Chuyển động nhiều chặng: cộng thời gian, kiểm tra tốc độ
Chuyên đề Toán THCS về quãng đường, thời gian nghỉ, tốc độ trung bình, chặng bằng thời gian hoặc quãng đường, miền phương trình; ví dụ đầy đủ tự biên soạn và…
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THCS · THỜI GIAN VÀ TỐC ĐỘ
Chuyển động nhiều chặng: cộng thời gian, kiểm tra tốc độ
Hai hành trình cùng tổng quãng đường có thể mất thời gian khác nhau. Nghỉ giữa đường không thêm quãng đường nhưng có thể làm thay đổi tốc độ trung bình của cả hành trình. Trước khi giải phương trình, hãy dựng một lịch thời gian rõ ràng.
Chuẩn bị: phân số, đổi đơn vị, phương trình và đọc đồ thị. Mục tiêu: phân biệt thời gian chạy với thời gian từ xuất phát đến kết thúc; lập quan hệ đúng; hiểu khi nào được lấy trung bình cộng tốc độ; kiểm tra miền của ẩn và các giả thiết mô hình. Ví dụ được tự biên soạn, không kèm đề thi hoặc kết quả của đề nguồn.
1. Quãng đường, tốc độ và thời gian phải cùng một hệ đơn vị
Với một chặng chuyển động đều có quãng đường s>0, tốc độ v>0, thời gian t>0, ta dùng:
s=vt,\qquad t=\frac{s}{v},\qquad v=\frac{s}{t}.
Nếu quãng đường tính bằng km, tốc độ bằng km/h, thời gian trong công thức là giờ. Một khoảng nghỉ 15 phút bằng 15/60=1/4 giờ, không phải 0{,}15 giờ. 0{,}15 giờ chỉ bằng 9 phút.
“Tốc độ” ở đây là độ lớn để tính quãng đường; không mang dấu âm do đổi hướng. Muốn xét vị trí hoặc độ dời cần mô hình khác. Nếu một chặng có tốc độ thay đổi, công thức t=s/v vẫn có thể dùng với tốc độ trung bình của chính chặng, nhưng không được lấy một tốc độ tức thời tùy ý thay cho nó.
Dự đoán: đi 12 km với 12 km/h có mất 12 giờ không?
Không. Thời gian là 12/12=1 giờ. Kiểm tra đơn vị: km chia km/h cho giờ. Đơn vị giúp phát hiện việc nhân hoặc chia nhầm.
2. Một hành trình đầy đủ: giữ riêng mỗi khoảng thời gian
Tình huống giả định tự biên soạn: một người đi xe đạp chặng đầu 24 km với tốc độ không đổi 12 km/h; nghỉ 15 phút; đi tiếp 18 km với tốc độ không đổi 18 km/h. Bỏ qua các lần dừng khác.
Khoảng · Quãng đường · Tốc độ · Thời gian
Chặng đầu · 24 km · 12 km/h · 24/12=2 giờ
Nghỉ · 0 km · Không đi · 1/4 giờ
Chặng sau · 18 km · 18 km/h · 18/18=1 giờ
S=24+18=42,\qquad T=2+\frac14+1=\frac{13}{4}.
Tổng quãng đường là 42 km. Tổng thời gian từ xuất phát đến kết thúc là 13/4 giờ, tức 3 giờ 15 phút. Thời gian đang đi chỉ là 3 giờ. Phải đọc yêu cầu để biết thời gian nào được hỏi.
Khi nghỉ, không dùng phép tính 0/0 để suy ra thời gian. Khoảng nghỉ đã được cho trực tiếp. Công thức chia cho tốc độ cần v>0, nên không áp dụng theo cách đó cho đoạn đứng yên.
3. Đồ thị quãng đường tích lũy: đoạn ngang vẫn tiêu tốn thời gian
Trục ngang là thời gian kể từ lúc xuất phát, đơn vị giờ; trục đứng là tổng quãng đường đã đi, đơn vị km. Quãng đường tích lũy không giảm, kể cả khi hành trình có đổi hướng. Đồ thị này không phải bản đồ vị trí.
Ba mốc quan trọng là (2,24), (9/4,24), (13/4,42). Đoạn ngang kéo dài 1/4 giờ: quãng đường giữ nguyên chứ thời gian không đứng lại. Chặng sau dốc hơn chặng đầu vì tăng 18 km mỗi giờ thay vì 12 km mỗi giờ trong cùng tỉ lệ trục.
Độ dốc được hiểu bằng lượng tăng quãng đường chia lượng tăng thời gian, không đo góc trực tiếp bằng mắt. Nếu thay tỉ lệ vẽ của trục, hình có thể dốc khác nhưng tốc độ trong dữ kiện không đổi.
Tự thử: đoạn ngang có nghĩa người ấy quay về điểm xuất phát không?
Không. Trong đồ thị quãng đường tích lũy, đoạn ngang nghĩa không đi thêm quãng đường. Muốn biết vị trí trên đường, cần đồ thị vị trí hoặc dữ kiện hướng đi.
4. Tốc độ trung bình: chọn đúng mẫu số trước khi tính
Tốc độ trung bình trong một khoảng thời gian được chọn bằng tổng quãng đường trong khoảng đó chia cho độ dài của khoảng. Với toàn hành trình ở ví dụ, bao gồm nghỉ:
v_{\mathrm{tb}}=\frac{42}{13/4}=\frac{168}{13}\ \text{km/h}\approx12{,}92\ \text{km/h}.
Nếu chỉ tính trong thời gian đang đi, ta được 42/3=14 km/h. Cả hai kết quả có thể đúng với hai yêu cầu khác nhau; phải đặt tên rõ cho mẫu số. Không viết một con số “trung bình” mà bỏ phạm vi thời gian.
Trung bình cộng hai tốc độ của ví dụ là (12+18)/2=15, không phải kết quả ở trên. Người đi dành 2 giờ ở tốc độ 12 và 1 giờ ở tốc độ 18; hai tốc độ không có thời lượng bằng nhau. Khi không nghỉ:
v_{\mathrm{tb}}=\frac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}.
Nếu t_1=t_2>0, biểu thức trở thành (v_1+v_2)/2. Nếu có thêm khoảng nghỉ, công thức cho cả hành trình phải thêm thời gian nghỉ vào mẫu; không dùng điều kiện bằng nhau của hai chặng để bỏ thời gian đứng yên.
Dự đoán: nghỉ thêm 15 phút nhưng không đổi các chặng thì trung bình cả hành trình tăng hay giảm?
Giảm: quãng đường vẫn 42, mẫu thời gian tăng từ 13/4 lên 7/2. Kết quả là 42/(7/2)=12 km/h. Tốc độ trên từng chặng không bị đổi chỉ vì nghỉ thêm.
5. Cùng quãng đường không có nghĩa cùng thời gian
Giả sử hai chặng đều dài D>0, tốc độ lần lượt là u,v>0, không nghỉ. Thời gian là D/u và D/v. Vì thế:
v_{\mathrm{tb}}=\frac{2D}{D/u+D/v}=\frac{2uv}{u+v}.
Biểu thức này được suy ra trong giả thiết hai chặng cùng quãng đường và không nghỉ. Khi dữ kiện khác, hãy trở lại tổng quãng đường chia tổng thời gian; riêng khi hai tốc độ bằng nhau và không nghỉ, tốc độ trung bình vẫn bằng tốc độ chung dù hai quãng đường khác nhau.
Ví dụ tự biên soạn: mỗi chặng 24 km, tốc độ 12 và 18 km/h. Tổng thời gian 2+4/3=10/3 giờ; tốc độ trung bình 48/(10/3)=14{,}4 km/h, không phải 15. Chặng chậm chiếm nhiều thời gian hơn.
\frac{u+v}{2}-\frac{2uv}{u+v}=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\ge0.
Hiệu không âm vì mẫu dương và tử là bình phương. Hai mức bằng nhau khi u=v. Đây là chứng minh điều kiện, không phải lời khuyên cứ lấy trung bình cộng rồi giảm một lượng ước đoán.
Tốc độ trung bình và độ lớn của vận tốc trung bình khác nhau khi đổi hướng. Đi ra rồi về đúng điểm xuất phát có độ dời bằng 0, nhưng tổng quãng đường đã đi vẫn dương. Bài học này tính tốc độ theo tổng quãng đường.
6. Khi tốc độ chưa biết: lập phương trình với miền rõ
Cho hai quãng đường s_1,s_2>0, tốc độ đầu x>0, tốc độ sau x+d với d\ge0, nghỉ \tau\ge0 giờ và tổng thời gian T. Nếu mỗi chặng có tốc độ không đổi, mô hình là:
\frac{s_1}{x}+\tau+\frac{s_2}{x+d}=T,\qquad x>0.
Cần T>\tau: còn phải có thời gian dương để đi hai chặng. Với một tốc độ lớn hơn trong miền x>0, cả hai mẫu tăng nên từng thời gian đi giảm. Do đó tổng thời gian đi giảm nghiêm ngặt; một dữ kiện thời gian không thể cho hai tốc độ dương khác nhau cùng phù hợp với mô hình này.
Nhân khử mẫu chỉ sau khi đã ghi miền. Một nghiệm làm mẫu bằng 0 không hợp lệ; nghiệm âm không phải tốc độ của tình huống. Nếu đề cho chặng sau chậm hơn một lượng d>0, tốc độ sau là x-d và miền phải là x>d, không giữ máy móc x>0.
Không cần giải một phương trình dài để hiểu cách lập. Với một giá trị dự kiến của x, hãy tính thời gian từng chặng, cộng nghỉ và so với T. Kiểm tra cuối cùng phải bằng phương trình ban đầu, chưa khử mẫu.
Nếu mô hình bỏ qua đèn đỏ, thời tiết hoặc các lần dừng khác, kết quả thuộc mô hình giả định. Khi dữ kiện thực tế khác, cần sửa giả thiết; không coi kết quả số là bảo đảm thời gian di chuyển ngoài đời.
7. Tự kiểm tra và chuyển sang một tình huống mới
A. Một người đi 10 km với 10 km/h, nghỉ 20 phút, rồi đi 15 km với 15 km/h. Viết tổng thời gian và tốc độ trung bình cả hành trình.
Gợi ý A
Mỗi chặng mất 1 giờ. Nghỉ là 1/3 giờ. Mẫu số phải gồm cả khoảng nghỉ.
Kiểm tra A
T=1+1/3+1=7/3 giờ, S=25 km. Tốc độ trung bình là 25/(7/3)=75/7 km/h. Nếu chỉ tính lúc đang đi, kết quả 25/2=12{,}5 km/h; phải ghi rõ sự khác nhau.
B. Đi 30 phút với 10 km/h rồi 30 phút với 14 km/h, không dừng. Có được dùng trung bình cộng không?
Kiểm tra B
Có vì thời gian hai chặng bằng nhau: quãng đường 5+7=12 km trong 1 giờ; trung bình 12 km/h, đúng (10+14)/2. Không phải vì chỉ có hai tốc độ.
C. Chặng sau chậm hơn chặng đầu 4 km/h. Gọi tốc độ đầu là x, miền nào cần có?
Kiểm tra C
Tốc độ sau x-4 phải dương, nên x>4. Điều kiện này cũng làm tốc độ đầu dương. Không chấp nhận x=4 nếu còn phải đi một quãng đường dương ở chặng sau.
D. Một phương trình cho tổng thời gian từ xuất phát đến kết thúc bằng 15 phút, nhưng nghỉ 20 phút và hai chặng có quãng đường dương.
Kiểm tra D
Không phù hợp: T<\tau, trong khi thời gian đi cần dương. Trước khi biến đổi, kiểm tra dữ kiện và cách hiểu “tổng thời gian”.
E. Đi ra rồi về điểm xuất phát. Có thể báo tốc độ trung bình bằng 0 không?
Kiểm tra E
Không nếu đã đi quãng đường dương trong thời gian hữu hạn dương. Tổng quãng đường chia tổng thời gian dương. Số 0 có thể thuộc vận tốc trung bình theo độ dời, là đại lượng khác.
Phiếu rà: quãng đường hay độ dời? tốc độ hay vận tốc? đơn vị đã đồng nhất chưa? nghỉ có nằm trong tổng được hỏi không? tốc độ mỗi chặng có cố định không? trung bình cộng có thời gian bằng nhau không? miền của mọi mẫu số đã rõ chưa? thay kết quả vào lịch thời gian ban đầu có đúng không?
Mô hình chuyển động đáng tin khi mỗi khoảng thời gian có tên rõ và mỗi tốc độ có điều kiện. Dựng lịch, đọc mẫu số và kiểm tra lại giúp tránh việc nhớ một công thức nhưng dùng sai tình huống.