Ước lượng trung bình từ bảng nhóm: cận sai số và lựa chọn tối ưu
Chứng minh toàn bộ khoảng trung bình có thể có, tìm ước lượng với sai số bảo đảm nhỏ nhất và xét lại kết luận khi độ chi tiết hoặc miền giá trị thay đổi.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Ước lượng trung bình từ bảng nhóm: cận sai số và lựa chọn tối ưu
Chứng minh toàn bộ khoảng trung bình có thể có, tìm ước lượng với sai số bảo đảm nhỏ nhất và xét lại kết luận khi độ chi tiết hoặc miền giá trị thay đổi.
01 · Một bảng nhóm giữ lại điều gì?
Khi thay từng số đo bằng nhóm chứa nó, ta giữ được số quan sát trong mỗi khoảng nhưng mất vị trí chính xác của các số bên trong. Câu hỏi hữu ích không chỉ là “có tính được trung bình không?”, mà còn là “trung bình chắc chắn nằm ở đâu, và chọn số ước lượng nào có bảo đảm tốt nhất?”.
Trong bài này, mẫu có N>0 quan sát, các nhóm rời nhau và phủ hết mẫu. Nhóm [a;b), với a<b, chứa các giá trị x thỏa a\le x<b: nhận đầu trái, loại đầu phải. Hai nhóm liền kề [a;b), [b;c) không đếm trùng giá trị b.
Tần số n là số quan sát thuộc nhóm; tần số tương đối là n/N. Mẫu được chọn trong nguồn có 40 khách, trong đó 7 quan sát của đại lượng được khảo sát thuộc nhóm [26;31). Tỉ lệ nhóm ấy là 7/40=17{,}5\%. Điều đó không nói bảy giá trị đều bằng 28{,}5, cũng không cung cấp trung bình của cả 40 quan sát.
Một dữ kiện nguồn khác cho nhóm lương [14;16) chiếm 35\%. Nếu đây là phần trăm chính xác thì n=7N/20; chưa biết N thì chưa biết n. Vì 7 và 20 nguyên tố cùng nhau, n nguyên khi và chỉ khi N là bội dương của 20. Chiều đảo: N=20k cho n=7k. Nếu 35\% chỉ là số đã làm tròn, kết luận chia hết này không còn được bảo đảm.
02 · Từ từng khoảng đến cận của tổng và trung bình
Gọi nhóm thứ j là [a_j;b_j), có n_j quan sát, với a_j<b_j. Các tần số là số nguyên không âm, tổng bằng N>0. Mỗi quan sát của nhóm ấy ít nhất bằng a_j và nhỏ hơn b_j.
Nếu n_j>0, tổng các giá trị trong nhóm nằm từ n_ja_j đến dưới n_jb_j. Nhóm rỗng góp tổng 0, không tạo bất đẳng thức nghiêm riêng. Vì cả mẫu không rỗng, có ít nhất một nhóm không rỗng, nên cộng tất cả cho cận trên nghiêm.
Đặt tổng các đầu trái có trọng số chia cho N là L, tổng các đầu phải có trọng số chia cho N là U: L=\frac{n_1a_1+\cdots+n_ma_m}{N},\quad U=\frac{n_1b_1+\cdots+n_mb_m}{N}. Trung bình thật \overline{x} luôn thỏa L\le\overline{x}<U.
Mẫu số N dương nên chia không đổi chiều bất đẳng thức. Hơn nữa U-L>0, vì đó là tổng độ rộng nhóm nhân tần số, chia cho N, có ít nhất một số hạng dương.
Cận dưới đạt được: cho mọi quan sát bằng đầu trái nhóm của nó. Cận trên không đạt được: nếu trung bình bằng U, tổng phải bằng tổng đầu phải, trong khi mỗi giá trị đều nhỏ hơn đầu phải tương ứng và có ít nhất một giá trị. Không được thay dấu < bằng một khẳng định “lớn nhất bằng U”.
03 · Chứng minh khoảng này không thể thu hẹp
Không chỉ hai đầu: mọi số trong [L;U) đều có thể là trung bình của một bộ dữ liệu phù hợp bảng, nếu quan sát được phép nhận mọi giá trị thực trong nhóm. Lấy 0\le t<1, và đặt mọi quan sát thuộc nhóm j bằng
a_j+t(b_j-a_j).
Vì độ rộng dương và 0\le t<1, số vừa chọn nằm trong đúng nhóm. Trung bình của bộ dữ liệu dựng được là
L+t(U-L).
Ngược lại, với một số z\in[L;U), chọn t=(z-L)/(U-L). Mẫu dương và điều kiện của z cho 0\le t<1; cách dựng ở trên cho trung bình đúng bằng z.
Hai chiều đã khớp: mọi dữ liệu hợp bảng có trung bình trong khoảng; mọi điểm trong khoảng đều có dữ liệu hợp bảng tạo ra. Vì vậy đây là toàn bộ khả năng, không phải một khoảng ước lượng rộng tùy ý.
Cách dựng dùng cùng tỉ lệ t trong mỗi nhóm chỉ nhằm chứng minh khả năng tồn tại. Nó không khẳng định số liệu thực tế phân bố theo quy luật đó.
04 · Một bảng đầy đủ để tính và kiểm cận
Ví dụ sau được xây dựng mới, gồm 40 mức lương, đơn vị triệu đồng. Các giá trị được coi là số thực, chưa làm tròn. Toàn bộ mẫu nằm trong ba nhóm sau:
- Nhóm [10;14): 8 người.
- Nhóm [14;16): 14 người.
- Nhóm [16;20): 18 người.
Tổng tần số 8+14+18=40; nhóm giữa chiếm 14/40=35\%. Bảng này bổ sung dữ liệu tự biên soạn để nghiên cứu trung bình, không phải phần bảng còn thiếu được suy đoán từ nguồn.
L=\frac{8\cdot10+14\cdot14+18\cdot16}{40}=14{,}1,
U=\frac{8\cdot14+14\cdot16+18\cdot20}{40}=17{,}4.
Vậy 14{,}1\le\overline{x}<17{,}4 triệu đồng. Nếu tất cả nhận đầu trái, trung bình là 14{,}1. Với t=1/2, các mức trong ba nhóm lần lượt là 12,15,18, trung bình bằng 15{,}75. Với t=9/10, các mức lần lượt 13{,}6;15{,}8;19{,}6, trung bình bằng 17{,}07. Cả ba bộ khác nhau đều cho cùng bảng nhóm.
Thang ngang tuyến tính: khoảng dài 3{,}3 triệu đồng ứng với 220 đơn vị hình. Điểm giữa chia thành hai đoạn bằng nhau. Đầu 14{,}1 đạt được; 17{,}4 chỉ là cận trên không đạt.
05 · Vì sao lấy trung điểm nhóm là một lựa chọn có căn cứ?
Thay mỗi giá trị của nhóm [a_j;b_j) bằng trung điểm (a_j+b_j)/2, rồi tính trung bình có trọng số. Gọi kết quả là M. Phân phối phép nhân và cộng cho
M=\frac{L+U}{2}.
Đặt E=(U-L)/2>0. Từ khoảng đã chứng minh,
-E\le\overline{x}-M<E,\qquad |\overline{x}-M|\le E.
Dấu bằng của sai số tuyệt đối đạt khi \overline{x}=L, dù đầu U không đạt. Trong ví dụ, M=15{,}75, E=1{,}65 triệu đồng. Ta có một bảo đảm về sai số từ bảng, chứ chưa biết trung bình thật bằng 15{,}75.
Không có số ước lượng nào bảo đảm sai số nhỏ hơn
Thử chọn một số c khác M. Nếu c>M, dữ liệu ở đầu trái cho |L-c|=c-L>E. Nếu c<M, thì c+E<U. Chọn một số z nằm giữa \max\{L,c+E\} và U; phần trước bảo đảm có dữ liệu với trung bình z. Khi đó |z-c|=z-c>E.
Vậy mọi c\ne M đều có một bộ dữ liệu hợp bảng khiến sai số lớn hơn E. Trung điểm M là lựa chọn duy nhất bảo đảm sai số không vượt E trong mọi khả năng. Lập luận này không cần giả định các giá trị phân bố đều trong nhóm và không nói khả năng nào dễ xảy ra hơn.
“Ước lượng tốt nhất về mức sai số bảo đảm” khác với “trung bình chính xác”. Nếu biết thêm dữ liệu chi tiết, ta có thể thu hẹp khoảng và chọn lại số ước lượng phù hợp hơn.
06 · Đổi mức chi tiết sẽ đổi điều ta biết
Gộp ba nhóm của ví dụ thành một nhóm [10;20) có 40 người sẽ giữ đúng số người nhưng mất thêm thông tin. Chỉ dùng bảng gộp, khoảng trung bình trở thành [10;20), trung điểm 15, bảo đảm sai số 5. Bảng chi tiết cho [14{,}1;17{,}4) nằm trong khoảng ấy và sai số bảo đảm chỉ 1{,}65.
Có thể gộp các nhóm rời nhau bằng cách cộng tần số; không thể tự tách một nhóm thành hai nhóm bằng cách chia đôi tần số. Biết 14 người thuộc [14;16) chưa biết bao nhiêu người thuộc [15;16): có thể từ 0 đến 14, vì có thể đặt tùy số người ở mức 15, còn lại ở mức 14. Mọi số nguyên trong khoảng ấy đều dựng được.
Nếu các giá trị bắt buộc là số nguyên?
Đây là mô hình mới, không phải cách ngầm làm tròn dữ liệu trước. Vẫn bảng 40 người ấy nhưng mỗi mức lương là một số nguyên triệu đồng. Giá trị lớn nhất trong ba nhóm lần lượt là 13,15,19, nên
14{,}1\le\overline{x}\le\frac{8\cdot13+14\cdot15+18\cdot19}{40}=16{,}4.
Cả hai cận đều đạt. Trung bình phải là một bội của 1/40. Thực ra mọi giá trị từ 564/40 đến 656/40 theo bước 1/40 đều đạt: bắt đầu ở các đầu trái, tăng từng quan sát từng đơn vị cho tới mức lớn nhất cho phép. Mỗi bước giữ đúng nhóm và tăng tổng đúng 1, đi qua mọi tổng nguyên từ 564 đến 656.
Hai đầu đều có thể xảy ra, nên trung điểm mới (14{,}1+16{,}4)/2=15{,}25 bảo đảm sai số nhỏ nhất 1{,}15. Với bất kỳ lựa chọn lệch khỏi trung điểm, khoảng cách đến một trong hai đầu lớn hơn 1{,}15. Giới hạn giá trị nguyên đã thay đổi cả cận lẫn lựa chọn tối ưu.
07 · Tự kiểm tra trước khi công bố một số trung bình
Chỉ biết bảy giá trị nằm trong nhóm [26;31), trung bình của riêng chúng ở đâu?
Nó nằm trong [26;31), mọi giá trị trong khoảng đều đạt bằng cách cho cả bảy quan sát cùng bằng giá trị ấy. Ước lượng trung điểm 28{,}5 có sai số bảo đảm 2{,}5. Điều này chỉ nói về bảy quan sát, không phải toàn mẫu 40 khách.
Với bảng lương đầy đủ, có chắc trung bình vượt 16 triệu đồng không?
Không. Khoảng [14{,}1;17{,}4) chứa các giá trị ở cả hai phía của 16. Ví dụ bộ ở đầu trái cho 14{,}1, bộ với t=9/10 cho 17{,}07. Cả hai đều phù hợp bảng. Một số ước lượng không thể thay thế dữ liệu thiếu để khẳng định bất đẳng thức đó.
Vì sao phần trăm làm tròn không cho điều kiện chia hết?
Mẫu 17 người có 6 người trong nhóm: 100\cdot6/17\approx35{,}294\%, làm tròn đến phần trăm nguyên được 35\%, nhưng 17 không là bội của 20. Phải biết con số 35\% là chính xác trước khi dùng phương trình n/N=7/20.
Nếu tất cả các giá trị thực đều ở trung điểm nhóm thì sao?
Khi đó trung bình thật bằng M. Đây là một điều kiện đủ, không phải điều kiện cần: sai lệch dương và âm của các quan sát so với trung điểm có thể bù nhau. Trong nhóm có ít nhất hai người, đổi hai mức 15,15 thành 14{,}5;15{,}5 giữ tổng, giữ nhóm [14;16) và giữ trung bình chung.
Một báo cáo có căn cứ nên nói rõ mẫu, ranh giới nhóm, dữ liệu chính xác hay đã làm tròn, mô hình giá trị thực hay nguyên, và số công bố là trung bình thật hay ước lượng kèm cận sai số. Từ cùng một bảng, ta có thể chứng minh nhiều điều chính xác mà không cần giả vờ đã biết từng quan sát.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện