Viète dưới dấu căn: biến đa thức thành bình phương
Chuyên đề Toán 9: hạ bậc theo phương trình gốc, nhận diện bình phương dưới căn, xét dấu giá trị tuyệt đối và dùng Viète đúng điều kiện.
LUKATO · THCS · TOÁN 9 · PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
Viète dưới dấu căn: biến đa thức thành bình phương
Hai nghiệm của một phương trình có thể đi vào biểu thức căn phức tạp, nhưng ta thường chỉ cần quan hệ tổng, tích và phương trình mà mỗi nghiệm thỏa mãn. Điều khó nhất là không đánh rơi dấu giá trị tuyệt đối.
Phương trình bậc hai Viète Hạ bậc Giá trị tuyệt đối
01 · Mục tiêu và điều kiện xuất phát
Hạ bậc Biến một đa thức bậc hai theo nghiệm thành biểu thức bậc nhất bằng phương trình gốc.
Nhận cấu trúc Nhận ra một biểu thức dưới căn trùng với bình phương khi chỉ xét trên tập nghiệm.
Xét dấu Viết đúng \sqrt{A^2}=|A|, sau đó mới quyết định có bỏ trị tuyệt đối được không.
Kết hợp nghiệm Dùng tổng hoặc tích Viète khi biểu thức thực sự quy về các đại lượng ấy.
Trước khi đặt tên hai nghiệm thực, kiểm tra \Delta=s^2-4p\geq0 đối với phương trình x^2-sx+p=0. Nếu cần hai nghiệm phân biệt, yêu cầu \Delta>0. Khi đó r_1+r_2=s, r_1r_2=p.
02 · “Bằng nhau tại nghiệm” khác “bằng nhau với mọi số”
Gọi P(x)=x^2-sx+p. Mọi nghiệm r của P(x)=0 đều thỏa r^2=sr-p. Đây là công cụ hạ bậc: trong một biểu thức chứa r^2, thay nó bằng sr-p, nhưng chỉ khi r thực sự là nghiệm đã nêu.
Q(r)=Ar^2+Br+C=(As+B)r+(C-Ap).
Muốn biết một biểu thức Q(r) có phải (r+c)^2 hay không, hãy trừ hai vế trước khi đoán căn:
Q(x)-(x+c)^2=kP(x)\quad\Longrightarrow\quad Q(r)=(r+c)^2.
Đây là một đẳng thức trên các nghiệm , không phải đẳng thức của hai đa thức nếu k\ne0. Ta có thể tìm k,c bằng cách so hệ số:
Q(x)=(1+k)x^2+(2c-ks)x+(c^2+kp).
Ví dụ, x^2-sx+p bằng không tại nghiệm nhưng thường không bằng không tại một số tùy ý. Viết rõ “vì P(r)=0” mỗi khi dùng phép biến đổi này.
Không được đi thẳng từ “bình phương” tới “bỏ căn” mà bỏ qua giá trị tuyệt đối.
03 · Vì sao dấu của nghiệm là khâu quyết định?
Với hai nghiệm thực và p>0, tích dương cho biết chúng cùng dấu . Nếu thêm s>0, tổng dương cho biết cả hai dương . Nếu s
Thông tin đã biết · Điều suy ra · Điều chưa được suy ra
Hai nghiệm thực; p>0,s>0 · r_1,r_2>0 · r_i+c>0 nếu c âm đủ lớn.
Hai nghiệm thực; p · Một dương, một âm. · Nhãn r_1 hay r_2 thuộc nghiệm dương.
\Delta\geq0 · Tồn tại nghiệm thực. · Dấu của từng nghiệm.
Luật căn thức: \sqrt{(r+c)^2}=|r+c|. Chỉ thay bằng r+c nếu đã chứng minh r+c\geq0; nếu r+c một họ phương pháp : khi hệ số trong căn thay đổi, hãy tìm xem phần chênh với một bình phương có là bội của phương trình gốc không. Nếu a hoặc b âm, cần xét dấu riêng; công thức cuối không còn được áp dụng tự động.
Ví dụ minh họa mới
Giả sử u,v là hai nghiệm của x^2-5x+3=0. Vì \Delta=13>0, u+v=5>0, uv=3>0, cả hai đều dương. Không giải nghiệm, hãy xem biểu thức
H=\sqrt{u^2+4u+4}+\sqrt{2v^2-3v+4}.
Với a=2,b=1,s=5,p=3, căn thứ hai có phần dưới là (v+1)^2+(v^2-5v+3); căn thứ nhất là (u+2)^2. Vì thế H=u+v+3=8. Giá trị 8 thuộc ví dụ tự biên soạn , không phải đáp án một câu đề thi.
05 · Khi Viète chưa đủ: phản ví dụ về thứ tự nghiệm
Đừng cố gắng quy một tổng trị tuyệt đối thành tổng nghiệm khi các dấu chưa thống nhất. Xét x^2-3x-4=0, có hai nghiệm 4 và -1. Với E=|r_1|+|r_2+2|:
Cách gắn nhãn · Giá trị · Vì sao khác?
r_1=4,r_2=-1 · E=4+1=5 · |r_2+2|=1.
r_1=-1,r_2=4 · E=1+6=7 · Hệ số dịch +2 gắn với nghiệm khác.
Hai cách cùng có tổng 3, tích -4. Biểu thức không đối xứng dưới hoán đổi nhãn, nên nếu đề không quy ước nghiệm lớn hay nhỏ, một giá trị duy nhất không xác định. Đây là phép kiểm tra quan trọng trước khi công bố đáp số.
06 · Quy trình tự áp dụng
1 · Kiểm tra \Delta và điều kiện nghiệm thực.
2 · Hạ bậc Thay r^2 bằng sr-p.
3 · Nhận dạng So với (r+c)^2, kiểm tra phần dư là bội của P(r).
4 · Khóa dấu Đưa trị tuyệt đối vào, xét dấu, rồi mới dùng Viète.
Tự kiểm tra trước khi mở đáp án
1 · Khi k\ne0, vì sao đẳng thức ở mục 02 chỉ đúng tại nghiệm của P(x)=0?
Vì Q(x)-(x+c)^2=kP(x). Khi k\ne0, vế phải bằng không khi và chỉ khi P(x)=0. Nếu k=0, đẳng thức Q(x)=(x+c)^2 đúng với mọi x; khi ấy không được nói chỉ đúng tại nghiệm.
2 · Nếu cả hai nghiệm dương, có luôn được bỏ trị tuyệt đối ở |r-10|?
Không. Nghiệm dương vẫn có thể nhỏ hơn 10. Phải so sánh nghiệm với 10 hoặc tìm chặn đủ mạnh.
3 · Dấu hiệu nào khiến cần hỏi lại thứ tự nghiệm?
Khi biểu thức thay đổi nếu hoán đổi r_1,r_2, ví dụ cộng những hằng số khác nhau bên trong hai dấu trị tuyệt đối. Viète chỉ cố định tổng và tích, không cố định cách gắn nhãn.
Ghi nhớ: Viète cung cấp quan hệ giữa các nghiệm; phương trình gốc hạ bậc từng nghiệm; trị tuyệt đối quyết định phép rút căn có hợp lệ hay không.
LUKATO · Chuyên đề đại số độc lập · Các tình huống luyện tập là ví dụ mới để học phương pháp.