s\tan\alpha. Sự không nhất quán không tự chứng minh người đo đã ghi sai; nó cũng có thể báo giả thiết hình học không phù hợp.
Giới hạn góc nhọn giữ các p_i hữu hạn và dương. Với nắng thẳng đứng, bóng co về chân tháp, không dùng tang 90^\circ. Với góc 0^\circ trên mặt đất ngang, tia từ đỉnh song song mặt đất, không có đầu bóng hữu hạn. Cần mô hình riêng ở những biên đó.
08 · Tự kiểm mức độ thông tin
Hai góc bằng nhau có làm công thức sai số vô nghĩa không?
Không. Ở đây mẫu là p_i+p_j>0, không phải hiệu tang. Nếu hai góc có cùng tang p, thì \varepsilon_*=|s_i-s_j|/2. Chiều cao tại mức tối thiểu là p(s_i+s_j)/2. Hai lần đo vẫn có thể kiểm tra độ nhất quán dù không tạo ra hai góc khác nhau.
Chỉ có một lần đo thì sai số tối thiểu là bao nhiêu?
Bằng 0: lấy H=p_1s_1 phù hợp chính xác. Một lần đo không tự kiểm tra được sai lệch giữa các lần. Không lấy cực đại trên tập cặp rỗng mà chưa định nghĩa; xét riêng trường hợp này.
Tại sao không lấy trung bình hai chiều cao suy ra để sửa ví dụ?
Hai hệ số tang khác nhau nên cùng một sai lệch chiều cao gây sai lệch bóng khác nhau. Bài đang giảm sai số bóng lớn nhất, không giảm sai số chiều cao. Công thức tối thiểu và việc thế lại hai bóng mới xác nhận đúng mục tiêu.
Nếu ba khoảng chiều cao là [10;12], [11;13], [12;14]?
Đầu trái lớn nhất là 12, đầu phải nhỏ nhất cũng 12, nên chỉ có chiều cao 12. Nếu đổi khoảng cuối thành [12{,}1;14], giao rỗng dù các khoảng còn gần nhau. Dấu bằng ở đầu mút quyết định khả năng có một mô hình chung.
Đo nhiều lần có ích khi ta giữ một mô hình chung và kiểm tra các giới hạn cùng lúc. Một giao khoảng có chiều đảo, hoặc một mức sai số được dựng và kiểm lại, cho biết chính xác dữ kiện hỗ trợ kết luận nào.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện