Hai bóng và một chiều cao: đo bằng hiệu, kiểm tra đủ dữ kiện
Suy ra chiều cao từ hai góc nắng và phần bóng dài thêm; chứng minh chiều đảo, phát hiện dữ kiện thiếu và sửa mô hình khi mặt đất nghiêng.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Hai bóng và một chiều cao: đo bằng hiệu, kiểm tra đủ dữ kiện
Suy ra chiều cao từ hai góc nắng và phần bóng dài thêm; chứng minh chiều đảo, phát hiện dữ kiện thiếu và sửa mô hình khi mặt đất nghiêng.
01 · Độ dài bóng mang thông tin gì?
Một tháp thẳng đứng, mặt đất ngang và tia nắng thẳng tạo thành tam giác vuông. Gọi chiều cao tháp là H>0, độ dài bóng là x>0, góc tia nắng với phương ngang là \theta, với 0<\theta<90^\circ. Trong tam giác ấy,
\tan\theta=\frac Hx,\qquad H=x\tan\theta,\qquad x=\frac H{\tan\theta}.
Góc được đo ở đầu bóng; H là cạnh đối, x là cạnh kề. Độ dài tia nắng từ đỉnh đến đầu bóng là cạnh huyền, không phải x. Để dùng mô hình, cần nêu rõ tháp vuông góc mặt đất và bóng nằm trên mặt đất ngang.
Giữ chiều cao, góc nắng lớn hơn cho bóng ngắn hơn. Một cách nhìn tính tăng của tang trên góc nhọn là dựng các tam giác có cạnh kề cùng bằng 1: tia hợp với đáy góc lớn hơn cắt đường đứng ở điểm cao hơn, nên cạnh đối và tỉ số đối/kề đều lớn hơn.
Một lần đo gồm độ dài bóng và góc nắng đủ xác định chiều cao. Hai góc nắng mà không có bất kỳ độ dài nào chỉ xác định tỉ lệ, vì có thể phóng to toàn bộ hình.
02 · Hai thời điểm: loại đại lượng không đổi
Ở hai thời điểm, cùng một tháp có bóng dài x_1,x_2, góc nắng tương ứng \alpha,\beta. Đặt p=\tan\alpha, q=\tan\beta. Giả sử 0<\beta<\alpha<90^\circ, nên p>q>0. Chiều cao không đổi cho
H=px_1=qx_2\quad\Rightarrow\quad\frac{x_2}{x_1}=\frac pq>1.
Quan hệ đúng là bóng tỉ lệ nghịch với tang của góc , không tỉ lệ nghịch với số đo góc. Nếu góc giảm từ 60^\circ xuống 30^\circ, tỉ số bóng là 3, không phải 2. Nếu giảm từ 60^\circ xuống 45^\circ, tỉ số là \sqrt3, không phải 60/45.
Ngược lại, nếu hai số dương x_1,x_2 thỏa px_1=qx_2, đặt H=px_1. Hai tam giác vuông với chiều cao này có đúng các góc đã cho, vì tỉ số đối/kề là p và q. Kiểm tra chiều đảo giúp phân biệt một hệ thức cần với một mô hình thực sự dựng được.
03 · Chỉ biết bóng dài thêm bao nhiêu
Đôi khi chân tháp khó tiếp cận, nhưng ta biết hiệu hai độ dài bóng d=x_2-x_1>0. Kết hợp tỉ lệ với hiệu sẽ xác định được cả hai độ dài chưa biết:
px_1=q(x_1+d)\iff (p-q)x_1=qd.
Vì p-q>0, nghiệm duy nhất là x_1=\frac{dq}{p-q},\quad x_2=\frac{dp}{p-q},\quad H=\frac{dpq}{p-q}.
Đủ điều kiện chưa? Cả ba số đều dương; trừ hai công thức cho x_2-x_1=d; nhân lần lượt với p,q cho cùng chiều cao. Vì thế các công thức vừa cần vừa đủ trong mô hình mặt đất ngang.
Phải phân biệt hiệu độ dài với khoảng cách giữa hai đầu bóng . Nếu hai bóng cùng nằm trên một tia từ chân tháp, đoạn nối hai đầu bóng có độ dài d. Nếu hướng bóng thay đổi, khoảng cách hai đầu không còn bằng hiệu hai độ dài nói chung. Chẳng hạn hai bóng vuông góc dài 3 và 4 thì khoảng cách hai đầu là 5, còn hiệu chỉ là 1.
Vì vậy đo trực tiếp khoảng cách hai đầu rồi thế vào d cần thêm giả thiết cùng phương, cùng hướng. Công thức từ hiệu hai độ dài vẫn đúng trên mặt đất ngang ngay cả khi hai hướng bóng khác nhau.
04 · Kiểm chứng bằng một mẫu đầy đủ
Tháp AB thẳng đứng, B là chân tháp trên mặt đất ngang. Lần đầu, bóng dài BC=30\,\mathrm m, tia AC tạo với mặt đất góc 60^\circ. Lần sau, bóng dài BD=90\,\mathrm m. Đây là dữ kiện của mẫu được chọn.
Từ lần đầu, H=AB=30\sqrt3\,\mathrm m. Lần sau,
\tan\angle ADB=\frac{30\sqrt3}{90}=\frac1{\sqrt3},
nên góc nhọn \angle ADB=30^\circ. Chiều cao gần đúng 51{,}96\,\mathrm m, nhưng nên giữ 30\sqrt3 khi suy ra góc để tránh sai số trung gian.
Hình đặt hai bóng trên cùng một tia để so sánh: tỉ lệ 2 đơn vị hình cho 1\,\mathrm m, chiều cao 60\sqrt3, hai cạnh ngang 60 và 180 đơn vị hình. Tia đầu có góc 60^\circ, tia sau có góc 30^\circ.
Đổi cách cho dữ kiện: chỉ cho hai góc 60^\circ,30^\circ và hiệu bóng d=60\,\mathrm m. Khi đó p=\sqrt3, q=1/\sqrt3, p-q=2/\sqrt3. Công thức ở phần trước trả lại chính xác x_1=30, x_2=90, H=30\sqrt3. Hai cách cho thông tin khác nhau cùng xác định một hình.
05 · Khi nào dữ kiện không xác định được chiều cao?
Nếu \alpha=\beta là góc nhọn, cùng chiều cao cho hai bóng bằng nhau. Do đó d>0 là mâu thuẫn. Nếu d=0, mọi chiều cao dương đều tạo được hai bóng bằng nhau; chưa thể tìm một chiều cao duy nhất. Không chia cho p-q=0.
Nếu đã biết \alpha>\beta mà lại cho d\le0, dữ kiện không phù hợp với một tháp cao dương trên mặt đất ngang. Dấu của hiệu là một phần của mô hình, không chỉ là thao tác tính.
Nếu \alpha=90^\circ, tang không xác định nên công thức tổng quát không dùng được. Xét riêng tia thẳng đứng: bóng thứ nhất co về chân tháp, x_1=0; nếu lần hai có góc nhọn \beta và bóng dài d, thì H=d\tan\beta. Nếu góc nắng bằng 0^\circ trên mặt đất ngang, tia từ đỉnh song song mặt đất, không có đầu bóng hữu hạn theo mô hình này.
Hai thời điểm không tự bảo đảm đủ thông tin. Cần một thang độ dài và cần hai quan hệ độc lập. Hai bản sao của cùng một quan hệ không xác định thêm ẩn.
06 · Mặt đất nghiêng: phải sửa phương trình trước khi tính
Xét tình huống mới trong cùng một mặt phẳng đứng: mặt đất là đường thẳng nghiêng, cả hai bóng cùng hướng ngang dương từ chân tháp. Đặt k bằng độ tăng độ cao chia cho khoảng cách ngang; k>0 là lên dốc, k<0 là xuống dốc. Gọi x là khoảng cách ngang từ chân tháp đến đầu bóng, không phải độ dài đo dọc sườn dốc.
Độ cao mặt đất ở đầu bóng là kx. Tia nắng góc nhọn \theta hạ xuống một đoạn đứng x\tan\theta trên khoảng ngang x. Vì thế
H=kx+x\tan\theta=(k+\tan\theta)x.
Với hai góc như trên, cần k+q>0 để cả hai đầu bóng hữu hạn nằm về phía trước. Điều kiện này cũng làm k+p>0. Từ H=(p+k)x_1=(q+k)x_2, hiệu ngang d=x_2-x_1>0 cho
x_1=\frac{d(q+k)}{p-q},\quad x_2=\frac{d(p+k)}{p-q},\quad H=\frac{d(p+k)(q+k)}{p-q}.
Thay ngược cho các khoảng ngang dương, đúng hiệu d, đúng cùng chiều cao, nên đây cũng là điều kiện đủ. Nếu k+q=0, tia thứ hai song song mặt dốc và không gặp nó. Nếu k+q<0, phương trình không cho đầu bóng ở phía ngang dương. Các trường hợp đó không thuộc mô hình hai bóng đang xét.
Hai góc và hiệu ngang không xác định chiều cao nếu chưa biết độ dốc. Với p=\sqrt3, q=1/\sqrt3, d=60, mặt ngang k=0 cho H=30\sqrt3; mặt dốc k=1/\sqrt3 cho H=80\sqrt3, x_1=60, x_2=120. Cùng ba dữ kiện đầu nhưng hai chiều cao khác nhau chứng minh sự thiếu thông tin.
Nếu đo hiệu dọc mặt dốc là s, định lí Pythagore cho s=d\sqrt{1+k^2}. Do đó phải dùng d=s/\sqrt{1+k^2}. Chẳng hạn vẫn hai góc ấy, k=1/\sqrt3, nhưng s=60\,\mathrm m, thì d=30\sqrt3\,\mathrm m và H=120\,\mathrm m. Thế nhầm 60 vào hiệu ngang sẽ cho một chiều cao khác.
07 · Tự kiểm tra cách đo và mức chắc chắn
Góc nhọn chính xác, nhưng hiệu bóng chỉ biết từ 59 đến 61 m
Trên mặt đất ngang, với hai góc 60^\circ,30^\circ, ta có H=d\sqrt3/2. Hệ số dương nên \frac{59\sqrt3}{2}\le H\le\frac{61\sqrt3}{2}\,\mathrm m. Hai cận đều đạt khi hiệu bóng nhận đầu mút tương ứng. Khoảng này phản ánh dữ kiện đo không chắc chắn, khác với làm tròn một kết quả chính xác.
Hai góc càng gần nhau thì đo bằng hiệu bóng có khó hơn không?
Công thức H=d\,pq/(p-q) cho biết, nếu coi góc chính xác, sai số tuyệt đối của d được nhân với pq/(p-q). Với p=2,q=1, hệ số là 2; với p=2,q=1{,}9, hệ số là 38. Đây là hai cặp góc nhọn có thể dựng từ các tỉ số ấy. Không kết luận chung chỉ từ hiệu góc mà bỏ qua chính các giá trị p,q.
Biết chiều cao và hiệu bóng, có tìm được góc sau không?
Trên mặt đất ngang, biết H>0, p>0, d>0, ta có x_1=H/p, x_2=H/p+d, nên q=\frac{Hp}{H+dp}. Mẫu dương, 0<q<p, xác định đúng một góc nhọn \beta<\alpha. Với H=30\sqrt3,p=\sqrt3,d=60, thu được q=1/\sqrt3, tức \beta=30^\circ.
Hai đầu bóng cách nhau 60 m có đủ để thay d bằng 60 không?
Chưa đủ. Cần biết hai bóng cùng nằm trên một tia, hoặc đã đo riêng hai độ dài và lấy hiệu. Nếu chỉ có khoảng cách hai đầu trong hai hướng khác nhau, thông tin về góc giữa các hướng bóng còn thiếu.
Trước khi nhập máy tính, hãy xác định góc với phương nào, độ dài đo theo phương nào, đại lượng nào không đổi, và phương trình có đủ điều kiện cho chiều đảo hay chưa. Một sơ đồ đo rõ ràng cho biết cả cách tính lẫn giới hạn của kết luận.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện