Đại lượng trung gian: nối dữ kiện với điều cần tìm
Học cách chọn một lượng đủ dùng, chứng minh quan hệ hai đầu và kiểm khả thi qua mức nền, đường sinh và cấu trúc tổng–tích.
TOÁN 9 · THIẾT KẾ MỘT CẦU NỐI
Đại lượng trung gian: nối dữ kiện với điều cần tìm
Học cách chọn một lượng đủ dùng, chứng minh quan hệ hai đầu và kiểm khả thi qua mức nền, đường sinh và cấu trúc tổng–tích.
1. Đại lượng trung gian là một chiếc cầu có hai đầu
Nhiều bài toán khó không phải vì phép tính cuối dài, mà vì dữ kiện chưa ở dạng công thức cuối cần dùng. Ta gọi đại lượng trung gian là một lượng được xác định từ dữ kiện, rồi dùng để đi tới mục tiêu. Một chiếc cầu hữu ích phải có cả hai đầu: tính được nó bằng giả thiết và dùng được nó để xác định điều cần tìm.
Viết hai câu trước khi tính:
- “Để tìm mục tiêu, tôi cần biết lượng nào?”
- “Từ dữ kiện, tôi có thể xác định lượng ấy bằng quan hệ nào?”
Sau đó kiểm: quan hệ có đủ điều kiện, đúng đơn vị và xác định được đúng mục tiêu không?
Đại lượng trung gian có thể là một độ dài, phần hơn một mức nền, tổng hoặc tích. Không nhất thiết phải tìm mọi ẩn của bài toán. Nếu nhiều cấu hình khác nhau cho cùng mục tiêu, việc tìm riêng từng thành phần có thể là công việc thừa.
Ngược lại, một lượng có vẻ liên quan chưa chắc đủ. Biết hai số dương có tổng 10 chưa biết được tích: cặp (1,9) có tích 9, cặp (4,6) có tích 24. Cùng đầu vào “tổng bằng mười” mà mục tiêu khác nhau chứng minh chiếc cầu ấy còn thiếu dữ kiện.
2. Tìm chiếc cầu bằng cách đọc ngược công thức
Có ba cách thường gặp, nhưng chúng cùng phục vụ một ý tưởng.
- Tạo lượng còn thiếu: công thức diện tích cần một độ dài chưa cho trực tiếp; dùng một tam giác vuông để tìm nó.
- Trừ một mức đã biết: khi tổng gồm hai loại khác nhau, so tổng thật với trường hợp tất cả đều thuộc một loại; phần chênh chỉ còn phụ thuộc một ẩn.
- Gom thành cấu trúc: mục tiêu chứa tổng bình phương; dùng tổng và tích thay vì giải riêng từng số.
Đây không phải ba công thức để nhận dạng theo tên tình huống. Hãy thử viết mục tiêu trước, khoanh đúng lượng cần có, rồi tìm một quan hệ độc lập nối về giả thiết. Ba ứng dụng dưới đây cho thấy chiếc cầu có thể là độ dài, độ chênh hoặc một cặp giá trị đại số.
Nếu công thức cuối chứa độ dài mà lượng trung gian có đơn vị diện tích, hoặc nếu một bước đang chia cho lượng có thể bằng không, chuỗi tính chưa hợp lệ dù phép biến đổi nhìn đẹp.
3. Trừ mức nền để chỉ còn một ẩn
Giả sử có hai loại vật, tổng số lượng là T>0. Mỗi vật loại một đóng góp a, mỗi vật loại hai đóng góp b, với a<b, đo trong cùng một đơn vị. Gọi số lượng hai loại là x,y\ge0, tổng đóng góp là U. Ta có:
x+y=T,\qquad ax+by=U.
Nếu tất cả đều là loại một, tổng sẽ là aT. Trừ mức nền này khỏi tổng thật:
U-aT=ax+by-a(x+y)=(b-a)y.
Đại lượng trung gian D=U-aT chính là phần tăng thêm so với mức nền. Mỗi vật loại hai làm tăng b-a, nên:
y=\frac{D}{b-a}=\frac{U-aT}{b-a},\qquad x=T-y.
Đây cũng là phép khử một ẩn trong hệ phương trình. Vì b-a>0, nghiệm không âm tồn tại khi và chỉ khi 0\le D\le(b-a)T, tương đương aT\le U\le bT. Nếu đang đếm vật, hai số lượng còn phải là số nguyên. Nếu a=b, mọi vật đóng góp như nhau: tổng chỉ kiểm được U=aT, không thể tách hai loại bằng dữ kiện này.
Ví dụ: hai cỡ hộp giấy
Một kho có đúng 40 hộp, mỗi hộp chỉ thuộc một trong hai cỡ: chứa 6 hoặc 10 cuốn vở. Tất cả hộp đều đầy, tổng cộng 304 cuốn. Tìm số hộp mỗi cỡ.
Mức nền là 6\cdot40=240 cuốn. Phần hơn nền D=304-240=64 cuốn; mỗi hộp lớn tăng thêm 10-6=4 cuốn so với hộp nhỏ. Vì thế có 64/4=16 hộp lớn, 24 hộp nhỏ. Kiểm lại cả hai dữ kiện: 16+24=40 và 16\cdot10+24\cdot6=304.
Nếu cùng 40 hộp ấy được báo chứa 305 cuốn, tổng vẫn nằm giữa 240 và 400. Thế có bảo đảm dữ liệu đúng không?
Kiểm điều kiện còn thiếu
Không. Phần hơn nền là 65, không chia hết cho 4, nên số hộp lớn sẽ là 65/4, không nguyên. Với vật nguyên chiếc, điều kiện khoảng chỉ là cần; còn cần tính nguyên. Ngược lại, nếu (U-240)/4 là một số nguyên từ 0 đến 40, chọn số hộp lớn bằng số ấy sẽ thực hiện được dữ liệu.
4. Đường sinh là cầu nối từ chiều cao tới diện tích nón
Xét hình nón tròn xoay có đỉnh S, tâm đáy O, bán kính OA=r>0, chiều cao SO=h>0, với A trên đường tròn đáy. Đường sinh là SA=l. Vì trục SO vuông góc mặt phẳng đáy, tam giác SOA vuông tại O:
l^2=h^2+r^2,\qquad l=\sqrt{h^2+r^2}.
Ta lấy căn dương vì l là độ dài. Khi trải mặt bên theo một đường sinh, ta được một hình quạt bán kính l, có cung dài đúng chu vi đáy 2\pi r. Cung chiếm tỉ lệ r/l so với đường tròn bán kính l, nên diện tích hình quạt cũng chiếm tỉ lệ đó:
S_{\mathrm{xq}}=\frac rl\cdot\pi l^2=\pi rl.
Chuỗi phụ thuộc rõ ràng là: từ r,h tìm l, rồi từ r,l tìm diện tích mặt bên. Chiều cao h không thay được đường sinh l trong công thức cuối.
Thiết diện qua trục tạo tam giác vuông (SOA). Hình chỉ mô tả quan hệ; không gán cùng vai trò cho cạnh đứng (h) và cạnh nghiêng (l).
Ví dụ: một chụp giấy không có đáy
Một chụp giấy hình nón có bán kính 5 cm, chiều cao 12 cm. Tính diện tích mặt bên lí tưởng, chưa tính mép dán và hao hụt cắt giấy.
Đường sinh là l=\sqrt{5^2+12^2}=13 cm. Vì vậy S_{\mathrm{xq}}=65\pi\,\mathrm{cm^2}. Không cộng diện tích đáy vì chụp không có đáy. Cũng không viết 60\pi: giá trị đó đã thay nhầm h=12 vào chỗ l=13.
Kiểm sự phụ thuộc. Giữ r=5, tăng h từ 12 lên 24. Đường sinh mới là \sqrt{601}, không phải 26, nên diện tích bên không gấp đôi. Nếu nhân cả r,h với k>0, thì l cũng nhân k, và diện tích bên nhân k^2. Theo dõi chiếc cầu cho biết thay dữ kiện nào làm mục tiêu đổi ra sao.
5. Tổng và tích có thể đủ dù từng số chưa biết
Với hai số thực u,v, đặt s=u+v, p=uv. Khai triển bình phương tổng:
s^2=(u+v)^2=u^2+2uv+v^2\quad\Longrightarrow\quad u^2+v^2=s^2-2p.
Nếu mục tiêu là tổng bình phương, cặp (s,p) là chiếc cầu đủ dùng. Không cần tìm riêng u,v. Tương tự:
(u-v)^2=s^2-4p.
Nhưng dữ liệu phải tạo được hai số thực. Điều kiện là s^2-4p\ge0: cần vì vế trái là một bình phương; đủ vì có thể lấy u=(s+\sqrt{s^2-4p})/2, v=(s-\sqrt{s^2-4p})/2, rồi kiểm tổng và tích. Công thức này chỉ để chứng minh tồn tại, không bắt buộc dùng để tính từng số trong mọi bài.
Ví dụ: biết tổng và tích, tính mục tiêu đối xứng
Cho hai số thực u,v có u+v=9, uv=14. Tính u^2+v^2 và khoảng cách giữa chúng trên trục số.
Ta có s^2-4p=81-56=25\ge0, nên dữ liệu khả thi. Tổng bình phương bằng 81-28=53. Khoảng cách là |u-v|=\sqrt{25}=5, lấy giá trị không âm. Có thể kiểm bằng cặp (2,7), nhưng các đẳng thức đã chứng minh giải thích kết quả cho mọi cặp thỏa giả thiết, kể cả khi đổi thứ tự.
Cặp (s,p) đủ cho mục tiêu đối xứng này nhưng chưa xác định dấu của u-v. Hai cặp (2,7), (7,2) có cùng tổng và tích, còn hiệu lần lượt là -5,5. Muốn tính hiệu có dấu, cần thêm thứ tự của hai số.
Cũng không được dùng công thức để hợp thức hóa dữ kiện không tồn tại. “Hai số thực có tổng 2, tích 3” là bất khả thi vì s^2-4p=4-12=-8<0. Kết quả hình thức u^2+v^2=-2 còn tự báo lỗi: tổng bình phương thực không âm.
6. Tự thiết kế chiếc cầu, rồi thử phá nó
Với mỗi ứng dụng, trước khi xem gợi ý hãy ghi đúng lượng trung gian, điều kiện và phép kiểm ngược.
Chuyển giao mức nền: hai mệnh giá vé
Một quầy bán 30 vé, giá mỗi vé là 20 hoặc 35 nghìn đồng; doanh thu 810 nghìn đồng. Mức nền 600, phần hơn 210, chênh mỗi vé 15. Vậy có 14 vé giá cao, 16 vé giá thấp. Kiểm 14\cdot35+16\cdot20=810, và tổng vé là 30. Tất cả số tiền trong phép tính dùng cùng đơn vị nghìn đồng.
Chuyển giao đường sinh: đi ngược từ diện tích
Một hình nón có bán kính 3 cm và diện tích mặt bên 15\pi\,\mathrm{cm^2}. Muốn tìm chiều cao, đi ngược qua l=S_{\mathrm{xq}}/(\pi r)=5 cm, rồi h=\sqrt{l^2-r^2}=4 cm. Cần l>r để có hình nón với chiều cao dương; nếu diện tích bên chỉ là 6\pi, ta sẽ được l=2<r, không có hình nón thỏa dữ kiện.
Chuyển giao cấu trúc: đổi mục tiêu, giữ tổng và tích
Với u+v=9, uv=14, tìm u^3+v^3. Khai triển (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v), nên mục tiêu bằng s^3-3ps=729-378=351. Kiểm bằng 2^3+7^3=351. Chiếc cầu tổng–tích vẫn đủ vì mục tiêu mới có thể viết theo đúng hai lượng ấy.
Một lời giải có chiếc cầu tốt phải giải thích được: vì sao chọn lượng ấy; vì sao tính được; vì sao đủ cho mục tiêu; và trường hợp nào khiến chiếc cầu mất hiệu lực. Giữ được bốn câu này thì phương pháp còn dùng được khi con số và bối cảnh thay đổi.
Toán THCS · Hiểu điều kiện, tự dựng lập luận, kiểm tra kết quả