Diện tích lớn nhất trong nửa hình tròn: khóa miền, chứng minh cận, dựng dấu bằng
Dựng mô hình hình thang, chuẩn hóa theo bán kính và chứng minh cực đại bằng bình phương không âm. Phân biệt dự đoán với chứng minh, kiểm dấu bằng và chuyển…
TOÁN 9 · MÔ HÌNH HÓA VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
Diện tích lớn nhất trong nửa hình tròn: khóa miền, chứng minh cận, dựng dấu bằng
Một đáy dài hơn thường làm diện tích tăng, nhưng khi đáy ấy phải nằm trên đường tròn thì chiều cao lại giảm. Bài toán cực trị nằm ở sự đánh đổi giữa hai kích thước, không phải chọn riêng mỗi kích thước lớn nhất.
Mục tiêu: đặt biến có ý nghĩa hình học; chứng minh mô hình một biến đủ mô tả mọi hình; phân biệt dự đoán số với chứng minh; bình phương đúng điều kiện; tìm cận bằng phân tích đa thức; kiểm dấu bằng và đơn vị.
Cần biết: dây đường tròn, Pythagore, diện tích hình thang, căn bậc hai và biến đổi đa thức. Không dùng đạo hàm. Tất cả ví dụ ở đây là mô hình hình học lí tưởng tự biên soạn.
1. Xác định chính xác họ hình cần so sánh
Cho nửa hình tròn tâm O, bán kính R>0, đường kính DC=2R. Chọn dây AB song song DC, nằm phía trên DC; A bên trái, B bên phải. Xét hình thang DABC có đáy lớn DC và đáy nhỏ AB. Hai đầu đáy nhỏ phải ở trên cung, không chọn tùy ý trong miền.
Gọi N là trung điểm AB. Đường thẳng qua tâm vuông góc dây đi qua trung điểm dây, nên ON vuông AB. Vì AB song song DC, ON cũng vuông DC; N ở phía trên O. Đặt NB=NA=x, ON=h. Tam giác ONB vuông tại N cho:
x^2+h^2=R^2,\qquad AB=2x,\qquad h=\sqrt{R^2-x^2}.
Để có đáy nhỏ dương và hình thang có chiều cao dương, miền chính xác là 0<x<R. Ngược lại, mỗi x trong khoảng ấy xác định một độ cao dương và một dây ngang tương ứng, nên ta không bỏ sót hình hợp lệ khi dùng biến x.
Đáy nhỏ AB = 2x. Hình minh họa dùng R=2, x=1, h=\sqrt3; cùng tỉ lệ 80 đơn vị hình cho một đơn vị độ dài. Cung là nửa đường tròn đúng bán kính; A,B nằm chính xác trên cung. Vị trí này sẽ được chứng minh tối ưu, không mặc nhiên tối ưu vì hình cân đối.
R là bán kính; 2R là đường kính. Biến x là nửa đáy nhỏ, không phải toàn bộ AB. Chỉ một lần nhầm hệ số 2 có thể làm sai cả miền và diện tích, dù các bước đại số sau đó đều đúng.
2. Từ hình học đến hàm số có ràng buộc
Diện tích hình thang bằng trung bình hai đáy nhân chiều cao:
S(x)=\frac{2R+2x}{2}\sqrt{R^2-x^2}=(R+x)\sqrt{R^2-x^2},\qquad 0<x<R.
Không được chọn đồng thời x=R và h=R: chúng sẽ cho x^2+h^2=2R^2, trái ràng buộc. Khi x tăng, chiều cao giảm; hai thừa số không biến đổi độc lập.
Kiểm đơn vị: R+x có đơn vị độ dài, căn cũng có đơn vị độ dài, nên tích có đơn vị diện tích. Nếu phóng toàn bộ hình lên k lần, x và R đều nhân k, diện tích nhân k^2.
Để tách kích thước khỏi hình dạng, đặt t=x/R. Vì R dương, 0<t<1, và:
\frac{S}{R^2}=(1+t)\sqrt{1-t^2}.
Vế phải chỉ phụ thuộc t. Do đó hình dạng tối ưu sẽ dùng cùng t cho mọi bán kính; kết quả diện tích sau cùng phải có dạng một hằng số nhân R^2.
Hai đầu miền có ý nghĩa gì?
Nếu mở rộng công thức đến t=0, đáy nhỏ co thành một điểm trên đỉnh cung: hình thang suy biến thành tam giác, diện tích bằng R^2. Tại t=1, chiều cao bằng0, diện tích bằng0. Hai trường hợp giúp kiểm công thức nhưng không phải hình thang bốn đỉnh phân biệt trong miền đã chọn.
3. Dùng thử số để tìm hướng, không dùng nó thay chứng minh
Thử một vài t cho tỉ số diện tích:
t=\frac14:\ \frac{S}{R^2}=\frac{5\sqrt{15}}{16};\qquad t=\frac12:\ \frac{S}{R^2}=\frac{3\sqrt3}{4};\qquad t=\frac34:\ \frac{S}{R^2}=\frac{7\sqrt7}{16}.
Các giá trị gần đúng lần lượt là 1,210; 1,299; 1,158. Trong ba giá trị thử, t=1/2 tốt nhất. Nhưng còn vô số t khác giữa các mốc; một bảng số hoặc đường vẽ đẹp chưa loại được khả năng có điểm tốt hơn.
Trong năm điểm mẫu, t = 1/2 có diện tích lớn nhất. Chỉ vẽ các điểm mẫu, không coi đường nối chúng là đồ thị chính xác. Tọa độ màn hình: X=100+500t, Y=350-180f, với f là tỉ số diện tích. Hai điểm rỗng ở đầu miền là kiểm tra suy biến; ba điểm bên trong chỉ giúp dự đoán.
Dự đoán. Nếu ứng viên là t=1/2, bình phương tỉ số diện tích của nó bằng bao nhiêu? Muốn chứng minh lớn nhất, cần chứng minh biểu thức nào không âm?
Gợi ý: lấy bình phương ứng viên trừ bình phương diện tích bất kì
Ứng viên có bình phương (3\sqrt3/4)^2=27/16. Vì diện tích không âm, hãy kiểm:
\frac{27}{16}-(1+t)^2(1-t^2)\ge0.
Đẳng thức phải xảy ra ở t=1/2. Điều đó gợi ý tìm nhân tử (2t-1)^2, nhưng vẫn phải khai triển và kiểm đẳng thức, không tự gắn nhân tử theo mong muốn.
4. Chứng minh cận bằng một bình phương
Ta có (1+t)^2(1-t^2)=(1+t)^3(1-t). Khai triển biểu thức sau, hoặc nhân ngược để kiểm, cho đẳng thức:
\frac{27}{16}-(1+t)^3(1-t)=\frac{(2t-1)^2(4t^2+12t+11)}{16}.
Trong miền 0<t<1, bình phương (2t-1)^2 không âm; thừa số 4t^2+12t+11 dương; mẫu 16 dương. Vì vậy vế phải không âm, suy ra:
\left(\frac{S}{R^2}\right)^2\le\frac{27}{16}.
Cả S/R^2 và 3\sqrt3/4 đều không âm, nên lấy căn giữ đúng thứ tự:
\boxed{S\le\frac{3\sqrt3}{4}R^2}.
Đây là cận cho mọi t trong miền, không chỉ ba giá trị đã thử. Nhân tử dương thứ hai cũng cho điều kiện dấu bằng duy nhất:
(2t-1)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=\frac12.
Tự kiểm đẳng thức thay vì tin vào một dòng phân tích
(1+t)^3(1-t)=1+2t-2t^3-t^4. Do đó vế trái là t^4+2t^3-2t+11/16. Nhân (4t^2-4t+1)(4t^2+12t+11)/16 cũng cho đúng đa thức ấy. Hạng bậc hai triệt tiêu; thiếu bước kiểm này rất dễ chép sai một hệ số.
Mẫu tư duy: có một ứng viên hợp lí; lấy cận dự đoán trừ biểu thức cần chặn; tìm bình phương ứng với dấu bằng; kiểm phần còn lại dương trên miền. Không phải bài cực trị nào cũng có cùng nhân tử, nhưng quy trình “hiệu không âm” dùng rất rộng.
5. Cận đạt được mới là giá trị lớn nhất
Điều kiện t=1/2 cho x=R/2, AB=R, h=R\sqrt3/2. Cả x và h đều dương, x nhỏ hơn R, nên dây và hình thang hợp lệ thật sự tồn tại.
Thay lại vào công thức diện tích ban đầu:
S=\frac{2R+R}{2}\cdot\frac{R\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}R^2.
Vậy diện tích lớn nhất là 3\sqrt3 R^2/4. Hai việc đều cần: đã chứng minh không hình nào vượt cận; đã dựng được hình đạt cận. Nếu điều kiện dấu bằng nằm ngoài miền thì chỉ tìm được một cận, chưa tìm được giá trị lớn nhất của họ hình.
Ví dụ mới: với bán kính4 cm, đáy lớn8 cm, đáy nhỏ tối ưu4 cm, chiều cao 2\sqrt3 cm, diện tích lớn nhất 12\sqrt3\,\mathrm{cm}^2. Với bán kính6 cm, diện tích lớn nhất 27\sqrt3\,\mathrm{cm}^2. Tỉ số diện tích là 27/12=9/4, đúng bằng bình phương tỉ số bán kính (6/4)^2.
Không nói “tấm vật liệu cắt được đúng diện tích ấy” nếu thực tế có bề rộng đường cắt, mép chừa hoặc kích thước dụng cụ. Kết quả đang thuộc mô hình hình học lí tưởng đã nêu.
6. Chuyển bài: cùng đường tròn, đổi họ hình thì phải dựng lại hàm
Nếu thay hình thang bằng hình chữ nhật có đáy dưới nằm trên đường kính và hai đỉnh trên cung, đặt nửa chiều rộng là x như trước. Chiều cao vẫn là \sqrt{R^2-x^2}, nhưng diện tích là:
S_{cn}=2x\sqrt{R^2-x^2}.
Từ (x-h)^2\ge0, ta có 2xh\le x^2+h^2=R^2. Dấu bằng khi x=h=R/\sqrt2. Vậy hình chữ nhật tối ưu có diện tích R^2, ở t=1/\sqrt2, khác hình thang tối ưu ở t=1/2.
Với R=4, diện tích hình chữ nhật lớn nhất 16, còn hình thang lớn nhất 12\sqrt3, lớn hơn 16. Không có mâu thuẫn: hai bài tối ưu trên hai họ hình khác nhau và có công thức diện tích khác nhau.
Giữ cùng miền và cùng ràng buộc chưa đủ giữ cùng điểm tối ưu. Phải xác định đúng đại lượng: diện tích, chu vi hoặc chiều cao là những hàm khác nhau. Không tái sử dụng t=1/2 chỉ vì vẫn nhìn thấy nửa đường tròn.
7. Tự kiểm: mô hình, miền, cận và dấu bằng
A. Đường kính 10 cm thì miền của nửa đáy nhỏ x là gì?
Bán kính 5 cm, nên 0<x<5. Không dùng10 làm cận cho x. Đáy nhỏ AB bằng2x, vì vậy có thể lớn hơn5 nhưng phải nhỏ hơn10.
B. Bán kính 5, nửa đáy nhỏ 3: chiều cao và diện tích hình thang?
h=\sqrt{25-9}=4. Hai đáy dài 10 và 6, nên S=(10+6)\cdot4/2=32. Kiểm bằng công thức gọn: (5+3)\cdot4=32.
C. Với bán kính 5, hình ở B đã tối ưu chưa?
Chưa. Tối ưu cần x=5/2, không phải 3. Diện tích lớn nhất 75\sqrt3/4, lớn hơn32: bình phương hai số dương cho 16875/16>1024.
D. Thấy x=R/2 trong ba lần thử có đủ chứng minh cực đại?
Không. Cần một cận đúng với mọi x trong miền và kiểm cận đạt được. Đẳng thức phân tích ở phần 4 cung cấp phần “mọi x”, phép dựng ở phần 5 cung cấp phần “đạt được”.
E. Tăng bán kính gấp ba, diện tích lớn nhất tăng mấy lần?
Tăng 9 lần vì công thức có R^2. Các độ dài tối ưu tăng 3 lần. Không dùng chung hệ số 3 cho cả độ dài và diện tích.
F. Có thể bỏ điều kiện diện tích không âm khi lấy căn bất đẳng thức bình phương?
Không nên bỏ qua. Từ u^2\le a^2, a\ge0, kết luận tổng quát là -a\le u\le a. Với diện tích, biết thêm u\ge0 nên chọn khoảng 0\le u\le a và điều kiện dấu bằng dương phù hợp.
G. Hình chữ nhật trong cùng nửa đường tròn có đạt cực đại tại x=R/2 không?
Không. Cần x=h, nên x=R/\sqrt2. Diện tích hình chữ nhật dùng 2xh, không phải (R+x)h.
H. Nếu chỉ cho phép x<R/2 thì giá trị cận trên còn đạt được không?
Không. Điều kiện dấu bằng của cận 3\sqrt3 R^2/4 là x=R/2, nay bị loại. Các x tiến sát R/2 từ bên trái cho diện tích tiến sát cận, nhưng không hình nào trong miền mới đạt cận. Phải phân biệt “có thể tiến sát” với “có giá trị lớn nhất bằng”.
Quy trình bốn câu hỏi: biến có mô tả mọi hình hợp lệ không; miền có đúng không; cận đã đúng với mọi điểm trong miền chưa; điều kiện dấu bằng có dựng được trong miền không?
Chuyên đề tự biên soạn · Không dùng đạo hàm · Dự đoán để tìm hướng, chứng minh để kết luận