Đường kính phụ: biến góc vuông thành cạnh bằng nhau
Hiểu đường tròn đường kính, tạo hình bình hành từ các đường vuông góc và dùng nó để chuyển một đoạn qua trực tâm thành dây cung.
TOÁN 9 · CHỌN ĐIỂM PHỤ CÓ LÍ DO
Đường kính phụ: biến góc vuông thành cạnh bằng nhau
Hiểu đường tròn đường kính, tạo hình bình hành từ các đường vuông góc và dùng nó để chuyển một đoạn qua trực tâm thành dây cung.
1. Đường kính là một cách tạo góc vuông có kiểm soát
Khi một hình có nhiều đường cao, thêm một đường kính có thể hữu ích hơn thêm một đường bất kì. Lí do là đường kính tạo thêm các góc vuông, rồi hai đường cùng vuông góc với một đường thứ ba có thể tạo thành các cạnh song song.
Trước hết, xét một cấu hình nhỏ: P,Q là hai đầu đường kính của một đường tròn tâm S, còn X thuộc đường tròn và khác P,Q. Vì SP=SQ=SX, hai tam giác SPX,SQX cân. Đặt \angle SPX=\alpha, \angle SQX=\beta. Tia XS nằm trong góc PXQ, nên góc này bằng \alpha+\beta. Tổng ba góc của tam giác PXQ cho
\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ\quad\Rightarrow\quad\boxed{\angle PXQ=90^\circ}.
Chiều ngược lại cũng đúng: một điểm X nhìn đoạn PQ dưới góc vuông thì thuộc đường tròn đường kính PQ. Có thể chứng minh bằng cách lấy trung điểm S của cạnh huyền PQ trong tam giác vuông PXQ: SP=SQ=SX=PQ/2.
Vì sao trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh?
Lấy Y đối xứng với X qua S. Hai đường chéo PQ,XY của tứ giác PXQY cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên tứ giác là hình bình hành. Nó có góc PXQ vuông, nên là hình chữ nhật. Hai đường chéo bằng nhau, do đó SX=XY/2=PQ/2. Tính chất hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau cũng suy ra trực tiếp từ định lí Pythagore.
Đường kính PQ cho góc vuông tại X. Hai bán kính đến P và Q nằm trên cùng một đường thẳng; bán kính đến X giúp chứng minh bằng hai tam giác cân.
Dự đoán trước khi tính. Nếu PQ=8 và PX=6, độ dài QX là cạnh còn lại của tam giác vuông, nên QX=\sqrt{64-36}=2\sqrt7. Nếu ai cho PX=9 trên cùng đường tròn đường kính 8, dữ kiện không thể xảy ra: một cạnh góc vuông không thể dài hơn cạnh huyền.
2. Hai góc vuông chỉ hữu ích khi cùng nhìn đúng một đoạn
Giả sử P,Q,U,V là bốn điểm phân biệt và
\angle PUQ=\angle PVQ=90^\circ.
Cả U,V đều thuộc đường tròn đường kính PQ, nên bốn điểm đồng viên. Ta đã xác định rõ đoạn chung được nhìn dưới góc vuông; không chỉ đếm thấy hai góc vuông ở đâu đó trong hình.
Điều kiện “cùng đoạn” không thể bỏ. Chẳng hạn lấy P=(0,0),Q=(4,0),U=(4,2),V=(0,3). Tứ giác PQUV có hai góc vuông tại P,Q, nhưng không nội tiếp. Nếu nó nội tiếp, góc PQU vuông buộc PU là đường kính; góc QPV vuông buộc QV cũng là đường kính. Tuy nhiên
PU=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20},\qquad QV=\sqrt{4^2+3^2}=5,
không bằng nhau. Hai đường kính của cùng một đường tròn không thể có độ dài khác nhau.
Cũng phải kiểm tra bốn điểm phân biệt. Nếu U=V, ta vẫn có một tam giác vuông trên đường tròn, nhưng chưa có một tứ giác nội tiếp. Nếu X=P trong phần 1, góc PXQ không còn được xác định. Tên điểm không tự bảo đảm một góc tồn tại.
3. Từ vuông góc đến song song, từ song song đến bằng nhau
Một nguyên tắc khác cần giữ rõ: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. Nếu hai đường trùng nhau, không gọi chúng là hai đường song song phân biệt.
Để tạo một hình bình hành, cần hai cặp cạnh đối song song trong một tứ giác không suy biến. Khi ấy các cạnh đối bằng nhau và hai đường chéo có cùng trung điểm. Hai loại kết luận này giải quyết hai loại mục tiêu: mục tiêu độ dài và mục tiêu vị trí.
Ta sẽ dùng nguyên tắc ấy trong một ứng dụng chọn lọc. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R; H là trực tâm. Lấy M đối diện A qua đường kính, tức A,O,M thẳng hàng và AM=2R. Câu hỏi là: đoạn BH, nằm trong tam giác, bằng dây cung nào của đường tròn?
Đường kính cho BM\perp AB và CM\perp AC. Các đường cao cho CH\perp AB và BH\perp AC. Bởi vậy
BM\parallel CH,\qquad CM\parallel BH.
Các đường ở mỗi cặp phân biệt: H nằm trong tam giác nhọn, còn B,C,M nằm trên đường tròn. Hơn nữa B,H,C không thẳng hàng. Các điểm M,B,C khác nhau; nếu M=B hoặc M=C, tam giác ABC sẽ có một góc vuông. Vì thế BHCM là một hình bình hành thực sự, và
\boxed{BH=CM},\qquad\boxed{CH=BM}.
Đường kính AM và hai đường cao tạo hai cặp song song. Hình bình hành BHCM biến đoạn BH thành dây CM; hình được dựng từ một tam giác nhọn có AB nhỏ hơn AC.
Đây là công dụng của điểm phụ M: nó biến một đoạn liên quan đến trực tâm thành một dây cung, bằng hai cặp vuông góc có cùng đường chuẩn. Không cần đo độ dài trên hình.
4. Một kết quả tốt nên mở ra một phép tính mới
Tiếp tục ứng dụng vừa đủ để kiểm tra sức mạnh của công cụ. Tam giác ACM vuông tại C, nên
AC^2+CM^2=AM^2.
Thay CM=BH, AM=2R, ta được quy luật đúng cho mọi tam giác nhọn trong cấu hình:
\boxed{AC^2+BH^2=4R^2}.
Ví dụ độc lập: một tam giác nhọn có bán kính ngoại tiếp 5 và cạnh AC=8. Khi đó BH^2=100-64=36, nên BH=6. Ta chọn căn dương vì B\ne H trong tam giác nhọn. Số liệu này có thể xảy ra: trên đường tròn bán kính 5, lấy dây AC=8 và lấy B là trung điểm của cung lớn AC; tam giác ABC cân và nhọn.
Viết theo góc cũng hữu ích. Hai góc AMC và ABC cùng nhìn dây AC; cả hai nhọn, nên bằng nhau. Trong tam giác vuông ACM:
CM=AM\cos\angle AMC=2R\cos\angle ABC.\boxed{BH=2R\cos\angle ABC}.
Với R=5 và \angle ABC=60^\circ, ta có BH=5. Với cùng bán kính nhưng góc B bằng 30^\circ, độ dài là 5\sqrt3. Điều quyết định không chỉ là kích thước đường tròn, mà còn là góc của tam giác.
Giới hạn nào cảnh báo cấu hình suy biến?
Trong tam giác nhọn, 0<\angle ABC<90^\circ, nên 0<BH<2R. Nếu thay góc B bằng 90^\circ, trực tâm trở thành chính B, còn AC là đường kính. Công thức độ dài vẫn cho BH=0, nhưng hình bình hành BHCM không còn có bốn đỉnh phân biệt. Một đẳng thức còn đúng ở giới hạn không cho phép giữ nguyên toàn bộ lời giải hình học.
5. Cùng một hình bình hành còn giải thích được trung điểm
Gọi T là trung điểm BC trong ứng dụng ở phần 3. Vì BC và HM là hai đường chéo của hình bình hành BHCM, ta cũng có T là trung điểm HM. Điểm O vốn là trung điểm AM.
Nếu thêm điều kiện AB\ne AC, tam giác AHM không suy biến. Thật vậy, nếu A,H,M thẳng hàng, đường AM đi qua O và vuông góc với BC; nó phải là đường trung trực BC, kéo theo AB=AC, mâu thuẫn.
Vì vậy, trong tam giác AHM, đoạn nối hai trung điểm O,T là đường trung bình:
\boxed{OT\parallel AH},\qquad\boxed{OT=\frac{AH}{2}}.
Muốn thấy tỉ số 1/2, có thể kẻ đường qua O song song AH cắt MH tại T'. Thales cho MT'/MH=MO/MA=1/2, nên T' chính là trung điểm T. Đó là lí do đường trung bình xuất hiện.
Nếu AB=AC, các điểm A,H,M,O,T nằm trên cùng trục đối xứng. Vì trực tâm nằm trong tam giác nhọn, H nằm trong đoạn AM. Trên tia MA, ta có MO=MA/2,MT=MH/2, nên OT=MO-MT=(MA-MH)/2=AH/2. Nhưng không dùng “đường trung bình của tam giác AHM” vì tam giác ấy suy biến, và không gọi hai đường trùng nhau là hai đường song song phân biệt.
Ví dụ A=(0,3),B=(-2,0),C=(2,0) là một tam giác nhọn cân. Khi đó H=(0,4/3),O=(0,5/6),M=(0,-4/3),T=(0,0). Các điểm đúng là thẳng hàng, và OT=5/6=AH/2. Việc tách trường hợp làm rõ phạm vi của định lí, dù kết quả độ dài không thay đổi.
6. Tự chọn điểm phụ theo mục tiêu
Một điểm phụ nên được chọn vì nó tạo một quan hệ có thể chứng minh. Nếu mục tiêu chứa một đoạn đi qua trực tâm, hãy nhìn xem đoạn ấy vuông góc với cạnh nào. Một đường kính có thể tạo một dây cung cũng vuông góc với cạnh đó, rồi mở ra hình bình hành. Nếu mục tiêu là đồng viên, hãy tìm hai góc vuông cùng nhìn một đoạn có hai đầu mút xác định.
Chuyển giao độc lập: đổi đỉnh mà không chép nguyên lời giải
Trong một tam giác nhọn UVW có trực tâm H, lấy T đối diện U trên đường tròn ngoại tiếp bán kính R. Dự đoán đoạn nào bằng VH.
Vì UT là đường kính, VT\perp UV và WT\perp UW. Mặt khác WH\perp UV, VH\perp UW. Suy ra VHWT là hình bình hành, nên VH=WT. Tam giác UWT vuông tại W, nên UW^2+VH^2=4R^2. Nếu biết R=13/2, UW=12, ta được VH=5. Điều kiện tam giác nhọn bảo đảm các đoạn và tứ giác dùng trong lập luận không bị co lại.
Cuối cùng, hãy thử bỏ một giả thiết để xem bước nào hỏng: nếu góc tam giác trở thành góc vuông, trực tâm trùng đỉnh; nếu hai điểm nhìn dây trùng nhau, chỉ còn ba điểm phân biệt; nếu tam giác trong định lí đường trung bình thẳng hàng, phải thay cách lập luận. Kiểm tra như vậy giúp hiểu định lí sâu hơn việc nhớ riêng một hình vẽ.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu