Trung điểm nối các tâm: đường Euler và đường tròn chín điểm
Từ đường kính phụ suy ra vị trí trọng tâm, tìm tâm một đường tròn mới và chứng minh các chân cao cùng thuộc nó, kể cả khi một số điểm trùng nhau.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Trung điểm nối các tâm: đường Euler và đường tròn chín điểm
Từ đường kính phụ suy ra vị trí trọng tâm, tìm tâm một đường tròn mới và chứng minh các chân cao cùng thuộc nó, kể cả khi một số điểm trùng nhau.
01 · Trung điểm chuyển cả phương hướng lẫn độ dài
Nếu U,V là trung điểm của HX,HY trong tam giác không suy biến HXY, định lí đường trung bình cho UV\parallel XY và UV=XY/2. Như vậy lấy trung điểm của các đoạn cùng xuất phát từ H thu nhỏ mọi khoảng cách giữa các đầu còn lại theo hệ số 1/2.
Cách viết tọa độ giữ kết luận độ dài ngay cả khi một vài điểm thẳng hàng hoặc trùng nhau. Nếu H=(h_1,h_2), X=(x_1,x_2), thì trung điểm là ((h_1+x_1)/2,(h_2+x_2)/2). Lấy hiệu tọa độ của hai trung điểm, ta được một nửa hiệu tọa độ của hai đầu. Theo công thức khoảng cách, độ dài cũng bằng một nửa.
Hệ quả cho đường tròn: khi X chạy trên đường tròn tâm O, bán kính R>0, trung điểm của HX chạy trên đường tròn tâm N, bán kính R/2, với N là trung điểm HO.
Chiều thuận: khoảng cách từ trung điểm HX đến trung điểm HO bằng OX/2=R/2. Chiều đảo: với điểm U cách N đúng R/2, dựng X sao cho U là trung điểm HX. Hiệu tọa độ cho OX=2NU=R. Vì thế đường tròn nhỏ được phủ hết, không chỉ chứa một số điểm ảnh.
02 · Đường kính phụ làm xuất hiện trung điểm kép
Chọn phần cấu hình nguồn sau: tam giác nhọn ABC nội tiếp (O;R), các đường cao AD,BE,CF gặp nhau tại H. Kẻ đường kính AM, gọi K là trung điểm BC. Nguồn có điều kiện AB<AC, nhưng kết luận trung điểm dưới đây không dùng nó, nên ta xét cả tam giác nhọn cân.
Đường kính cho BM\perp AB, CM\perp AC. Các đường cao cho CH\perp AB, BH\perp AC. Vậy BM\parallel CH, CM\parallel BH, và tứ giác B,H,C,M là hình bình hành. Nó không suy biến vì H nằm trong tam giác, không nằm trên cạnh BC.
K\text{ là trung điểm của cả }BC\text{ và }HM.
Một điểm đang có hai vai trò. Điểm K là trung điểm HM, còn O là trung điểm AM. Hai quan hệ ấy nối BC, trực tâm và tâm ngoại tiếp, kể cả khi A,H,M thẳng hàng. Ta sẽ dùng quan hệ này để tìm các tâm, thay vì tiếp tục giải mọi yêu cầu của bài hình gốc.
03 · Từ một trung điểm kép đến đường thẳng Euler
Đặt gốc tọa độ tại O. Viết A=(a_1,a_2), B=(b_1,b_2), C=(c_1,c_2). Vì AM là đường kính, M=(-a_1,-a_2). Vì K đồng thời là trung điểm của BC và HM, so sánh hai công thức trung điểm cho
H=(a_1+b_1+c_1,\ a_2+b_2+c_2).
Gọi G là điểm có tọa độ bằng một phần ba tổng tọa độ ba đỉnh. Đi từ A đến K một phần đường 2/3, tọa độ đúng bằng
G=\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3}\right).
Vì 0<2/3<1, G nằm trong trung tuyến AK, với AG:GK=2:1. Lặp lại từ hai đỉnh khác cho cùng điểm G, nên nó là giao của các trung tuyến, tức trọng tâm.
Tọa độ H bằng ba lần tọa độ G, còn O=(0,0). Nếu H\ne O, ba điểm có thứ tự O,G,H, và
OG=\frac{OH}{3},\qquad GH=\frac{2OH}{3},\qquad OG:GH=1:2.
Đường qua các tâm này gọi là đường thẳng Euler. Kết quả còn cho cách dựng ngược: nếu biết O,G của một tam giác và O\ne G, lấy H trên tia OG sao cho OH=3OG. Đây đúng là trực tâm vì tọa độ vừa chứng minh xác định nó duy nhất.
04 · Khi các tâm trùng nhau, đường thẳng có còn xác định?
Nếu H=O, công thức cho G=O. Điều này xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Để chứng minh chiều cần, đường AO=AH vuông góc BC, đồng thời đi qua tâm đường tròn. Vì đường qua tâm vuông góc dây là đường trung trực của dây, A nằm trên trung trực BC, nên AB=AC. Làm tương tự từ B cho BA=BC; cả ba cạnh bằng nhau.
Chiều đủ: trong tam giác đều, các trung tuyến cũng là đường cao và đường trung trực. Giao điểm chung là G,H,O. Ba tên gọi chỉ cùng một điểm, nên không có một đường thẳng duy nhất được xác định bởi ba tâm ấy. Không viết tỉ số OG/GH=1/2 khi cả tử và mẫu bằng 0; đẳng thức GH=2OG thì vẫn đúng.
Đặt N là trung điểm OH. Với tam giác nhọn không đều, các điểm trên đường Euler có thứ tự O,G,N,H, và OG:GN:NH=2:1:3. Nếu tam giác đều, cả N cũng trùng ba tâm còn lại.
Sơ đồ dọc theo đường Euler, giữ đúng tỉ lệ độ dài: OG=72, GN=36, NH=108 đơn vị hình. N là trung điểm OH; G không phải trung điểm ấy.
05 · Một đường tròn chứa ba loại trung điểm
Gọi U,V,W lần lượt là trung điểm của HA,HB,HC. Áp dụng phép lấy trung điểm từ phần 01 cho ba điểm A,B,C trên (O;R), ta có
NU=NV=NW=\frac R2.
Ba điểm U,V,W không thẳng hàng: công thức trung điểm cho hiệu tọa độ của U,V bằng một nửa hiệu tọa độ của A,B, và tương tự với U,W và A,C. Nếu hai hướng đầu cùng phương thì hai hướng sau cũng cùng phương, trái với tam giác ABC không suy biến. Bởi vậy chúng xác định duy nhất đường tròn tâm N, bán kính R/2.
Điểm K là trung điểm HM, trong khi M cũng nằm trên đường tròn ban đầu. Cùng hệ quả cho NK=R/2. Đổi vai trò ba đỉnh, ta được hai trung điểm còn lại của CA,AB cũng nằm trên đường tròn này. Vậy đường tròn đã chứa ba trung điểm cạnh và ba trung điểm nối trực tâm với các đỉnh.
Đây là một cơ chế chung: các điểm ban đầu khác nhau cùng thuộc một đường tròn; lấy trung điểm từ cùng một tâm H đưa chúng lên cùng một đường tròn mới. Không cần chứng minh đồng viên từng bộ bốn điểm riêng lẻ.
06 · Vì sao ba chân đường cao cũng thuộc đường tròn?
Xét U, trung điểm AH, và K, trung điểm HM. Trung điểm của UK chính là N: theo từng tọa độ,
\frac{U+K}{2}=\frac{(A+H)+(H+M)}4=\frac{O+H}{2}=N,
vì (A+M)/2=O. Trong dòng này, cộng và chia tên điểm là cách viết tắt cho cùng phép tính trên từng tọa độ, không phải phép cộng độ dài. Do U,K thuộc đường tròn tâm N, chúng là hai đầu một đường kính.
Đường UD nằm trên đường cao AD, còn DK nằm trên BC. Nếu D\ne K, tam giác UDK vuông tại D, nên D thuộc đường tròn đường kính UK. Nếu D=K, điểm D đã thuộc đường tròn vì là đầu đường kính; không dùng góc có hai đỉnh trùng nhau. Trong tam giác nhọn, U nằm trên đoạn AH ở trong tam giác, nên U\ne D.
Đổi vai trò các đỉnh cho E,F cũng thuộc đường tròn. Đường tròn chứa ba chân cao, ba trung điểm cạnh và ba trung điểm nối trực tâm tới đỉnh được gọi là đường tròn chín điểm . Tên gọi liệt kê chín vai trò; các điểm mang những vai trò ấy có thể trùng nhau.
Mẫu dựng A=(0,4),B=(-1,0),C=(4,0), H=(0,1), O=(3/2,3/2), N=(3/4,5/4). Đường tròn nhỏ có bán kính \sqrt{34}/4. T,S,K là trung điểm AB,AC,BC; U,V,W là trung điểm AH,BH,CH. Hình dùng cùng tỉ lệ 60 đơn vị hình cho một đơn vị độ dài; các chân cao là D=(0,0),E=(3/2,5/2),F=(-12/17,20/17).
07 · Trường hợp vuông và cách kiểm tra trùng điểm
Nếu tam giác vuông tại A, trực tâm là H=A, tâm ngoại tiếp O là trung điểm cạnh huyền BC. Các điểm E,F,U lúc này cùng trùng A, nên không được tự coi chúng là các đỉnh phân biệt trong một lập luận về góc. Ta kiểm tra trực tiếp các công thức tâm và đường tròn.
Thay vào đó, đặt O làm gốc. Vì B,C đối xứng qua O, tổng tọa độ B+C=0, nên A+B+C=A=H. Công thức trọng tâm vẫn cho H=3G, do đó kết luận Euler còn đúng. Ở đây H\ne O vì OA=R>0.
Đường tròn nhỏ có tâm N, trung điểm OA, bán kính R/2, tức đường tròn đường kính OA. Trung điểm của AB,AC nằm trên nó do phép lấy trung điểm từ H=A; K=O là một đầu đường kính. Hai chân cao E,F cùng trùng A; chân D nằm trên BC. Nếu D\ne O, AD\perp DO cho góc vuông nhìn AO; nếu D=O, nó đã là đầu đường kính. Vậy các vai trò chín điểm vẫn thuộc cùng đường tròn, dù số điểm phân biệt giảm.
Ví dụ A=(0,0),B=(4,0),C=(0,3): O=(2,3/2), R=5/2, N=(1,3/4), bán kính nhỏ 5/4. Cách kiểm này xét trực tiếp hình thật ở biên, không chia cho một đoạn đã bằng 0.
08 · Tự kiểm để chuyển từ hình sang cấu trúc
Biết OH bằng6, khoảng cách giữa G và N bằng bao nhiêu?
Với tam giác nhọn không đều, OG=2, ON=3, hai điểm cùng trên tia OH, nên GN=1. Không lấy GN=OH/3: trọng tâm ở một phần ba, tâm chín điểm ở một phần hai.
Biết tâm O và tâm N của hai đường tròn, dựng trực tâm thế nào?
Vì N là trung điểm OH, lấy H đối xứng với O qua N. Nếu N=O, thì H=O và tam giác nhọn đang xét là tam giác đều. Đây là chiều đảo của quan hệ trung điểm, không phải một giả thuyết mới về các điểm tùy ý.
Trong tam giác đều, chín điểm có phải chín điểm phân biệt?
Không. Mỗi chân đường cao chính là trung điểm cạnh tương ứng, nên đã có ba cặp vai trò trùng nhau. Đường tròn vẫn xác định duy nhất bởi ba trung điểm cạnh không thẳng hàng, tâm O=N, bán kính R/2.
Vì sao không cần giả thiết AB nhỏ hơn AC cho các kết quả này?
Các chứng minh chỉ dùng tam giác nhọn, quan hệ vuông góc, đường kính và trung điểm. Không có bước nào dùng thứ tự hai cạnh. Trường hợp cân được giữ, nhưng phải tách khi một chân cao trùng trung điểm cạnh để tránh gọi một góc suy biến là góc vuông.
Một quan hệ trung điểm có thể nối các đối tượng tưởng như khác nhau: trực tâm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp và một đường tròn mới. Giá trị của phương pháp nằm ở việc chuyển được cả hình, đồng thời biết điểm nào có thể trùng và lời chứng minh nào cần đổi ở biên.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện