Đổi tên nghiệm có đổi giá trị của căn thức?
Dùng dấu của căn và vị trí nghiệm để chứng minh khi nào một biểu thức giữ nguyên giá trị với cả hai cách gọi nghiệm, kể cả tại ranh giới tham số.
TOÁN 9 · TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ ĐIỀU KIỆN HAI CHIỀU
Đổi tên nghiệm có đổi giá trị của căn thức?
Dùng dấu của căn và vị trí nghiệm để chứng minh khi nào một biểu thức giữ nguyên giá trị với cả hai cách gọi nghiệm, kể cả tại ranh giới tham số.
1. Đổi tên nghiệm có làm đổi đáp số?
Hai nghiệm của một phương trình có thể được gọi là u,v theo hai cách. Tổng u+v và tích uv không đổi khi hoán đổi tên; một biểu thức có căn bậc hai thì chưa chắc. Bài học này tìm điều kiện cần và đủ để cả hai cách gọi nghiệm cho cùng giá trị , thay vì chỉ tính một đáp số với một cách gắn nhãn.
Dự đoán với hai số -2,5: hai giá trị của F(u,v)=|4u+v|+3v có bằng nhau không? Hãy tính trước khi đọc tiếp.
Hai phép thử và câu hỏi nảy sinh
Với u=5,v=-2, ta được F=|18|-6=12. Đổi lại u=-2,v=5, ta được F=|-3|+15=18. Vậy tổng 3 và tích -10 chưa đủ để tự ý kết luận một giá trị chung. Chính dấu của 4u+v đã đổi.
Ngược lại, với hai số -1,4, cả hai cách gọi đều cho 12. Như vậy, “có một nghiệm âm” chưa phải lí do đủ để loại khả năng có giá trị chung. Ta cần xác định chính xác ranh giới.
2. Hai công cụ nhỏ: rút căn đúng dấu và kiểm tra một mốc
Căn số học luôn không âm
Với mọi số thực z,
\sqrt{z^2}=|z|=\begin{cases}z,&z\ge0,\\-z,&z<0.\end{cases}
Vì thế \sqrt{(-3)^2}=3, không phải -3. Điểm z=0 thuộc nhánh không âm; không được loại nó nếu biểu thức ban đầu vẫn xác định.
Giá trị của đa thức tại một mốc cho biết vị trí nghiệm
Giả sử r\le s là hai nghiệm thực, tính cả nghiệm kép, của f(x)=x^2-Sx+P. Khi đó
f(c)=(c-r)(c-s).
Nếu đã biết c<s, thừa số c-s âm. Bởi vậy
f(c)\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad c-r\le0
\quad\Longleftrightarrow\quad r\ge c.
Đây là một phép kiểm tra hai chiều: không chỉ suy ra một chặn từ giả thiết, mà còn nhận ra khi nào chặn ấy đúng. Ví dụ, với f(x)=x^2-3x+p, tổng hai nghiệm là 3, nên nghiệm lớn ít nhất bằng 3/2. Mốc -1 chắc chắn nằm bên trái nghiệm lớn; có thể dùng f(-1)=p+4 để kiểm tra nghiệm nhỏ.
Chỉ biết f(c)\ge0 chưa đủ kết luận c ở bên trái cả hai nghiệm. Nó cũng có thể ở bên phải cả hai. Điều kiện c<s ở trên loại đúng khả năng thứ hai.
3. Dựng một họ biểu thức để nhìn thấy ranh giới
Xét ví dụ độc lập có tham số p:
x^2-3x+p=0.
Biệt thức \Delta=9-4p. Từ đây đến hết mục 6, giả sử p\le9/4 để có hai nghiệm thực, kể cả khi chúng trùng nhau. Gọi hai nghiệm là u,v, chưa quy ước thứ tự, và đặt
E(u,v)=\sqrt{16u^2+8uv+3v-p}+3v.
Vì v là nghiệm, v^2-3v+p=0, nên 3v-p=v^2. Do đó
16u^2+8uv+3v-p=16u^2+8uv+v^2=(4u+v)^2.
Đẳng thức này đồng thời chứng minh căn luôn xác định đối với hai nghiệm đang xét. Nó không cho phép thay căn bằng 4u+v khi chưa biết dấu. Ta chỉ được viết
E(u,v)=|4u+v|+3v.
Tổng nghiệm cho v=3-u, nên 4u+v=3(u+1). Vì 3>0,
E(u,v)=3|u+1|+9-3u
=\begin{cases}12,&u\ge-1,\\6-6u,&u<-1.\end{cases}
Ở nhánh thứ hai, u<-1 kéo theo 6-6u>12. Như vậy, với một cách gắn nhãn cụ thể,
\boxed{E(u,v)=12\quad\Longleftrightarrow\quad u\ge-1.}
Căn thức dài đã trở thành một câu hỏi về vị trí của nghiệm được gọi là u . Đây là thông tin mà tổng và tích tự chúng không quyết định nếu ta chưa xét vị trí.
4. Từ một cách gọi đến mọi cách gọi
Tạm gọi hai nghiệm theo thứ tự r\le s. Vì r+s=3, ta có s\ge3/2>-1. Do đó cách gọi u=s,v=r luôn cho E=12. Muốn cả hai cách gọi đều cho 12, cần và đủ r\ge-1.
Áp dụng công cụ ở mục 2 với c=-1:
p+4=f(-1)=(-1-r)(-1-s).
Thừa số -1-s<0, nên
r\ge-1\quad\Longleftrightarrow\quad p+4\ge0
\quad\Longleftrightarrow\quad p\ge-4.
Kết hợp với điều kiện có nghiệm thực, ta thu được kết luận đầy đủ:
\boxed{\text{Cả hai cách gọi nghiệm đều cho }E=12
\quad\Longleftrightarrow\quad -4\le p\le\frac94.}
Chiều thuận: nếu cả hai cách gọi cho 12, cách chọn u=r buộc r\ge-1, nên p\ge-4; nghiệm thực buộc p\le9/4. Chiều ngược: nếu p thuộc đoạn ấy, có nghiệm thực và f(-1)\ge0, nên r\ge-1; cả r,s đều thuộc nhánh cho 12.
Nếu chỉ hỏi “có ít nhất một cách gọi cho 12” thì đáp án khác: mọi p\le9/4 đều được, vì luôn có thể chọn nghiệm lớn làm u. Từ “mọi” không thể thay bằng “tồn tại”.
Hai hàng dùng cùng thang đo của tham số. Mũi tên trái cho biết miền có nghiệm thực còn kéo dài; hai chấm đặc ở hàng dưới giữ cả hai đầu mút.
5. Hai đầu mút và một phản ví dụ ngoài đoạn
Tại p=-4, phương trình có nghiệm -1,4. Với u=-1, biểu thức trong trị tuyệt đối bằng 0, căn vẫn xác định và E=12. Với u=4, ta cũng được 12. Vì thế đầu mút này phải được lấy.
Tại p=9/4, hai nghiệm cùng bằng 3/2. Không có hai giá trị khác nhau để hoán đổi, nhưng công thức vẫn cho E=12. Nếu yêu cầu riêng “hai nghiệm phân biệt”, phải thay điều kiện trên bằng -4\le p<9/4.
Với p=-10, phương trình phân tích thành (x+2)(x-5)=0. Khi u=-2,v=5, công thức từng nhánh cho E=6-6(-2)=18. Khi u=5,v=-2, E=12. Hai phép thế trực tiếp ở đầu bài khớp hoàn toàn.
Nói chung, nếu p<-4, ta đã chứng minh r<-1<s. Một cách gọi cho 12, cách còn lại cho giá trị lớn hơn 12; không thể có một đáp số chung nếu chưa quy ước thứ tự.
Các trục có cùng đơn vị. Mỗi chấm biểu diễn đúng một nghiệm của phương trình đã ghi; đường nét đứt đánh dấu mốc mà nhánh của công thức đổi.
6. Một ứng dụng chọn lọc: khi dấu đã được bảo đảm
Cho x^2-5x+2=0 có hai nghiệm u,v, không quy ước thứ tự. Tính biểu thức được cho đầy đủ:
A=\sqrt{16u^2+8uv+5v-2}+3v.
Đây là một ứng dụng chọn từ tài liệu nguồn. Ứng dụng này cho thấy khi nào ta có thể bỏ trị tuyệt đối trước khi dùng tổng nghiệm.
Biệt thức 25-8=17>0 cho hai nghiệm thực phân biệt. Viète cho u+v=5>0, uv=2>0. Tích dương buộc hai nghiệm cùng dấu; tổng dương loại khả năng cả hai âm, nên u,v>0.
Vì v^2=5v-2, phần dưới căn bằng (4u+v)^2. Lần này 4u+v>0 với cả hai cách gọi, nên
A=|4u+v|+3v=4u+4v=4(u+v)=20.
Điểm quyết định không phải hình thức “có Viète” mà là căn trở thành trị tuyệt đối của một tổ hợp đã biết dấu. Họ tham số trước đó còn cho thấy hai nghiệm cùng dương chỉ là một điều kiện đủ thuận tiện, không phải điều kiện cần trong mọi bài.
7. Chuyển giao: đổi hệ số, tự tìm mốc mới
Vẫn với hai nghiệm thực u,v của x^2-3x+p=0, hãy xét ví dụ mới
G(u,v)=\sqrt{4u^2+4uv+3v-p}+v.
Đừng đoán mốc -1 vẫn đúng. Hãy tìm biểu thức được bình phương, dùng v=3-u, rồi xác định mốc khiến dấu đổi. Khi nào cả hai cách gọi nghiệm đều cho 6?
Gợi ý
Thay 3v-p bằng v^2. Khi đó căn bằng |2u+v|=|u+3|. Muốn kiểm tra nghiệm nhỏ so với -3, hãy tính f(-3).
Chứng minh hai chiều và đầu mút
Ta có
G=|u+3|+3-u
=\begin{cases}6,&u\ge-3,\\-2u,&u<-3.\end{cases}
Nhánh thứ hai lớn hơn 6. Nghiệm lớn s\ge3/2>-3, nên cả hai cách gọi cho 6 khi và chỉ khi nghiệm nhỏ r\ge-3. Mặt khác
f(-3)=18+p=(-3-r)(-3-s).
Vì -3-s<0, điều kiện r\ge-3 tương đương p\ge-18. Kết hợp miền có nghiệm thực:
\boxed{-18\le p\le9/4.}
Ở p=-18, hai nghiệm là -3,6, cả hai cách gọi đều hợp lệ và cho 6. Với p=-28, hai nghiệm là -4,7: chọn u=-4 cho 8, chọn u=7 cho 6. Mốc mới thực sự khác mốc ở bài trước.
8. Một cách kiểm tra lời giải có căn theo nghiệm
Trước hết xác định phương trình có nghiệm thực trong miền tham số nào. Sau đó chỉ dùng phương trình gốc để thay thế tại nghiệm, viết căn của bình phương thành trị tuyệt đối, rồi tìm mốc đổi dấu. Nếu đề không gắn thứ tự, thử cả hai cách gọi hoặc chứng minh dấu đúng cho cả hai.
Khi dùng f(c) để định vị nghiệm, hãy chỉ rõ đã biết mốc c nằm bên nào của nghiệm còn lại. Cuối cùng kiểm tra đầu mút: căn bằng không và nghiệm kép có thể hoàn toàn hợp lệ. Một điều kiện cần và đủ phải giải thích được cả các trường hợp nhận lẫn các trường hợp bị loại.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu