Tiếp tuyến, lực của điểm và đường song song ẩn trong hình tròn
Chuyên đề Toán 9 vào lớp 10: tứ giác nội tiếp, lực của điểm, dây tiếp điểm, đồng dạng và chứng minh song song trong một cấu hình nhiều tầng.
LUKATO · THCS · Toán 9 · Chuyên đề vào lớp 10
Tiếp tuyến, lực của điểm và đường song song ẩn trong hình tròn
Một bài hình học nhiều tầng: từ hai tiếp tuyến dựng tứ giác nội tiếp, nối hai hệ thức tích, chứng minh hai tam giác đồng dạng rồi khóa đích bằng góc chắn cùng cung.
Hình học đường tròn Tiếp tuyến · Cát tuyến · Đồng dạng 1 bài gốc + 5 bài chuyển giao
Mục tiêu thực chiến
01 Đọc đúng cấu hình và không dùng trước điều cần chứng minh.
02 Tự tạo hai đẳng thức SA^2=SC\cdot SD và SA^2=SI\cdot SO.
03 Biến đẳng thức tích thành đồng dạng rồi thành SO\parallel BM.
Hãy tự vẽ hình một lần trước khi đọc lời giải. Với hình học, một hình đúng quan hệ quan trọng hơn một hình đẹp nhưng sai vị trí.
01 Đề gốc và cấu hình đúng
Bài toán
Cho đường tròn (O;R) và điểm S nằm ngoài đường tròn. Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA,SB với đường tròn, A,B là các tiếp điểm. Kẻ đường kính BD. Đường thẳng SD cắt đường tròn tại điểm thứ hai C, C\ne D. Gọi I=SO\cap AB. Tia CI cắt đường tròn tại điểm thứ hai M.
a) Chứng minh OASB nội tiếp. b) Chứng minh \triangle SCI\sim\triangle SOD và SO\parallel BM.
Hình được dựng từ một cấu hình thỏa đúng các điều kiện. Trên hình SO và BM đã hiện ra song song để định hướng mắt nhìn; trong chứng minh, tuyệt đối không được lấy điều đó làm giả thiết.
Quan hệ có ngay
OA\perp SA,\;OB\perp SB; B,O,D thẳng hàng; S,C,D thẳng hàng; S,I,O thẳng hàng; C,I,M thẳng hàng.
Quan hệ phải chứng minh
SO\perp AB, SA^2=SI\cdot SO, \triangle SCI\sim\triangle SOD, SO\parallel BM.
02 Câu a: hai góc vuông cùng nhìn đoạn SO
Vì bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm:
\angle SAO=\angle SBO=90^\circ.
Do đó A và B cùng nằm trên đường tròn có đường kính SO. Suy ra S,A,O,B đồng viên, hay tứ giác OASB nội tiếp.
Cách trình bày sạch
Không cần kéo dài. Chỉ cần nêu đúng “bán kính vuông góc tiếp tuyến” và “góc nội tiếp chắn đường kính”.
03 Hai chiếc cầu tích cùng đi qua SA^2
Cầu thứ nhất: tiếp tuyến - cát tuyến
Từ S, SA là tiếp tuyến và SCD là cát tuyến của đường tròn (O). Theo định lý lực của điểm:
SA^2=SC\cdot SD.
Nếu chưa dùng tên định lý này, có thể chứng minh bằng đồng dạng \triangle SAC\sim\triangle SDA.
Cầu thứ hai: dây tiếp điểm AB
Ta có SA=SB và OA=OB. Vì vậy cả S và O đều cách đều A,B, nên đường thẳng SO là đường trung trực của AB:
SO\perp AB.
Do I=SO\cap AB, \angle SIA=90^\circ. Đồng thời \angle SAO=90^\circ. Hai tam giác \triangle SAI và \triangle SOA còn có góc tại S chung theo hai tia SI,SO, vì thế:
\triangle SAI\sim\triangle SOA.
Từ các cạnh tương ứng:
\frac{SI}{SA}=\frac{SA}{SO}\quad\Longrightarrow\quad SA^2=SI\cdot SO.
Nút nối
\boxed{SC\cdot SD=SI\cdot SO}.
04 Từ đẳng thức tích đến \triangle SCI\sim\triangle SOD
Từ SC\cdot SD=SI\cdot SO, chia cho SO\cdot SD>0:
\frac{SC}{SO}=\frac{SI}{SD}.
Vì S,C,D thẳng hàng và S,I,O thẳng hàng:
\angle CSI=\angle DSO.
Hai cặp cạnh kề góc đó tỉ lệ nên theo cạnh-góc-cạnh:
\boxed{\triangle SCI\sim\triangle SOD}.
Thứ tự đỉnh bắt buộc
S\leftrightarrow S,\;C\leftrightarrow O,\;I\leftrightarrow D. Vì vậy \angle SIC=\angle SDO.
Bẫy
Viết đúng tỉ số nhưng ghi sai thứ tự tam giác sẽ khiến góc tương ứng ở bước sau sai. Luôn khóa thứ tự đỉnh trước khi lấy hệ quả.
05 Khóa đích SO\parallel BM bằng cung CB
Từ đồng dạng:
\angle SIC=\angle SDO.
Trên cát tuyến từ S, thứ tự là S,C,D, nên từ đỉnh D hai tia DS và DC trùng nhau. Vì BD là đường kính, thứ tự trên đường kính là D,O,B, nên hai tia DO và DB trùng nhau. Do đó:
\angle SDO=\angle CDB.
Các điểm C,D,M,B cùng nằm trên đường tròn (O). Hai góc nội tiếp \angle CDB và \angle CMB cùng chắn cung CB, nên:
\angle CDB=\angle CMB.
Suy ra \angle SIC=\angle CMB. Mà SI nằm trên SO, còn IC nằm trên MC. Đây là hai góc tương ứng tạo bởi đường cắt CM với hai đường SO và BM. Vì vậy:
\boxed{SO\parallel BM}.
Chuỗi xương sống
SA^2=SC\cdot SD=SI\cdot SO; từ đó có đồng dạng; từ đồng dạng có góc; từ góc nội tiếp có song song.
06 Chuyển giao: 5 bài tự luyện và lời giải kiểm tra
Bài 1
Từ điểm P ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến PX,PY. Chứng minh OP\perp XY.
Lời giải
PX=PY, OX=OY. Hai điểm P,O đều cách đều X,Y, nên PO là đường trung trực của XY.
Bài 2
Từ P kẻ tiếp tuyến PT và cát tuyến PAB. Biết PA=4, PB=9. Tính PT.
Lời giải
PT^2=PA\cdot PB=36,\qquad PT=6.
Bài 3
Từ SC\cdot SD=SI\cdot SO, hãy tạo tỉ số đúng để dùng cạnh-góc-cạnh cho \triangle SCI và \triangle SOD.
Đáp án
\frac{SC}{SO}=\frac{SI}{SD}.
Bài 4
Vì sao \angle CDB=\angle CMB?
Đáp án
Đây là hai góc nội tiếp của cùng đường tròn và cùng chắn cung CB.
Bài 5
Không nhìn lời giải, hãy tái tạo toàn bộ câu b trong tối đa 8 dòng.
Tự kiểm: có đủ bốn mắt xích “hai tích - tỉ số - đồng dạng - góc cùng chắn cung” hay chưa?
Điều cần nhớ
Ở bài khó, đích cuối thường không hiện ra ngay. Hãy tìm một đại lượng trung gian xuất hiện ở hai định lý khác nhau. Trong bài này, đại lượng đó là SA^2.