Vi-ét cực trị phân thức: biến H thành “1 trừ một bình phương”
Chuyên đề Toán 9: dùng Vi-ét, phương trình gốc và bình phương không âm để rút gọn và tìm GTLN của phân thức chứa hai nghiệm mà không dùng đạo hàm.
LUKATO · THCS · Toán 9 · Chuyên đề vào lớp 10
Vi-ét cực trị phân thức: biến H thành “1 trừ một bình phương”
Không giải nghiệm, không đạo hàm. Ta dùng đúng ba ý: Vi-ét, phương trình mà nghiệm phải thỏa mãn, và một bình phương luôn không âm.
Đại số · Vi-ét Cực trị không đạo hàm Điều kiện · dấu bằng
Ba năng lực phải lấy được
01 Rút gọn biểu thức chứa x_1,x_2,m bằng Vi-ét mà không tìm nghiệm cụ thể.
02 Dùng chính phương trình để thay x_2^2, một thao tác nhiều học sinh bỏ sót.
03 Chứng minh cực trị bằng dạng 1-\dfrac{(\cdot)^2}{\text{số dương}} và kiểm tra dấu bằng.
01 Đề gốc: nhìn dữ kiện trước khi biến đổi
Bài toán
Cho phương trình x^2-mx-3=0, với m là tham số. Gọi x_1,x_2 là hai nghiệm phân biệt. Tìm m để
H=\frac{2(x_1+x_2)+5}{x_2^2+mx_1-x_1x_2}
đạt giá trị lớn nhất.
Đừng lao vào công thức nghiệm. Đề đã cho một biểu thức đối xứng một phần : tử chỉ chứa x_1+x_2, còn mẫu có x_2^2 khiến ta tưởng phải biết riêng x_2. Đây chính là nút cần tháo.
Vi-ét cho ngay
x_1+x_2=m,\quad x_1x_2=-3.
Điều kiện nghiệm
\Delta=m^2+12>0 với mọi m\in\mathbb R. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
Dự đoán: nếu mẫu có x_2^2, câu hỏi đầu tiên phải là “x_2 có thỏa phương trình gốc không?”
02 Mấu chốt: nghiệm là thứ có quyền thay vào phương trình
Vì x_2 là nghiệm của x^2-mx-3=0, ta có:
x_2^2-mx_2-3=0\quad\Longrightarrow\quad x_2^2=mx_2+3.
Thay vào mẫu:
\begin{aligned}
D&=x_2^2+mx_1-x_1x_2\\
&=(mx_2+3)+mx_1-x_1x_2\\
&=m(x_1+x_2)+3-x_1x_2.
\end{aligned}
Bây giờ mọi thứ đã trở thành tổng và tích của hai nghiệm. Dùng Vi-ét:
D=m\cdot m+3-(-3)=m^2+6.
Kiểm tra miền xác định
m^2+6>0 với mọi m\in\mathbb R. Vì vậy mẫu không bao giờ bằng 0; không có giá trị tham số nào bị loại ở bước này.
Bẫy
Không được thay x_2^2=mx_2+3 thành mx_1+3. Chỉ số của nghiệm phải được giữ đúng cho đến khi gom bằng x_1+x_2.
03 Rút H về một biến duy nhất
Tử số:
2(x_1+x_2)+5=2m+5.
Do đó:
\boxed{H=\frac{2m+5}{m^2+6}}.
Từ đây bài toán không còn là bài “nghiệm của phương trình” nữa. Nó trở thành bài tìm cực trị của một phân thức theo m.
Đích không phải là “tính H”, mà là đưa H về dạng nhìn thấy ngay cận trên.
04 Cực trị không đạo hàm: vì sao lại so với 1?
Ta thử so H với 1 vì tử và mẫu có thể tạo ra một bình phương hoàn chỉnh:
\begin{aligned}
H-1
&=\frac{2m+5}{m^2+6}-1\\
&=\frac{2m+5-m^2-6}{m^2+6}\\
&=-\frac{m^2-2m+1}{m^2+6}\\
&=-\frac{(m-1)^2}{m^2+6}.
\end{aligned}
Vì (m-1)^2\ge0 và m^2+6>0, nên
H-1\le0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{H\le1}.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
(m-1)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad m=1.
Kết luận hoàn chỉnh
Giá trị lớn nhất của H là \boxed{1}, đạt được khi \boxed{m=1}.
05 Tại sao lời giải này mạnh hơn công thức nghiệm?
Nếu giải từng nghiệm
x_{1,2}=\dfrac{m\pm\sqrt{m^2+12}}2. Mẫu chứa căn, rất dễ sai dấu và khó nhìn ra cực trị.
Nếu dùng cấu trúc
Chỉ cần Vi-ét và x_2^2=mx_2+3. Căn biến mất hoàn toàn, cực trị hiện ra bằng một bình phương.
Ba câu hỏi chiến lược
1. Biểu thức có tổng/tích nghiệm không? Nếu có, nghĩ Vi-ét.
2. Có x_i^2 đơn lẻ không? Nếu có, nghĩ “nghiệm thỏa phương trình”.
3. Sau khi còn một biến, có thể so với một hằng số để tạo bình phương không?
06 Chuyển giao: tự luyện từ gần đến xa
Bài 1
Cho x^2-mx-2=0 có hai nghiệm x_1,x_2. Rút gọn A=x_2^2+mx_1-x_1x_2.
Đáp án
x_1+x_2=m,\;x_1x_2=-2,\;x_2^2=mx_2+2. Suy ra A=m^2+4.
Bài 2
Tìm giá trị lớn nhất của F=\dfrac{2m+3}{m^2+4}.
Lời giải
So với 1: F-1=\dfrac{2m+3-(m^2+4)}{m^2+4}=-\dfrac{(m-1)^2}{m^2+4}\le0. Vì m^2+4>0, suy ra F\le1. Dấu bằng xảy ra khi m-1)^2=0, tức m=1. Vậy GTLN của F là 1, đạt tại m=1.
Bài 3
Với bài gốc, kiểm tra trực tiếp tại m=1: phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt không và H có đúng bằng 1 không?
x^2-x-3=0,\qquad \Delta=13>0,\qquad H=\frac{7}{7}=1.
Bài 4 · bẫy điều kiện
Nếu mẫu sau rút gọn là m^2-4, trước khi tìm cực trị phải bổ sung điều kiện gì?
Đáp án
m\ne2,\;m\ne-2. Cực trị chỉ được xét trên miền xác định.
Tự kiểm: em có thể giải thích vì sao “dấu bằng xảy ra” là một phần bắt buộc của bài cực trị, không phải câu trang trí?
Công thức nhớ cuối cùng
Vi-ét không chỉ là S,P. Kĩ năng mạnh hơn là biến mọi biểu thức nghiệm về S,P, dùng phương trình gốc để hạ bậc, rồi kiểm tra miền xác định và điều kiện dấu bằng.