Cùng chu vi, khác diện tích: hình chữ nhật trong nửa đường tròn
Tìm đủ kích thước theo chu vi cho trước, kiểm tra nghiệm suy biến và so sánh hai hình để phân biệt mục tiêu diện tích với mục tiêu chu vi.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Cùng chu vi, khác diện tích: hình chữ nhật trong nửa đường tròn
Tìm đủ kích thước theo chu vi cho trước, kiểm tra nghiệm suy biến và so sánh hai hình để phân biệt mục tiêu diện tích với mục tiêu chu vi.
01. Một hình có hai đại lượng cần tối ưu
Trong một nửa hình tròn, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất chưa chắc có chu vi lớn nhất. Ngay cả khi biết chu vi chính xác, kích thước và diện tích vẫn có thể chưa được xác định duy nhất.
Cho nửa hình tròn tâm O, bán kính R>0. Hình chữ nhật không suy biến ABCD có đáy AB trên đường kính, hai đỉnh trên C,D nằm trên cung bán nguyệt. Các đỉnh được ghi theo thứ tự: A dưới trái, B dưới phải, C trên phải, D trên trái.
Mục tiêu chính: tìm đủ các hình chữ nhật ứng với một chu vi cho trước, loại đúng nghiệm suy biến, và so sánh diện tích khi có hai thiết kế.
02. Vì sao chỉ cần hai kích thước trên một đường tròn?
Đặt O=(0,0), đường kính nằm trên trục ngang, nửa hình tròn ở phía y\ge0. Hai đỉnh trên của hình chữ nhật có cùng độ cao h>0. Gọi hoành độ của chúng là u<v. Vì cùng thuộc đường tròn,
u^2+h^2=R^2=v^2+h^2
\Rightarrow(v-u)(v+u)=0.
Do v-u>0, phải có v=-u. Đặt x=v>0, ta có
A=(-x,0),\quad B=(x,0),\quad C=(x,h),\quad D=(-x,h),
\boxed{x^2+h^2=R^2,\qquad x>0,h>0}.
Đặc biệt, O là trung điểm AB, đáy AB=2x, chiều cao BC=h. Ta không tự giả sử hình đối xứng; tính đối xứng đã được suy ra từ hai đỉnh trên cùng một cung.
Chiều đảo cũng đúng: mỗi cặp x,h>0 thỏa hệ thức ấy dựng được một hình chữ nhật như trên. Mọi điểm trong hình có |X|\le x, 0\le Y\le h, nên X^2+Y^2\le x^2+h^2=R^2; vì thế toàn bộ hình chữ nhật nằm trong nửa hình tròn. Các điều kiện này mô tả đúng mọi thiết kế được phép.
03. Diện tích và chu vi chọn hai tỉ lệ khác nhau
Diện tích là S=2xh. Từ (x-h)^2\ge0,
R^2-S=x^2+h^2-2xh=(x-h)^2\ge0.
Vậy S\le R^2, đạt duy nhất khi x=h=R/\sqrt2. Khi ấy tỉ lệ đáy trên chiều cao là AB:BC=2:1.
Đây là câu hỏi được chọn từ bài nguồn với R=20 cm. Ta có đáy tối ưu AB=20\sqrt2 cm, chiều cao BC=10\sqrt2 cm, diện tích lớn nhất 400\ \mathrm{cm}^2. Hai kích thước đều dương, hai đỉnh trên thật sự nằm trên cung, nên cận được đạt.
Nếu đổi sang chu vi lớn nhất
Chu vi là P=2(2x+h). Đặt nửa chu vi q=P/2=2x+h. Khai triển cho
5R^2-q^2=5(x^2+h^2)-(2x+h)^2=(x-2h)^2\ge0.
Do q>0, suy ra P\le2R\sqrt5, dấu bằng đúng khi x=2h. Kết hợp đường tròn:
x=\frac{2R}{\sqrt5},\qquad h=\frac R{\sqrt5}.
Thiết kế này có tỉ lệ đáy trên chiều cao 4:1, diện tích 4R^2/5, nhỏ hơn R^2. Hai mục tiêu không chọn cùng một hình. Cả hai dấu bằng đều đã cho một bộ kích thước hợp lệ và duy nhất.
04. Giữ chu vi và giải ngược kích thước
Cho nửa chu vi q>0. Từ h=q-2x và x^2+h^2=R^2, ta được
5x^2-4qx+q^2-R^2=0.
Đặt d=\sqrt{5R^2-q^2}, nếu biểu thức dưới căn không âm. Hai cặp ứng viên là
(x_1,h_1)=\left(\frac{2q-d}{5},\frac{q+2d}{5}\right),
(x_2,h_2)=\left(\frac{2q+d}{5},\frac{q-2d}{5}\right).
Hai cặp đều thỏa 2x+h=q, x^2+h^2=R^2, nhưng còn phải kiểm tra x,h>0. Nghiệm âm của chiều cao không thuộc nửa hình tròn trên; nghiệm bằng 0 tạo hình suy biến.
Trước khi xét các nhánh, mọi thiết kế hợp lệ đều có
q^2-R^2=3x^2+4xh>0,
nên q>R. Cùng với cận chu vi ở mục 03, miền cần thiết là R<q\le R\sqrt5.
Nhánh thứ nhất
Với R<q\le R\sqrt5, h_1>0. Điều kiện x_1>0 tương đương 2q>d. Hai vế không âm, nên bình phương giữ tương đương:
4q^2>5R^2-q^2\iff q^2>R^2\iff q>R.
Vậy nhánh thứ nhất luôn hợp lệ trong miền ấy. Nhờ h_1>0 và hệ thức đường tròn, tự có x_1<R.
Nhánh thứ hai
Ở nhánh này x_2>0, nhưng h_2>0 cần q>2d. Bình phương hai vế không âm:
q^2>4(5R^2-q^2)\iff q^2>4R^2\iff q>2R.
Điều kiện vừa cần vừa đủ. Nếu đúng, cặp x_2,h_2 dựng được hình chữ nhật theo chiều đảo ở mục 02. Như vậy các nghiệm đại số đã được lọc hoàn toàn.
05. Không, một hay hai hình chữ nhật?
- Nếu q\le R hoặc q>R\sqrt5, không có hình không suy biến.
- Nếu R<q\le2R, chỉ có nhánh thứ nhất, nên đúng một bộ kích thước.
- Nếu 2R<q<R\sqrt5, hai nhánh đều hợp lệ và d>0, nên có đúng hai bộ kích thước khác nhau.
- Nếu q=R\sqrt5, d=0, hai nhánh trùng nhau, nên chỉ có một thiết kế, cũng là thiết kế có chu vi lớn nhất.
Ở q=2R, nhánh thứ hai cho (x,h)=(R,0), bị loại; nhánh thứ nhất vẫn cho (3R/5,4R/5), hợp lệ. Không được loại cả một mức chu vi chỉ vì một ứng viên chạm biên.
Miền chu vi chính xác là (2R,2R\sqrt5], vì nhánh thứ nhất dựng được hình cho mọi q trong miền đã nêu. Không có chu vi nhỏ nhất: đầu 2R không đạt, và mọi nửa chu vi q>R đều có thể giảm xuống (q+R)/2>R, vẫn dựng được. Chu vi lớn nhất được đạt tại đầu trên.
06. Trong hai hình cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn?
Xét 2R<q<R\sqrt5, nên q,d>0. Cặp thứ nhất có x_1<x_2, h_1>h_2: nó hẹp hơn nhưng cao hơn. So sánh diện tích bằng phép tính chính xác:
S_1-S_2=2x_1h_1-2x_2h_2
=\frac2{25}\bigl[(2q-d)(q+2d)-(2q+d)(q-2d)\bigr]
=\frac{12qd}{25}>0.
Vậy trong hai thiết kế có cùng chu vi ấy, nhánh thứ nhất luôn có diện tích lớn hơn. Chỉ ở chu vi lớn nhất, d=0, hai thiết kế mới trùng nhau.
Hai hình trong nửa hình tròn nguồn có cùng chu vi
Hình diện tích lớn nhất của nguồn có chu vi P=60\sqrt2 cm, nên q=30\sqrt2. Với R=20, ta có 2R<q<R\sqrt5, bởi 1600<1800<2000. Do đó có hai thiết kế.
Cặp thứ nhất có đáy 20\sqrt2, chiều cao 10\sqrt2, diện tích 400. Cặp thứ hai có đáy 28\sqrt2, chiều cao 2\sqrt2, diện tích 112. Cùng cộng đáy và chiều cao được 30\sqrt2, nên hai chu vi thật sự bằng nhau. Với cặp thứ hai, nửa đáy là 14\sqrt2, và (14\sqrt2)^2+(2\sqrt2)^2=400, xác nhận hai đỉnh trên thuộc đúng cung.
Hai hình dùng cùng tỉ lệ 5 điểm ảnh cho một cm, cùng bán kính 20 cm. Các diện tích ghi bằng \mathrm{cm}^2. Hình dưới có đáy gần cả đường kính nhưng chiều cao nhỏ, nên diện tích giảm mạnh dù chu vi giữ nguyên.
Đẳng thức chu vi chỉ giữ tổng 2x+h, không giữ tích 2xh. Đây là lí do phải nêu đúng đại lượng cần tối ưu hoặc cần khôi phục trước khi sử dụng một kết quả cực trị.
07. Tự kiểm tra
Thử 1. Với R=5, có hình chữ nhật nào có chu vi 20 không? Nếu có, bao nhiêu hình?
Xem lời giải và biên bị loại
q=10=2R, nên chỉ có một hình. Nhánh hợp lệ cho x=3,h=4, tức đáy 6, chiều cao 4, chu vi 20, diện tích 24. Nhánh còn lại cho x=5,h=0, bị loại.
Thử 2. Với R=5, hình có diện tích lớn nhất và hình có chu vi lớn nhất có cùng kích thước không?
Xem lời giải
Diện tích lớn nhất 25 đạt tại x=h=5/\sqrt2, đáy 5\sqrt2. Chu vi lớn nhất 10\sqrt5 đạt tại x=2\sqrt5,h=\sqrt5, đáy 4\sqrt5, diện tích 20. Hai tỉ lệ đáy trên chiều cao là 2:1 và 4:1, nên khác nhau.
Thử 3. Nếu chỉ biết một chu vi nằm nghiêm ngặt giữa 4R và 2R\sqrt5, thêm dữ kiện gì sẽ chọn được hình có diện tích lớn hơn?
Xem lời giải
Có đúng hai thiết kế. Có thể thêm điều kiện h>q/5. Vì d>0, chỉ nhánh h_1=(q+2d)/5 thỏa điều kiện ấy, còn h_2<q/5. Đây là thiết kế có chiều cao lớn hơn; hiệu diện tích đã chứng minh là 12qd/25>0. Nếu chỉ nhắc lại chu vi hoặc bán kính, ta chưa thêm thông tin để phân biệt hai nhánh.
Thử 4. Có thể cho phép h=0 để kết luận chu vi nhỏ nhất của hình chữ nhật không suy biến không?
Xem lời giải
Không. h=0 làm mất một kích thước, không thuộc mô hình. Hơn nữa ở biên ấy x=R, chu vi hình thức là 4R, trong khi cận dưới của chu vi không suy biến là 2R, ứng với x tiến về 0, h tiến về R. Phải phân biệt hai đầu của miền và không biến một hình suy biến thành nghiệm hợp lệ.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện