Gần cực đại, gần đều đến đâu: chứng minh một cận độ lệch
Dùng độ hụt và tổng bình phương hiệu để kiểm soát vị trí các biến, với chứng minh đại số đầy đủ và kiểm tra dấu bằng chính xác.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Gần cực đại, gần đều đến đâu: chứng minh một cận độ lệch
Dùng độ hụt và tổng bình phương hiệu để kiểm soát vị trí các biến, với chứng minh đại số đầy đủ và kiểm tra dấu bằng chính xác.
01. Một cận tốt còn đo được mức lệch khỏi dấu bằng
Chứng minh F\le M cho biết một giới hạn. Nếu còn chứng minh được phần thiếu M-F lớn ít nhất bằng một hằng số nhân với tổng các bình phương độ lệch, ta biết thêm: muốn gần đạt cực đại, các biến buộc phải gần cấu hình dấu bằng đến mức nào.
Với ba số thực x,y,z, đặt
E=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2.
Ta có E\ge0, và E=0 khi và chỉ khi x=y=z. Giả sử trên một miền đã xác định, chứng minh được
\boxed{M-F\ge cE,\qquad c>0}.
Khi ấy F\le M. Nếu F=M, bắt buộc E=0. Chiều đảo vẫn cần kiểm tra: bộ ba bằng nhau có thuộc miền và có thật sự cho F=M hay không. Một điều kiện cần của dấu bằng chưa tự bảo đảm cận được đạt.
Với \varepsilon\ge0, nếu F\ge M-\varepsilon, thì E\le\varepsilon/c. Mỗi bình phương trong tổng không vượt cả tổng, nên
|x-y|,\ |y-z|,\ |z-x|\le\sqrt{\varepsilon/c}.
Phương pháp này biến một chứng minh cực trị thành một chứng nhận về độ gần của các biến. Ta sẽ xây dựng đầy đủ một chứng nhận như vậy, không chỉ thử vài bộ số gần điểm đối xứng.
02. Khi tổng bình phương cố định, gần nhau còn là gần một giá trị cụ thể
Giả sử x,y,z>0, x^2+y^2+z^2=S>0. Đặt p=x+y+z, a=\sqrt{S/3}>0. Khai triển cho
E=3S-p^2.
Vì E\ge0, ta có p\le\sqrt{3S}=3a. Độ lệch bình phương tới bộ ba đều (a,a,a) là
T=(x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2
=2S-2ap=2a(3a-p).
Mặt khác, E=(3a-p)(3a+p), và 3a+p>0. Do đó
\boxed{T=\frac{2aE}{3a+p}\le\frac23E}.
Nếu có chứng nhận ở mục 01, F\ge M-\varepsilon sẽ kéo theo T\le2\varepsilon/(3c). Vì từng bình phương (x-a)^2 không vượt T, mỗi biến cách a không quá \sqrt{2\varepsilon/(3c)}. Tính dương giúp chọn đúng bộ ba đều dương và bảo đảm phép chia này hợp lệ.
03. Biểu thức nguồn và mục tiêu mạnh hơn một giá trị lớn nhất
Chọn đầy đủ điều kiện và biểu thức từ bài nguồn:
x,y,z>0,\qquad x^2+y^2+z^2=2,
P=\frac1{2-xy}+\frac1{2-yz}+\frac1{2-zx}.
Ta sẽ chứng minh chứng nhận định lượng
\boxed{\frac94-P\ge\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{48}}.
Nó vừa cho cực đại, vừa cho một cận độ lệch có thể dùng khi chỉ biết P gần 9/4. Hằng số ở đây được chọn để có một chứng minh đại số gọn; ta không cần khẳng định nó là hằng số lớn nhất có thể.
Kiểm tra các mẫu trước khi quy đồng
Vì z>0, x^2+y^2<2. Từ (x-y)^2\ge0, suy ra 0<xy\le(x^2+y^2)/2<1. Tương tự cho hai tích còn lại. Vì vậy mỗi mẫu nằm nghiêm ngặt giữa 1 và 2, và tích
D=(2-xy)(2-yz)(2-zx)
thỏa 1<D<8. Mọi phép nhân chéo sau đây giữ đúng chiều.
04. Giữ lại độ hụt khi quy đồng
Đặt p=x+y+z, q=xy+yz+zx, r=xyz. Từ điều kiện tổng bình phương, p^2=2+2q. Khi quy đồng ba phân thức, tổng ba tử là 12-4q+pr, còn mẫu chung là
D=8-4q+2pr-r^2.
Các hạng pr xuất hiện vì (xy)(yz)+(yz)(zx)+(zx)(xy)=xyz(x+y+z); hạng r^2 vì tích ba cặp bằng (xyz)^2. Do đó
\frac94-P=\frac{F}{4D},
F=24-20q+14pr-9r^2
=44-10p^2+14pr-9r^2.
Mặt khác, độ lệch E=6-p^2. Thay vì chỉ chứng minh F\ge0, ta sẽ chứng minh
F\ge\frac23(6-p^2)=\frac23E.
Một cận còn giữ thừa số E sẽ cung cấp thông tin về mức gần dấu bằng; nếu bỏ nó chỉ để kết luận không âm, ta mất thông tin ấy.
05. Một đẳng thức theo thứ tự cho cận dưới của tích
Vì các biểu thức p,q,r đối xứng, được phép đổi tên để xét x\ge y\ge z>0. Khai triển hai vế xác nhận đẳng thức
p^3+9r-4pq
=(x-y)^2(x+y-z)+z(x-z)(y-z).
Vế phải không âm: x+y-z\ge x>0, các hiệu còn lại không âm theo thứ tự. Suy ra p^3+9r\ge4pq. Đây là chứng minh trực tiếp một dạng bất đẳng thức Schur bằng tích các đại lượng đã biết dấu.
Thay q=(p^2-2)/2, được
r\ge r_0:=\frac{p(p^2-4)}9.
Cận dưới này hữu ích khi p\ge2, vì khi ấy r_0\ge0. Đồng thời E\ge0 cho p^2\le6, nên chỉ cần xét 0<p\le\sqrt6.
Ta còn có một cận trên đơn giản: do yz<1, r=xyz<x, tương tự r<y,r<z. Cộng lại cho 3r<p. Cận này đủ để so sánh hai giá trị của F theo r, không cần đạo hàm.
06. Hai miền của tổng, một chứng nhận chung
Khi p không vượt hai
Vì 3r<p, ta có 14p-9r>11p>0. Do đó
F=44-10p^2+r(14p-9r)\ge44-10p^2\ge4.
Lại có E=6-p^2\le6, nên 4\ge2E/3. Vậy F\ge2E/3 trong miền này.
Khi p từ hai đến căn sáu
Lúc này 0\le r_0\le r. Với p giữ nguyên, tính hiệu trực tiếp:
F(p,r)-F(p,r_0)
=(r-r_0)\bigl[14p-9(r+r_0)\bigr].
Ngoặc vuông không nhỏ hơn 14p-18r, mà 14p-18r>8p>0, vì r_0\le r và 3r<p. Vậy F(p,r)\ge F(p,r_0). Thế r_0 rồi phân tích:
F(p,r_0)=\frac{(6-p^2)(p^4-16p^2+66)}9.
Đặt u=p^2\in[4,6]. Ta có
u^2-16u+66=6+(6-u)(10-u)\ge6.
Thừa số 6-p^2=E không âm, nên F\ge(6-p^2)6/9=2E/3, đúng cận cần có.
Trở về biểu thức phân thức
Hai miền đã phủ toàn bộ các bộ ba dương hợp lệ. Do F\ge2E/3\ge0, 0<D<8,
\frac94-P=\frac{F}{4D}\ge\frac{F}{32}\ge\frac E{48}.
Chứng nhận được hoàn tất. Nếu P=9/4, nó buộc E=0, tức x=y=z. Điều kiện 3x^2=2 và tính dương cho duy nhất x=y=z=\sqrt{2/3}. Ngược lại, tại bộ ấy mỗi mẫu bằng 4/3, mỗi phân thức bằng 3/4, nên tổng thật sự bằng 9/4.
07. Đọc một giá trị gần cực đại như một sai số hình dạng
Nếu P\ge9/4-\varepsilon, \varepsilon\ge0, chứng nhận cho E\le48\varepsilon. Mục 02 với S=2, a=\sqrt{2/3}, cho
(x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2\le32\varepsilon.
Vì vậy từng biến nằm trong đoạn
\boxed{a-\sqrt{32\varepsilon}\le x,y,z\le a+\sqrt{32\varepsilon}}.
Ví dụ, nếu giá trị chính xác thỏa 9/4-P\le1/3200, thì mỗi biến cách \sqrt{2/3} không quá 1/10. Đây là một điều kiện đủ có chứng minh; không cần tìm riêng từng biến.
Đường cong biểu diễn cận \sqrt{32\varepsilon} đã chứng minh, với 0\le\varepsilon\le1/800. Đây là một cận bảo đảm cho từng khoảng cách tới a; không khẳng định đường cong là độ lệch lớn nhất thực tế có thể đạt.
Một số làm tròn thành 2{,}25 chưa chứng minh được dấu bằng. Chẳng hạn
x=\frac{21}{\sqrt{601}},\quad y=\frac{19}{\sqrt{601}},\quad z=\frac{20}{\sqrt{601}}
đều dương, có tổng bình phương bằng 2, nhưng không bằng nhau. Khi ấy
P=\frac{601}{803}+\frac{601}{822}+\frac{601}{782}
\approx2{,}248129,
làm tròn đến hai chữ số thập phân được 2{,}25, trong khi chứng nhận buộc P<9/4 vì E>0. Dấu bằng cần một điều kiện chính xác, không chỉ một màn hình số gần đúng.
08. Chuyển chứng nhận sang tổng bình phương khác
Với x,y,z>0, đặt S=x^2+y^2+z^2>0 và
F_S=\frac1{S-xy}+\frac1{S-yz}+\frac1{S-zx}.
Mỗi mẫu dương vì xy<S/2. Đặt u=\sqrt{2/S}\,x, v=\sqrt{2/S}\,y, w=\sqrt{2/S}\,z; ba số mới dương, tổng bình phương bằng 2. Tổng phân thức của chúng bằng (S/2)F_S, còn tổng bình phương hiệu bằng (2/S)E.
Áp dụng chứng nhận đã chứng minh và nhân với 2/S>0, ta được
\boxed{\frac9{2S}-F_S\ge\frac{E}{12S^2}}.
Dấu bằng của cận trên vẫn đạt đúng khi x=y=z=\sqrt{S/3}. Nếu F_S\ge9/(2S)-\varepsilon, thì E\le12S^2\varepsilon, và tổng bình phương khoảng cách đến bộ ba đều không vượt 8S^2\varepsilon. Cả điều kiện, biểu thức và hằng số độ lệch phải được đổi cùng một tỉ lệ.
09. Tự kiểm tra
Thử 1. Nếu biết |x-y|=1/5 trong điều kiện nguồn, có thể đồng thời có P\ge9/4-1/2000 không?
Xem lời giải
Không. E\ge(x-y)^2=1/25, nên 9/4-P\ge1/1200>1/2000. Một độ lệch đã biết có thể bác bỏ một tuyên bố quá gần cực đại.
Thử 2. Hai biến bằng nhau đã đủ để đạt cực đại chưa?
Xem lời giải
Chưa. Nếu x=y nhưng z\ne x, thì E=2(x-z)^2>0, nên 9/4-P\ge(x-z)^2/24>0. Phải có cả ba bằng nhau, rồi còn kiểm tra đúng điều kiện tổng bình phương.
Thử 3. Nếu bỏ tính dương và cho cả ba biến bằng -\sqrt{2/3}, kết luận “gần bộ ba đều dương” còn đúng không?
Xem lời giải
Không. Các tích đôi vẫn bằng 2/3, nên P=9/4, nhưng mỗi biến cách +\sqrt{2/3} một khoảng 2\sqrt{2/3}>0. Ở bước gắn độ lệch với bộ ba dương, p=-3a làm mẫu 3a+p bằng 0; giả thiết dùng cho phép chia đã mất. Ví dụ này không bác bỏ cận trên, mà bác bỏ việc tự mở rộng kết luận về vị trí các biến.
Thử 4. Chứng minh được M-F\ge cE và tìm được một điểm có E=0 đã đủ kết luận điểm ấy đạt M chưa?
Xem lời giải
Chưa. Tại E=0, bất đẳng thức chỉ cho F\le M. Cần thay vào biểu thức để kiểm tra F=M. Chẳng hạn mô hình mới F=4-(x-y)^2, M=5, E=(x-y)^2 thỏa M-F=1+E\ge E, nhưng khi x=y, giá trị chỉ bằng 4. Trong bài nguồn, bước thay bộ ba đều đã xác nhận đúng 9/4.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện