Đổi năng suất đúng lúc: thời gian tiết kiệm và giới hạn khả thi
Tách phần việc còn lại, chứng minh giới hạn của việc tăng năng suất và tính thời điểm thay đổi khi có thời gian dừng hoặc mục tiêu hoàn thành sớm.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Đổi năng suất đúng lúc: thời gian tiết kiệm và giới hạn khả thi
Tách phần việc còn lại, chứng minh giới hạn của việc tăng năng suất và tính thời điểm thay đổi khi có thời gian dừng hoặc mục tiêu hoàn thành sớm.
1. Tăng năng suất có thể tiết kiệm được bao nhiêu thời gian?
Một thay đổi chỉ tác động tới phần việc chưa làm. Nếu đã gần hoàn thành đơn hàng, tăng năng suất rất mạnh cũng không thể lấy lại thời gian đã dùng trước đó. Nếu việc điều chỉnh còn đòi hỏi dừng sản xuất, thời gian tiết kiệm được phải bù được cả khoảng dừng ấy.
Bài học này dùng quan hệ khối lượng, năng suất và thời gian để trả lời ba câu hỏi: thay đổi tạo ra bao nhiêu thời gian tiết kiệm; một mục tiêu hoàn thành sớm có khả thi không; và phải thay đổi chậm nhất lúc nào. Phương trình cụ thể là một ví dụ kiểm chứng của mô hình tổng quát.
Ta xét năng suất không đổi trong từng giai đoạn, công việc làm liên tục và khối lượng có thể chia theo thời gian thực. Nếu sản phẩm phải hoàn thành theo lô hoặc thời gian chỉ được tính trọn ngày, cần thêm quy tắc làm tròn của chính mô hình đó; không tự làm tròn mỗi thương trong một phương trình thời gian.
2. Phần thời gian không đổi tự triệt tiêu
Gọi Q>0 là tổng khối lượng công việc, r>0 là năng suất ban đầu. Sau khi đã làm S đơn vị, với 0\le S<Q, năng suất tăng thêm c>0, thành r+c. Đặt W=Q-S>0, là phần còn lại.
Nếu giữ kế hoạch cũ, tổng thời gian là T_0=Q/r. Khi đổi năng suất mà không mất thời gian điều chỉnh, tổng mới là
T_1=\frac Sr+\frac W{r+c}.
Định nghĩa thời gian tiết kiệm D=T_0-T_1. Vì Q=S+W:
D=\frac{S+W}{r}-\left(\frac Sr+\frac W{r+c}\right)=\frac Wr-\frac W{r+c},\boxed{D=\frac{Wc}{r(r+c)}}.
Các mẫu dương nên D>0. Phần S/r triệt tiêu vì hai phương án giống nhau trước thời điểm đổi. Do đó không cần lập một phương trình dài cho toàn bộ công việc nếu đã nhận ra phần chung ấy.
Đơn vị cũng xác nhận công thức: W/r và W/(r+c) đều là thời gian; không thể trừ trực tiếp một số sản phẩm cho một số ngày. Khi năng suất cho theo ngày, thời gian tiết kiệm phải được đổi về ngày trước khi lập phương trình.
Tỉ lệ thời gian tiết kiệm trên chính phần việc còn lại là D/(W/r)=c/(r+c). Nó khác tỉ lệ tăng năng suất c/r.
Ví dụ tăng từ 30 lên 40 bộ/ngày là tăng 1/3 năng suất. Thời gian làm cùng một phần việc giảm 1-30/40=1/4, không phải giảm 1/3. Hai phần trăm dùng hai đại lượng gốc khác nhau.
3. Ví dụ chọn lọc: hai giai đoạn của đơn hàng đồng phục
Một cơ sở nhận may 480 bộ đồng phục. Kế hoạch ban đầu có năng suất không đổi. Sau khi may được 120 bộ theo kế hoạch, cơ sở tăng năng suất thêm 10 bộ/ngày và hoàn thành sớm hơn 3 ngày. Trong tình huống này không tính thêm thời gian dừng để điều chỉnh. Tìm năng suất ban đầu.
Gọi năng suất ấy là r>0, đơn vị bộ/ngày. Phần được hưởng năng suất mới là W=480-120=360 bộ. Công thức thời gian tiết kiệm cho
\frac{360\cdot10}{r(r+10)}=3.
Vì r(r+10)>0, nhân hai vế với mẫu giữ nguyên tập nghiệm trong miền r>0:
r(r+10)=1200\iff r^2+10r-1200=0\iff(r-30)(r+40)=0.
Chỉ r=30 hợp lệ. Nghiệm -40 không mô tả một năng suất dương; không thể nhận nó rồi giải thích bằng thời gian âm.
Kiểm tra trực tiếp: kế hoạch cần 480/30=16 ngày; giai đoạn đầu cần 120/30=4 ngày; giai đoạn sau cần 360/40=9 ngày. Tổng mới 13 ngày, sớm đúng 3 ngày. Các khối lượng và số ngày trong ví dụ này đều nguyên nên phù hợp cả với việc sản phẩm là từng bộ hoàn chỉnh.
Nếu dùng 480/40 làm toàn bộ thời gian thực tế, ta đã giả định năng suất tăng ngay từ đầu. Đó là một kế hoạch khác, vì 120 bộ đầu của dữ kiện vẫn được may với năng suất cũ.
Các thanh cùng tỉ lệ 14 pixel cho một ngày. Khoảng viền đứt là ba ngày được tiết kiệm trong ví dụ nguồn. Dòng cuối là mô hình mới có thêm một ngày dừng.
4. Một cận thời gian không thể đạt bằng năng suất hữu hạn
Giữ W,r cố định, cho phép chọn mức tăng c>0. Vì W/(r+c)>0, công thức ở trên cho
0<D<\frac Wr.
Không thể tiết kiệm hết thời gian cũ của phần còn lại: với năng suất mới hữu hạn, vẫn cần một khoảng thời gian dương để làm phần việc đó. Trong ví dụ W=360,r=30, cận là 12 ngày; không có mức tăng hữu hạn nào cho tiết kiệm đúng 12 ngày.
Để biết có thể đạt mọi mục tiêu nằm dưới cận hay không, chọn d thỏa 0<d<W/r và giải D=d:
\frac{Wc}{r(r+c)}=d\iff (W-rd)c=r^2d,\boxed{c=\frac{r^2d}{W-rd}>0}.
Mẫu dương đúng nhờ điều kiện d<W/r. Thế lại công thức xác nhận tiết kiệm đúng d, nên chiều đảo đã được chứng minh. Tập thời gian tiết kiệm là toàn bộ khoảng mở (0,W/r).
Nếu d=W/r, phương trình rút thành 0=r^2d>0, vô nghiệm. Nếu d>W/r, công thức sẽ cho c<0, trái điều kiện tăng năng suất. Không được coi một giá trị âm là lời giải cho cùng mô hình.
5. Tăng tiếp vẫn có lợi, nhưng phần lợi thêm nhỏ dần
Với 0<c_1<c_2, dùng dạng D(c)=W/r-W/(r+c):
D(c_2)-D(c_1)=\frac{W(c_2-c_1)}{(r+c_1)(r+c_2)}>0.
Vì vậy năng suất tăng nhiều hơn luôn làm tiết kiệm thời gian nhiều hơn trong mô hình này. Nhưng không theo tỉ lệ thuận: gấp đôi mức tăng không buộc thời gian tiết kiệm gấp đôi.
Thêm cùng một lượng năng suất a>0 từ mức tăng c, phần thời gian được lợi thêm là
D(c+a)-D(c)=\frac{Wa}{(r+c)(r+c+a)}.
Khi c lớn hơn, hai thừa số dương ở mẫu đều lớn hơn, nên phần lợi thêm giảm. Đây là một kết luận đại số, không cần dùng đạo hàm.
Với W=360,r=30, tăng thêm 10 cho tiết kiệm 3 ngày; tăng thêm 20 cho tiết kiệm 360/30-360/50=24/5 ngày. Mức tăng gấp đôi nhưng 24/5<6. Tăng từ 20 lên 30 chỉ cho thêm 6-24/5=6/5 ngày, ít hơn phần thêm 24/5-3=9/5 ngày khi đi từ 10 lên 20.
6. Khi việc điều chỉnh cần một khoảng dừng
Đổi mô hình: sau khi hoàn thành S, cơ sở dừng \tau\ge0 ngày để điều chỉnh, không tạo sản phẩm trong khoảng ấy; rồi làm phần còn lại với năng suất r+c. Khi đó
T_2=\frac Sr+\tau+\frac W{r+c},\qquad D_{\mathrm{net}}=T_0-T_2=\frac{Wc}{r(r+c)}-\tau.
Giá trị dương nghĩa là hoàn thành sớm; bằng không là đúng kế hoạch cũ; âm là hoàn thành muộn. Thời gian được lợi do tăng năng suất và thời gian dừng là hai khoản khác nhau.
Với các số của ví dụ và \tau=1, tổng mới là 4+1+9=14 ngày, chỉ sớm 2 ngày. Nếu \tau=3, hoàn thành đúng 16 ngày. Nếu \tau>3, kế hoạch có tăng năng suất vẫn kết thúc muộn hơn kế hoạch cũ.
Giữ thời điểm đổi và năng suất ban đầu, muốn sớm ít nhất d>0 ngày thì phải có
\frac{Wc}{r(r+c)}\ge d+\tau.
Đặt s=d+\tau>0. Một mức tăng hữu hạn đáp ứng được khi và chỉ khi
s<\frac Wr.
Chiều cần do phần tiết kiệm trước khi trừ khoảng dừng luôn nhỏ hơn W/r. Chiều đủ: khi điều kiện ấy đúng, biến đổi với các mẫu dương cho tiêu chuẩn chính xác
\boxed{c\ge\frac{r^2s}{W-rs}}.
Dấu bằng được phép và đạt đúng mục tiêu. Nếu năng suất tăng chỉ được chọn nguyên, lấy số nguyên nhỏ nhất không dưới ngưỡng rồi kiểm các quy tắc tổ chức sản xuất khác; đó là ràng buộc bổ sung, không đổi chiều bất phương trình.
Trong ví dụ W=360,r=30,\tau=1,d=3, ta có s=4<12, ngưỡng c\ge900\cdot4/(360-120)=15. Chọn tăng 15, tổng thời gian 4+1+360/45=13 ngày, sớm đúng 3 ngày. Nếu thiết bị chỉ cho tăng tối đa 12, mục tiêu không thực hiện được: mức tốt nhất cho D_{\mathrm{net}}=17/7<3 ngày.
7. Đổi chậm nhất lúc nào?
Bây giờ giữ Q,r,c,\tau, cho phép chọn lượng đã làm S trước khi đổi. Để hoàn thành sớm ít nhất d>0, ta cần
\frac{(Q-S)c}{r(r+c)}-\tau\ge d.
Vì c,r,r+c đều dương:
\boxed{S\le Q-\frac{r(r+c)(d+\tau)}c}.
Đặt vế phải là S_*. Cần ghép với miền 0\le S<Q. Nếu S_*<0, ngay cả thay đổi từ đầu cũng không đủ. Nếu S_*=0, chỉ được đổi ngay từ đầu. Nếu 0<S_*<Q, những thời điểm hợp lệ chính xác là 0\le S\le S_*. Vì d+\tau>0, vế phải luôn nhỏ hơn Q; không có trường hợp một lượng còn lại bằng không mà vẫn đạt mục tiêu dương.
Với Q=480,r=30,c=10,\tau=1,d=3, ta được S_*=0. Nếu giữ mức tăng mười bộ/ngày và mất một ngày điều chỉnh, muốn sớm ba ngày thì phải điều chỉnh trước khi làm bộ đầu tiên: 1+480/40=13 ngày. Chờ đến khi làm 120 bộ đã quá muộn cho mục tiêu ấy.
Nếu chỉ yêu cầu sớm 2 ngày, cùng dữ kiện cho S_*=120. Đổi tại đúng S=120 đạt dấu bằng, còn đổi sớm hơn tiết kiệm nhiều hơn. Khi lượng sản phẩm đã làm phải nguyên, chọn các số nguyên trong đoạn hợp lệ; nếu ngưỡng không nguyên, không làm tròn lên rồi nhận một thời điểm muộn hơn giới hạn.
8. Tự kiểm tra mô hình và các đầu mút
Nếu không còn phần việc nào, tăng năng suất có giúp hoàn thành sớm không?
Khi S=Q, W=0: công việc đã hoàn thành. Không còn thời gian sản xuất nào để tiết kiệm. Các công thức giải ngược dựa trên W>0 không áp dụng. Nếu lại cộng một khoảng dừng sau khi đã hoàn thành, khoảng ấy không thuộc thời gian hoàn thành đơn hàng.
Giữ r bằng ba mươi, còn ba trăm sáu mươi bộ, không dừng. Muốn tiết kiệm sáu ngày cần tăng bao nhiêu?
0<6<12, nên khả thi. Công thức cho c=900\cdot6/(360-180)=30. Năng suất mới 60 bộ/ngày, phần còn lại mất 6 ngày thay vì 12, đúng yêu cầu.
Vì sao tăng năng suất ngay từ đầu không cho cùng phương trình với ví dụ nguồn?
Khi đổi ngay, S=0 và W=480, nên không dừng thì thời gian tiết kiệm là 4800/[r(r+10)]. Ví dụ nguồn có W=360, nên tử là 3600. Thay thời điểm đổi đã thay khối lượng hưởng năng suất mới.
Nếu mức tăng có thể bằng không, cận nào được thêm vào?
Với c=0, không dừng và W>0, thời gian tiết kiệm bằng không. Khi cho c\ge0, tập giá trị là [0,W/r); cận trên vẫn không đạt với năng suất hữu hạn. Nếu có khoảng dừng thật sự \tau, tại c=0 mô hình cho D_{\mathrm{net}}=-\tau, tức chỉ mất thời gian mà không đổi năng suất.
Muốn quyết định về một thay đổi, hãy xác định phần việc còn lại, các khoảng dừng, miền năng suất và mục tiêu “đúng bằng” hay “ít nhất”. Sau khi giải, kiểm lại thời gian từng giai đoạn và khả năng đạt ngưỡng trong miền cho phép.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện