Tích hai đoạn không đổi: tìm tam giác vuông ẩn sau ba tiếp tuyến
Chứng minh hệ thức đường cao, tạo góc vuông từ phân giác và tìm tích không đổi. Phân biệt tích với tổng; chứng minh giá trị nhỏ nhất, điều kiện dấu bằng và…
TOÁN 9 · ĐỒNG DẠNG VÀ TÍCH KHÔNG ĐỔI
Tích hai đoạn không đổi: tìm tam giác vuông ẩn sau ba tiếp tuyến
Khi một điểm chạy trên đường tròn, nhiều độ dài thay đổi cùng lúc. Thay vì đo từng vị trí, ta tìm một quan hệ buộc các độ dài thay đổi cùng nhau. Chuyên đề này bắt đầu từ đường cao của tam giác vuông, rồi dùng nó để giải thích một tích không đổi và một giá trị nhỏ nhất.
Mục tiêu: tự chứng minh hệ thức đường cao bằng đồng dạng; nhận ra hai phân giác của hai góc kề bù; dùng tiếp tuyến để đổi tên đoạn; phân biệt tích không đổi với tổng không đổi; kiểm điều kiện và dấu bằng.
Cần biết: tam giác đồng dạng, hai tiếp tuyến từ một điểm, phân giác, Pythagore và bình phương không âm. Hình và ví dụ dưới đây độc lập, không cần một đề thi cụ thể.
1. Vì sao một bình phương bằng tích hai đoạn?
Cho tam giác PUQ vuông tại U. Gọi H là chân đường cao từ U xuống cạnh huyền PQ. Vì là tam giác vuông không suy biến, H nằm giữa P,Q. Đặt PH=p>0, HQ=q>0, UH=h>0.
Hai tam giác PHU và UHQ đều vuông tại H. Trong tam giác PUQ, hai góc tại P,Q phụ nhau. Mặt khác, trong tam giác UHQ, góc tại U phụ góc tại Q. Vì vậy \angle HPU=\angle HUQ, nên \triangle PHU\sim\triangle UHQ.
Viết cạnh theo đúng thứ tự tương ứng P\leftrightarrow U, H\leftrightarrow H, U\leftrightarrow Q:
\frac{PH}{UH}=\frac{UH}{HQ}\quad\Longrightarrow\quad UH^2=PH\cdot HQ,\qquad h^2=pq.
Góc PUQ vuông; H nằm giữa P và Q. Hình dùng cùng tỉ lệ 22 đơn vị hình cho một đơn vị độ dài: PH=4, HQ=9, UH=6. Hai cạnh qua U thật sự vuông góc; 6^2=4\cdot9. Đây là một minh họa số, không thay cho chứng minh tổng quát phía trên.
Trong h^2=pq, p,q là hai phần của cạnh huyền , không phải hai cạnh góc vuông. Muốn dùng hệ thức ở hình khác, phải chỉ ra đỉnh vuông, cạnh huyền và chân đường cao.
2. Hai tiếp tuyến tạo ra phân giác bằng cách nào?
Từ điểm C ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến tại hai điểm phân biệt A,M. Bán kính đến tiếp điểm vuông góc tiếp tuyến, nên \triangle OAC và \triangle OMC vuông tại A,M. Chúng có cạnh huyền OC chung và cạnh góc vuông OA=OM; do đó bằng nhau.
Từ cùng một phép chứng minh, rút ra hai điều khác nhau:
CA=CM,\qquad \angle AOC=\angle COM.
Điều thứ nhất cho phép thay một đoạn tiếp tuyến bằng đoạn kia. Điều thứ hai nói OC phân giác góc AOM nhỏ. Không kết luận “hai tiếp tuyến bằng nhau” rồi bỏ qua việc cần phân giác ở đỉnh O ; hãy nêu đúng cặp góc tương ứng.
Dự đoán. Hai góc kề nhau có tổng 180^\circ. Góc giữa hai phân giác trong của chúng bằng bao nhiêu?
Gợi ý và lập luận
Nếu hai góc là \alpha,\beta với \alpha+\beta=180^\circ, góc giữa hai phân giác trong là \alpha/2+\beta/2=90^\circ. Điều kiện “kề nhau” và “phân giác trong” xác định hai tia đang xét; hai góc bất kì chỉ có tổng bằng 180 chưa đủ mô tả vị trí hai phân giác.
3. Nửa đường tròn: lắp các công cụ thành một cấu trúc
Xét nửa đường tròn tâm O, bán kính R>0, đường kính AB. Điểm M nằm trên cung nửa đường tròn, khác A,B. Hai tiếp tuyến tại A,B và tiếp tuyến tại M tạo các giao điểm: C thuộc tiếp tuyến tại A, D thuộc tiếp tuyến tại B, còn C,M,D thẳng hàng.
Với M ở trong cung, hai giao điểm hữu hạn nằm cùng phía đường thẳng AB với nửa đường tròn và M nằm giữa C,D. Đây là thứ tự điểm sẽ dùng khi cộng CM+MD. Hình dưới biểu diễn một vị trí cụ thể, không giả sử M là trung điểm cung.
AC = 10; BD = 5/2; OM = 5. OM là đường cao của tam giác COD. Hệ tọa độ để kiểm hình: O=(0,0), A=(-5,0), B=(5,0), M=(3,4), C=(-5,10), D=(5,5/2). Phép vẽ X=350+22x, Y=340-22y giữ cùng tỉ lệ hai chiều. Đường CD thật sự vuông góc OM, không phải một nét chạm đường tròn theo cảm giác.
Từ phần 2, OC phân giác \angle AOM; OD phân giác \angle MOB. Vì hai góc này kề bù, \angle COD=90^\circ. Mặt khác, OM\perp CD do CD là tiếp tuyến tại M. Vậy trong tam giác COD vuông tại O, CD là cạnh huyền, OM là đường cao.
Áp dụng đúng cấu trúc đã chứng minh:
OM^2=CM\cdot MD.
Hai cặp tiếp tuyến cho CM=CA, MD=DB; bán kính OM=R. Do đó:
\boxed{AC\cdot BD=R^2}.
Đường đi của lập luận: tiếp tuyến cho tam giác vuông bằng nhau; tam giác bằng nhau cho phân giác; hai phân giác tạo một góc vuông mới; đường cao trong tam giác vuông mới cho tích. Mỗi bước làm một việc riêng, không có bước “nhìn hình suy ra”.
4. Bất biến không có nghĩa mọi thứ đứng yên
Đặt x=AC>0, y=BD>0. Với bán kính giữ nguyên, xy=R^2, hay y=R^2/x. Khi x tăng gấp đôi, y giảm còn một nửa. Đây là quan hệ tỉ lệ nghịch của hai độ dài, không phải tổng không đổi.
Ví dụ R=5: các cặp (x,y)=(5,5), (10,5/2), (25/2,2) đều có tích 25. Tổng lần lượt là 10; 12,5; 14,5. Chỉ đo một vài hình sẽ không chứng minh được bất biến, nhưng các cặp này giúp bác bỏ phỏng đoán sai “tổng cũng luôn bằng 10”.
Vì M nằm giữa C,D, ta còn có:
CD=CM+MD=AC+BD=x+y.
Vì sao các cặp dương nói trên có thể dựng được, không chỉ đúng đại số?
Lấy A=(-R,0), B=(R,0), C=(-R,x), D=(R,y), với x,y>0, xy=R^2. Đặt L=x+y. Điểm chân vuông góc từ O đến CD là:
M=\left(\frac{R(x-y)}{L},\frac{2R^2}{L}\right).
Thay xy=R^2 vào bình phương khoảng cách cho OM^2=R^2. Tung độ của M dương, hoành độ nằm giữa -R,R; do đó M ở trong cung trên. Công thức này chỉ là một kiểm tra dựng hình bằng số, không bắt buộc để theo chứng minh hình học.
Ví dụ R=5,x=10,y=5/2 cho đúng M=(3,4) của hình. Ngoài khoảng dương, không được giữ nguyên kết luận về cùng phía và thứ tự điểm.
Giữ M tương ứng nhưng phóng toàn bộ hình lên k>0 lần thì bán kính và mỗi độ dài tăng k lần; tích tăng k^2 lần. Từ “bất biến” ở đây chỉ có nghĩa khi R được giữ cố định, không có nghĩa bất biến dưới mọi thay đổi.
5. Từ tích cố định đến tổng nhỏ nhất
Dự đoán. Trong ba cặp số ở phần 4, tổng nhỏ nhất thuộc cặp bằng nhau. Làm sao chứng minh điều này cho mọi vị trí của M, chứ không chỉ ba ví dụ?
Gợi ý: bắt đầu bằng một bình phương không âm
(x-y)^2\ge0 cho (x+y)^2\ge4xy=4R^2. Vì x+y>0 và R>0, suy ra x+y\ge2R. Dấu bằng tương đương x=y.
Vậy CD\ge2R. Dấu bằng không chỉ là một điều kiện đại số: nó xảy ra thật khi M là điểm chính giữa cung nửa đường tròn. Khi ấy tiếp tuyến tại M song song AB, nên AC=BD=R, CD=2R.
Chu vi tứ giác theo thứ tự A,C,D,B là:
P=AC+CD+DB+BA=2(x+y)+2R\ge6R.
Với R=5, độ dài CD nhỏ nhất là 10 và chu vi nhỏ nhất là 30, cùng đạt tại cấu hình cân đối. Không kết luận diện tích hoặc mọi đại lượng khác cùng có giá trị nhỏ nhất chỉ vì chu vi nhỏ nhất; mỗi đại lượng cần một biểu thức và chứng minh riêng.
Khi M trùng A hoặc B, tiếp tuyến tại M trùng một tiếp tuyến đầu mút và song song tiếp tuyến còn lại. Hai giao điểm C,D không còn được xác định như trên. Đây là lí do loại hai đầu cung, không phải một điều kiện trang trí.
6. Tự kiểm tra và chuyển sang cấu hình mới
A. Tam giác vuông có đường cao đến cạnh huyền, chia cạnh huyền thành 2 và 8: đường cao dài bao nhiêu?
h^2=2\cdot8=16, nên h=4, chọn căn dương. Đây là hai đoạn của cạnh huyền; nếu 2 và 8 là hai cạnh góc vuông, phép tính này không dùng được.
B. Bán kính 6, một đoạn tiếp tuyến đầu mút dài 4: đoạn kia dài bao nhiêu?
Tích hai đoạn bằng 6^2=36, nên đoạn kia là 36/4=9. Kiểm tích 4\cdot9=36, đồng thời hai độ dài dương.
C. Trong câu B, CD bằng bao nhiêu? Có bằng đường kính không?
CD=4+9=13, trong khi đường kính bằng 12. Độ dài CD bằng đường kính chỉ khi hai đoạn bằng nhau, tức cùng bằng 6.
D. Với bán kính 6, một bạn đề xuất AC=3 và BD=10
Cặp này không thể thuộc cấu hình đã nêu vì tích 30 khác 36. Không cần cố vẽ một đường “có vẻ tiếp xúc” để cứu một cặp dữ kiện không tương thích.
E. Hai đoạn bằng nhau và bán kính 7: tìm mỗi đoạn và chu vi
Đặt độ dài chung là t>0. Từ t^2=49 suy ra t=7, không nhận nghiệm âm. CD=14, đường kính 14, chu vi 7+14+7+14=42.
F. Gấp ba toàn bộ hình ở câu B thì tích hai đoạn và bán kính mới là gì?
Hai đoạn mới là 12 và 27, tích 324. Bán kính mới 18, bình phương 324. Tích gấp 9 lần 36, không phải 3 lần; quan hệ với bình phương bán kính được giữ.
G. Chỉ biết CM=CA và DM=DB đã đủ suy ra tích bằng bình phương bán kính chưa?
Chưa. Còn phải tạo tam giác COD vuông tại O, nhận OM là đường cao xuống cạnh huyền và dùng OM=R. Hai cặp đoạn bằng nhau riêng lẻ chưa tạo một hệ thức tích.
H. Vì sao hình tam giác vuông ở phần 1 vẫn dùng được dù không có đường tròn?
Hệ thức h^2=pq đến từ đồng dạng trong tam giác vuông. Đường tròn ở phần 3 là cách tạo ra một tam giác vuông thích hợp và đổi tên các đoạn. Khi chuyển bài, giữ cấu trúc toán học, không bắt buộc giữ mọi chi tiết trang trí của hình cũ.
Tự kiểm chứng minh: đã ghi đúng đỉnh vuông chưa; đường cao có xuống cạnh huyền không; thứ tự điểm có cho phép cộng đoạn không; bán kính nào được giữ cố định; điều kiện dấu bằng có dựng được thật không?
Chuyên đề tự biên soạn · Từ đồng dạng đến bất biến và cực trị · Mọi nội dung, hình và lời giải nằm trong trang này