Tiếp tuyến và tích hình chiếu: chọn tiêu chuẩn, ghép đồng dạng
Tự chứng minh tiêu chuẩn tiếp tuyến bằng hình chiếu, tạo tích từ tam giác vuông và chuyển tích qua các cặp tam giác đúng thứ tự.
HÌNH HỌC 9 · CÔNG CỤ VÀ ĐIỀU KIỆN
Tiếp tuyến và tích hình chiếu: chọn tiêu chuẩn, ghép đồng dạng
Tự chứng minh tiêu chuẩn tiếp tuyến bằng hình chiếu, tạo tích từ tam giác vuông và chuyển tích qua các cặp tam giác đúng thứ tự.
1. Chứng minh tiếp tuyến là chứng minh điều gì?
Cho đường tròn tâm O, bán kính r>0. Một đường thẳng là tiếp tuyến khi nó có đúng một điểm chung với đường tròn. Nếu đã biết điểm chung T, ta có công cụ cơ bản:
Đường thẳng d qua T là tiếp tuyến tại T khi và chỉ khi OT\perp d, với điều kiện OT=r.
Chiều thuận từ góc vuông: nếu OT\perp d, với mọi X\in d, X\ne T, Pythagore cho OX^2=OT^2+TX^2>r^2. Chỉ T ở trên đường tròn.
Vì sao tiếp tuyến phải vuông góc? Gọi H là hình chiếu của O lên d. Nếu H\ne T, phản chiếu T qua H được điểm T'\ne T. Nếu H=O, hai điểm T,T' đối xứng qua tâm nên OT'=OT=r trực tiếp. Nếu H\ne O, hai tam giác vuông không suy biến có OH chung, HT=HT', nên cũng có OT'=OT=r. Đường d có hai điểm chung, trái với giả thiết tiếp tuyến. Vậy H=T.
Như vậy, khi bán kính và đường cần xét chưa tạo góc vuông rõ ràng, ta cần một cách khác để tạo ra góc vuông ấy. Tích đoạn thẳng là một cách, nhưng chỉ dùng được cùng với cấu hình và điều kiện phù hợp.
Vuông góc với một bán kính tại một điểm khác điểm cuối trên đường tròn chưa đủ. Cũng không thể chỉ chứng minh một đẳng thức độ dài rồi bỏ qua việc điểm tiếp xúc có thuộc đường tròn hay không.
2. Từ hình chiếu đến tích: tự suy ra thay vì nhớ máy móc
Cho tam giác ABC vuông tại B, và H là chân đường cao từ B xuống cạnh huyền AC. Ba đỉnh phân biệt, nên H nằm trong AC. Hai tam giác AHB, ABC có góc A chung và góc vuông tương ứng tại H,B. Tương ứng đỉnh là A\leftrightarrow A, H\leftrightarrow B, B\leftrightarrow C.
\frac{AH}{AB}=\frac{AB}{AC}\quad\Longrightarrow\quad AB^2=AH\cdot AC.
Đổi vai trò hai đầu cạnh huyền cho BC^2=CH\cdot AC. Đây là hệ thức hình chiếu : bình phương một cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của cạnh ấy trên cạnh huyền.
Vì BH^2=AB^2-AH^2, ta còn tự suy ra:
BH^2=AH(AC-AH)=AH\cdot HC.
Hai công thức trông giống nhau nhưng nói về hai đoạn khác nhau: AB là cạnh góc vuông, còn BH là đường cao. Vẽ dấu vuông, xác định cạnh huyền và ghi thứ tự đỉnh trước khi viết tỉ số sẽ ngăn việc ghép nhầm.
Trong tam giác vuông có AH=4, HC=5, em dự đoán AB^2 là 20 hay 36?
Kiểm tra bằng vai trò của cạnh
AC=9, nên AB^2=4\cdot9=36. Số 20=4\cdot5 là BH^2. Cùng hai số đã biết nhưng hai đoạn cần tìm có vai trò khác nhau.
3. Tiêu chuẩn đảo: tích hình chiếu tạo tiếp tuyến
Cho ba điểm không thẳng hàng O,T,E, với T trên đường tròn tâm O. Gọi I là hình chiếu của T lên đường thẳng OE, và giả sử I thuộc tia OE, I\ne O. Khi ấy:
ET\text{ là tiếp tuyến tại }T\quad\Longleftrightarrow\quad OT^2=OI\cdot OE.
Nếu ET là tiếp tuyến, tam giác OTE vuông tại T, và phần trước cho tích trên.
Ngược lại, giả sử tích đúng. Vì T\notin OE, tam giác OIT vuông và không suy biến, nên OT>OI>0. Do đó OE=OT^2/OI>OT>OI; đặc biệt I nằm giữa O,E. Chia tích cho các độ dài dương:
\frac{OI}{OT}=\frac{OT}{OE}.
Trong \triangle OIT và \triangle OTE, hai cặp cạnh kề góc O có tỉ số ấy; góc IOT bằng góc TOE vì OI,OE cùng tia. Theo cạnh–góc–cạnh, hai tam giác đồng dạng, với O\leftrightarrow O, I\leftrightarrow T, T\leftrightarrow E. Góc vuông tại I chuyển thành góc vuông tại T, nên ET\perp OT. Tiêu chuẩn ở phần đầu kết thúc lập luận.
Cách dùng: thay mục tiêu vuông góc bằng một tích cần tạo; nhưng phải chỉ rõ chân chiếu, cùng tia, độ dài dương và hai tam giác không suy biến. Đẳng thức không mang những điều kiện này thay cho ta.
4. Ứng dụng độc lập: dựng một tiếp tuyến từ hình chiếu
Trên hệ trục vuông góc, cho O=(0,0), T=(3,4), đường tròn tâm O bán kính 5. Tìm điểm E trên tia ngang dương để ET là tiếp tuyến tại T.
Ta có OT=5, nên T đúng là điểm trên đường tròn. Hình chiếu lên tia ngang là I=(3,0), với OI=3>0. Tiêu chuẩn vừa chứng minh buộc:
25=3\cdot OE\quad\Longrightarrow\quad OE=\frac{25}{3}.
Ngược lại, chọn E=(25/3,0) thì tích đúng, các điều kiện đều thỏa, nên đường dựng được thật sự là tiếp tuyến. Đây là cả điều kiện cần lẫn đủ, vì thế trên tia đã cho chỉ có một điểm E phù hợp.
Hình đúng tỉ lệ: bán kính đi từ (O) tới (T), hình chiếu là (I), đường màu cam là tiếp tuyến vừa dựng.
Nếu chọn E=(8,0), tích OI\cdot OE=24\ne25; đường ET không là tiếp tuyến. Hình gần đúng bằng mắt không thể thay thế tiêu chuẩn.
Kiểm độc lập: với E=(25/3,0), TE^2=(16/3)^2+4^2=400/9. Vì OT^2+TE^2=25+400/9=625/9=OE^2, định lí Pythagore đảo cũng cho góc OTE vuông.
5. Ghép hai phép đồng dạng qua một tích chung
Không phải lúc nào tích cần tìm xuất hiện ngay. Một kĩ thuật dùng lại được là chứng minh riêng X=K và Y=K, rồi mới kết luận X=Y. Tích trung gian K phải chứa các đoạn thuận lợi cho từng cặp tam giác, không phải được đoán chỉ vì kết quả cần có.
Một phép chuyển tích trên hai tia
Cho hai tia Ou,Ov tạo góc \theta với 0<\theta<90^\circ. Lấy P\in Ou, Q\in Ov, khác O. Gọi H là hình chiếu của Q lên Ou, K là hình chiếu của P lên Ov. Hai chân chiếu đều thuộc các tia dương vì góc nhọn. Các tam giác OHQ, OKP vuông, có cùng góc \theta tại O, nên đồng dạng với H\leftrightarrow K, Q\leftrightarrow P.
\frac{OH}{OK}=\frac{OQ}{OP}\quad\Longrightarrow\quad OH\cdot OP=OK\cdot OQ.
Ví dụ OP=10, OQ=6, \theta=60^\circ cho OH=3, OK=5; cả hai tích đều là 30. Không được viết OH\cdot OQ=OK\cdot OP: hai vế sai ấy lần lượt là 18 và 50. Ghi cạnh huyền tương ứng OQ\leftrightarrow OP sẽ phát hiện lỗi trước khi tính số.
Nếu một nhánh khác đã chứng minh r^2=OH\cdot OP, phép chuyển trên cho r^2=OK\cdot OQ. Muốn dùng tích cuối để kết luận một tiếp tuyến, vẫn cần chứng minh K là chân chiếu của đúng điểm tiếp xúc lên đúng đường đang xét. Tích chung nối hai kết quả; nó không tự nối hai cấu hình khác nhau.
Một ứng dụng ngắn với hai tiếp tuyến
Cho A ngoài đường tròn tâm O, bán kính r; hai tiếp tuyến chạm tại hai điểm phân biệt B,C. Gọi H=AO\cap BC. Hai tam giác vuông AOB,AOC bằng nhau theo cạnh huyền–cạnh góc vuông, nên AB=AC. Cả A,O cách đều B,C, vì vậy AO là đường trung trực BC. Trong tam giác AOB vuông tại B, H là chân đường cao trên cạnh huyền AO; hệ thức đã chứng minh cho:
OA\cdot OH=OB^2=r^2.
Nếu OA=13, r=5, ta có OH=25/13<5. Đây là một nguồn tạo tích bằng bình phương bán kính. Ta dừng ở công cụ ấy; các bài dựng tiếp tuyến khác sẽ cần tự chọn thêm một phép chuyển tích phù hợp với giả thiết của chúng.
6. Thử chuyển giao và tự tìm lỗi
Dựng trên một tia khác. Cho đường tròn tâm O=(0,0), bán kính 10, điểm T=(6,8). Tìm giao điểm tiếp tuyến tại T với tia thẳng đứng dương.
Gợi ý và kiểm tra
Hình chiếu là I=(0,8), nên OI=8. Tiêu chuẩn cho OE=100/8=25/2, tức E=(0,25/2). Khi ấy TE^2=6^2+(9/2)^2=225/4; OT^2+TE^2=625/4=OE^2. Đổi tia chiếu làm đổi tích phù hợp, dù đường tiếp tuyến tại T vẫn duy nhất.
Phản ví dụ cho việc chỉ giữ tích. Trên một đường thẳng, đặt O=0,I=1,T=2,E=4. Khi đó OT^2=4=OI\cdot OE. Có suy ra ET là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, bán kính 2, tại T không?
Điều kiện nào hỏng?
Không. I không là hình chiếu của T lên OE: vì T đã thuộc đường ấy, hình chiếu phải là chính T. Ba điểm O,T,E còn thẳng hàng. Đường ET đi qua tâm và cắt đường tròn hai lần. Đẳng thức độ dài đúng nhưng tiêu chuẩn không được phép áp dụng.
Trường hợp biên. Trong ứng dụng dựng ở phần 4, nếu thay T bằng (0,5), hình chiếu trên tia ngang là O. Không có E hữu hạn trên tia ngang làm ET là tiếp tuyến: tiếp tuyến tại T là đường ngang qua T, song song với tia đã chọn. Không được chia cho OI=0.
Trước khi chốt một chuỗi đồng dạng, tự hỏi: mỗi tam giác có thật không; đỉnh vuông ứng với đỉnh nào; các đoạn có cùng tia không; tích vừa tạo có đúng chân chiếu của điểm tiếp xúc không? Đó là phần dùng lại được khi hình vẽ thay đổi.
Toán THCS · Hiểu điều kiện, tự dựng lập luận, kiểm tra kết quả