🏆 [THCS AI LUKATO Masterclass] Toán Tuyển Sinh 10 (Không Chuyên) · 7 Kỹ Thuật Cho 10 Câu Trắc Nghiệm Và 5 Bài Tự Luận Không Mất Điểm Oan
Masterclass Toán tuyển sinh 10 không chuyên (150 phút, 10 trắc nghiệm + 5 tự luận): Vi-ét cho biểu thức đối xứng, tọa độ hóa, lịch mod 7, căn thức lồng nhau…
THCS AI LUKATO · MASTERCLASS TOÁN TUYỂN SINH 10
Toán Tuyển Sinh 10 (Không Chuyên): 7 Kỹ Thuật Cho 10 Câu Trắc Nghiệm 20 Phút Và 5 Bài Tự Luận Không Mất Điểm Oan
Đề gồm 10 câu trắc nghiệm (2 điểm) và 5 bài tự luận (8 điểm) trong 150 phút. Trắc nghiệm không thưởng cho ai tính lâu mà thưởng cho ai có phản xạ đúng : biểu thức đối xứng thì dùng Vi-ét, hình có tọa độ thì đặt trục. Tự luận thưởng cho ai không bỏ bước thử lại . Bài giảng có bốn công cụ tương tác để em tự kiểm chứng.
0 Bản đồ điểm
Phần · Điểm · Nội dung · Chỗ dễ mất điểm · Kỹ thuật
Trắc nghiệm 1–10 · 2,0 · Điều kiện xác định, Vi-ét, tiếp tuyến, song song, chuỗi bằng nhau, nghiệm kép, hình tọa độ hóa, lịch · Bẫy “loại nghiệm trùng”, tính lâu, nhầm lịch · 1, 2
Tự luận 1 · 1,0 · Căn thức lồng nhau · Không viết được dạng bình phương · 3
Tự luận 2 · 1,5 · Hai phương trình bậc hai chứa tham số · Quên thử lại nghiệm m · 4
Tự luận 3 · 1,5 · Hình bình hành, diện tích tam giác · Chia diện tích sai tỉ số · 5
Tự luận 4 · 1,5 · Bài toán tỉ lệ (ghép cặp học sinh) · Lập tỉ lệ ngược · 6
Tự luận 5 · 2,5 · Hình học: trực tâm, đường tròn đường kính AH, tiếp tuyến · Chứng minh nội tiếp bằng “nhìn hình” · 7
Phát hiện Ba lỗi lặp lại của cả đề: (1) không thử lại nghiệm tham số; (2) cộng độ lớn hay đếm thủ công thay vì dùng cấu trúc đối xứng; (3) chứng minh hình học bằng góc “trông bằng nhau”. Bài giảng dạy em ba phản xạ sửa đúng từng lỗi.
Ghi chú Bài giảng dùng số liệu biến đổi từ cấu trúc đề và lời giải đã kiểm tra bằng tính toán độc lập; không sao chép nguyên văn đề.
1 Kỹ thuật 1 — Sáu phản xạ trắc nghiệm
Phản xạ · Khi thấy… · Việc làm ngay
Điều kiện xác định · √A + hằng số dương ở mẫu · Mẫu luôn dương nên chỉ cần A ≥ 0 (không loại thêm)
Vi-ét cho biểu thức đối xứng · x₁ + x₂ − x₁x₂, x₁² + x₂², x₁/x₂ + x₂/x₁ · Tính S = −b/a, P = c/a rồi biểu diễn qua S, P
Hệ số góc · Hai đường thẳng song song · Bằng hệ số góc, khác tung độ gốc; loại giá trị làm hai đường trùng
Nghiệm kép · “Đúng một nghiệm” của bậc hai · Δ = 0 (thường là bình phương)
Tiếp tuyến · OA và bán kính r, hai tiếp điểm B, C · AB = √(OA² − r²); BC = 2·r·AB/OA
Tọa độ hóa · Tứ giác có góc vuông, độ dài bằng 1 · Đặt hệ trục, tính điểm rồi độ dài
Ví dụ 1. Đường thẳng y = x + 2 cắt parabol y = x² tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂. Tính x₁² + x₂².
Phương trình hoành độ: x² − x − 2 = 0 ⇒ S = 1, P = −2 ⇒ x₁² + x₂² = S² − 2P = 1 + 4 = 5 .
Ví dụ 2. Phương trình x + 1/x = 3 có hai nghiệm x₁, x₂. Tính x₁/x₂ + x₂/x₁.
Nhân x: x² − 3x + 1 = 0 ⇒ S = 3, P = 1 ⇒ (x₁² + x₂²)/(x₁x₂) = (S² − 2P)/P = (9 − 2)/1 = 7 .
Ví dụ 3. OA = 5, bán kính (O) bằng 3, AB và AC là tiếp tuyến. Độ dài BC?
AB = √(25 − 9) = 4; đường cao hạ từ B xuống OA có độ dài r·AB/OA = 12/5 ⇒ BC = 2·12/5 = 4,8 .
Ví dụ 4. Hai đường thẳng y = (4 − m²)x + 2 và y = 2x + m + 5 song song khi m bằng?
4 − m² = 2 ⇒ m² = 2 ⇒ m = ±√2; tung độ gốc khác: 2 ≠ m + 5 ⇔ m ≠ −3 (luôn đúng với ±√2). Vậy cả hai giá trị m = ±√2 đều thỏa .
🧮 Máy Vi-ét — nhập ax² + bx + c = 0
a = b = c =
Bẫy Ví dụ 4: nhiều bạn quen “luôn loại một giá trị”. Hãy kiểm điều kiện khác tung độ gốc bằng số, đừng loại theo thói quen. Trong Ví dụ 2 nhớ phải quy về S, P rồi mới tính, đừng tìm nghiệm ra căn.
2 Kỹ thuật 2 — Chuỗi bằng nhau, tọa độ hóa và lịch mod 7
Chuỗi bằng nhau. Các số thực a, b, c, d, e thỏa a + b + 2 = b + c − 1 = c + d + 3 = d + e − 2 = e + a + 1. Số nào lớn nhất?
Đặt cả chuỗi bằng k: a + b = k − 2, b + c = k + 1, c + d = k − 3, d + e = k + 2, e + a = k − 1. Cộng năm đẳng thức: 2(a + b + c + d + e) = 5k − 3, suy ra tổng T = (5k − 3)/2. Ta có e = T − (a + b) − (c + d) = (5k − 3)/2 − (k − 2) − (k − 3) = (k + 7)/2, và tương tự a = (k − 9)/2, b = (k + 5)/2, c = (k − 3)/2, d = (k − 3)/2. Vậy e lớn nhất .
Tọa độ hóa. Tứ giác ABCD có ∠DAB = ∠ABC = 90°, ∠BCD = 45°, AB = AD = 1. M, N là trung điểm AB, CD. Tính MN.
Đặt A(0; 0), B(1; 0), D(0; 1) và C(1; c). ∠BCD = 45° ⇒ c − 1 = 1 ⇒ C(1; 2). M(0,5; 0), N(0,5; 1,5) ⇒ MN = 1,5 . Không cần định lý cao siêu.
Lịch: đếm ngày bằng mod 7
Quy tắc Tháng 31 ngày = 4 tuần đủ + 3 ngày thừa. Ba thứ đầu tiên của tháng xuất hiện 5 lần , bốn thứ còn lại đúng 4 lần. Nếu đề nói “đúng 4 ngày thứ X và 4 ngày thứ Y” thì thứ X, Y phải nằm ngoài ba thứ đầu. Ngày 31 = ngày 1 + 30 ngày ≡ +2 (mod 7).
Ví dụ 5. Một tháng 31 ngày có đúng 4 ngày thứ hai và 4 ngày thứ sáu. Ngày 31 là thứ mấy?
Ba thứ đầu phải tránh thứ hai và thứ sáu: chỉ có bộ (thứ ba, thứ tư, thứ năm). Ngày 1 là thứ ba ⇒ ngày 31 = thứ ba + 2 = thứ năm .
📅 Máy lịch
Số ngày trong tháng: Thứ X: Thứ Y:
3 Kỹ thuật 3 — Căn thức lồng nhau: √(A ± 2√B) = √m ± √n
Công thức Tìm hai số dương m, n với m + n = A và m·n = B (m > n). Khi đó A ± 2√B = (√m ± √n)² và √(A ± 2√B) = √m ± √n (với dấu “−” nhớ lấy √m − √n > 0).
Ví dụ 6. a) Chứng minh √(9 − 4√5) = √5 − 2. b) Tính √(4 + 2√3) + √(7 − 4√3).
a) 9 − 4√5 = 9 − 2√20: m + n = 9, mn = 20 ⇒ m = 5, n = 4 ⇒ √(9 − 4√5) = √5 − 2 (dương vì √5 > 2).
b) 4 + 2√3: m + n = 4, mn = 3 ⇒ m = 3, n = 1 ⇒ √3 + 1. 7 − 4√3 = 7 − 2√12: m + n = 7, mn = 12 ⇒ m = 4, n = 3 ⇒ 2 − √3 (dương vì 2 > √3). Tổng = (√3 + 1) + (2 − √3) = 3 .
🔧 Máy khử căn lồng — √(A ± 2√B)
A = B = dấu:
Bẫy Nếu m·n = B nhưng m + n ≠ A thì không tách được. Khi dấu “−”, kết quả phải dương: viết √m − √n với m > n. Nếu đề cho dạng A ± √B (không có 2), viết lại A ± 2√(B/4) trước.
4 Kỹ thuật 4 — Phương trình chứa tham số: điều kiện, biến đổi, thử lại
Ba bước 1) Viết điều kiện (Δ > 0 hoặc Δ < 0) cho từng phương trình trước khi giải. 2) Dùng Vi-ét: tổng bình phương hai nghiệm x₁² + x₂² = S² − 2P. 3) Giải phương trình tham số rồi thử lại từng nghiệm m với các điều kiện ở bước 1.
Ví dụ 7. Cho x² − mx + 2 = 0 (1) và x² − x + m = 0 (2). a) Tìm m để (1) vô nghiệm và (2) có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và tổng bình phương hai nghiệm của mỗi phương trình bằng nhau.
a) (1) vô nghiệm: Δ₁ = m² − 8 < 0 ⇔ −2√2 < m < 2√2. (2) hai nghiệm phân biệt: Δ₂ = 1 − 4m > 0 ⇔ m < 1/4. Kết hợp: −2√2 < m < 1/4 .
b) Điều kiện: Δ₁ = m² − 8 > 0 và Δ₂ = 1 − 4m > 0. Vi-ét: tổng bình phương của (1) là m² − 4; của (2) là 1 − 2m. Cho bằng nhau: m² + 2m − 5 = 0 ⇒ m = −1 ± √6.
Thử lại: m = −1 − √6 ≈ −3,45: m² ≈ 11,9 > 8 và 1 − 4m > 0 ✓ nhận . m = −1 + √6 ≈ 1,45: m² ≈ 2,1 < 8 nên (1) vô nghiệm ✗ loại . Kết luận: m = −1 − √6 .
Bẫy điểm Nếu không thử lại, em ghi hai nghiệm và mất 0,25–0,5 điểm. Ngoài ra, “tổng bình phương hai nghiệm” chỉ có nghĩa khi phương trình có nghiệm thực; nếu Δ < 0 thì công thức Vi-ét vẫn tính được nhưng không phải tổng bình phương của hai số thực.
5 Kỹ thuật 5 — Hình bình hành: đưa về hình vuông đơn vị
Ý tưởng Tính chất song song, trung điểm và tỉ số diện tích không đổi qua phép biến đổi afin (kéo giãn). Vì vậy có thể coi hình bình hành ABCD là hình vuông đơn vị : A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1) (diện tích 1).
Ví dụ 8. Hình bình hành ABCD, K trên AB, M trên AD, N trên BC sao cho KM ∥ BD và KN ∥ AC. Đặt a = AK/AB. Tính tỉ số S(KMN)/S(ABCD).
K(a; 0). KM ∥ BD (hướng (−1; 1)) cắt AD (x = 0) tại M(0; a). KN ∥ AC (hướng (1; 1)) cắt BC (x = 1) tại N(1; 1 − a). Trung điểm MN là (½; ½) = tâm hình bình hành (kết quả “I là trung điểm MN”). Diện tích tam giác KMN = ½|(−a)(1 − a) − (a)(1 − a)| = a(1 − a) lần diện tích ABCD.
Vậy S(KMN) = (2/9)S ⇔ a(1 − a) = 2/9 ⇔ a = 1/3 hoặc a = 2/3 . Giá trị lớn nhất của a(1 − a) là 1/4 khi K là trung điểm AB.
▱ Kéo K trên AB
a = AK/AB = 0.33
Bẫy Đừng dùng quan hệ “diện tích KMN = một phần cố định của ABCD”: tỉ số phụ thuộc a. Và luôn kiểm tra lại cả hai nghiệm a: ở bài này cả 1/3 và 2/3 đều thỏa vì K nằm trên cạnh AB (0 < a < 1).
6 Kỹ thuật 6 — Bài toán tỉ lệ: đặt ẩn, lập quan hệ “số cặp bằng nhau”
Ví dụ 9. Lớp học ghép cặp mỗi học sinh nhóm A với một học sinh nhóm B (mỗi học sinh tối đa một cặp). Ngày đầu, 3/4 số học sinh nhóm A và 3/5 số học sinh nhóm B được ghép cặp. a) Tỉ lệ số học sinh được ghép trên tổng số học sinh? b) Ngày thứ hai có thêm 6 học sinh được ghép (3 cặp mới), tỉ lệ bây giờ là 7/9. Tính số học sinh mỗi nhóm.
Gọi x, y là số học sinh nhóm A, B. Số cặp bằng nhau: (3/4)x = (3/5)y ⇒ y = (5/4)x. a) Số học sinh được ghép: 2·(3/4)x = (3/2)x; tổng = x + (5/4)x = (9/4)x; tỉ lệ = (3/2)/(9/4) = 2/3 .
b) Sau ngày hai: ((3/2)x + 6)/((9/4)x) = 7/9 ⇒ 2/3 + 8/(3x) = 7/9 ⇒ 8/(3x) = 1/9 ⇒ x = 24, y = 30 . Thử: 18 học sinh A và 18 học sinh B được ghép ngày đầu (36/54 = 2/3); ngày hai 42/54 = 7/9 ✓.
Bẫy Ghép cặp một-một nên số học sinh mỗi nhóm được ghép phải bằng nhau : đây là phương trình duy nhất cho ẩn thứ hai. Đếm học sinh (không phải cặp) khi hỏi tỉ lệ học sinh. Thử lại bằng số cụ thể.
7 Kỹ thuật 7 — Hình học trực tâm: đường tròn đường kính, tứ giác nội tiếp, tiếp tuyến
Sơ đồ Tam giác nhọn ABC (AB < AC), trực tâm H, E, F là chân các đường cao từ B, C; I, J là trung điểm BC, AH; R = EF ∩ AH, S = EF ∩ BC.
a) E, F thuộc đường tròn đường kính BC (∠BEC = ∠BFC = 90°) nên IE = IF = BC/2. E, F thuộc đường tròn đường kính AH (∠AEH = ∠AFH = 90°) nên JE = JF = AH/2.
b) Tam giác JAE cân tại J nên ∠JEA = ∠JAE; tam giác IEC cân tại I nên ∠IEC = ∠ICE. Vì ∠JAE + ∠ICE = 90° (tam giác vuông AEH…), suy ra ∠JEI = 90°; tương tự ∠JFI = 90°: IEJF nội tiếp (đường kính IJ). IJ là trung trực của EF nên IJ ⟂ SR; lại có JR ⟂ SI (AH ⟂ BC) nên R là trực tâm của tam giác SIJ.
c) IM·IN = IE² = IJ² − JE² = BC²/4 (do ∠IEJ = 90°). Dùng R trực tâm để suy ra JQ·JS = JP·JI = JE² = JM² ⇒ △JQM ∼ △JMS ⇒ ∠JMS = 90°: SM, SN tiếp xúc (J) .
🧭 Máy kiểm chứng hình học (kéo đỉnh A; B(0; 0), C(10; 0))
x = 4.2
y = 7
Bẫy điểm Chứng minh “IEJF nội tiếp” bằng tổng hai góc đối 180° cần nêu rõ hai góc vuông ∠IEJ, ∠IFJ; đừng ghi “vì trông như vậy”. Ở câu c) phải nói rõ vì sao IM·IN = IE² (phương tích/hệ thức lượng) và vì sao tiếp tuyến (góc J M S vuông).
8 Đề chốt — 6 trắc nghiệm và 5 tự luận tự luyện
Tự làm trước, bấm mở đáp án sau. Đề do LUKATO biên soạn mới hoàn toàn theo cấu trúc trên.
Trắc nghiệm 1. Đường thẳng y = 2x + 3 cắt parabol y = x² tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂. Giá trị x₁² + x₂² là: A. 4 B. 10 C. 7 D. 13.
Trắc nghiệm 2. Phương trình x + 1/x = 4 có hai nghiệm x₁, x₂. Giá trị x₁/x₂ + x₂/x₁ là: A. 16 B. 12 C. 14 D. 18.
Trắc nghiệm 3. OA = 13, bán kính đường tròn (O) bằng 5, AB và AC là hai tiếp tuyến. Độ dài BC bằng: A. 120/13 B. 60/13 C. 12 D. 10.
Trắc nghiệm 4. Hai đường thẳng y = (m² − m)x + 2 và y = 2x + m song song khi m bằng: A. 2 B. −1 C. 2 hoặc −1 D. Không tồn tại m.
Trắc nghiệm 5. Một tháng 31 ngày có đúng 4 ngày thứ hai và 4 ngày thứ năm. Ngày 31 là: A. thứ ba B. thứ sáu C. thứ bảy D. Chủ nhật.
Trắc nghiệm 6. Tứ giác ABCD có ∠DAB = ∠ABC = 90°, ∠BCD = 45°, AB = AD = 2. M, N là trung điểm AB, CD. Độ dài MN là: A. 2 B. 2,5 C. 3 D. 3,5.
Đáp án trắc nghiệm
1) B : x² − 2x − 3 = 0, S = 2, P = −3 ⇒ S² − 2P = 4 + 6 = 10. 2) C : x² − 4x + 1 = 0, (S² − 2P)/P = 14. 3) A : AB = 12, BC = 2·(5·12/13) = 120/13. 4) B : m² − m = 2 ⇒ m = 2 hoặc m = −1; m = 2 cho tung độ gốc 2 = 2 nên hai đường trùng ⇒ loại; m = −1 thỏa. 5) D : ba thứ đầu phải tránh thứ hai và thứ năm nên là (thứ sáu, thứ bảy, Chủ nhật); ngày 1 là thứ sáu, ngày 31 = thứ sáu + 2 = Chủ nhật. 6) C : A(0; 0), B(2; 0), D(0; 2), C(2; 4), M(1; 0), N(1; 3) ⇒ MN = 3.
Tự luận 1. Rút gọn √(11 − 6√2) + √(3 + 2√2).
Tự luận 2. Cho x² − mx + 3 = 0 (1) và x² − 2x + m = 0 (2). a) Tìm m để (1) vô nghiệm và (2) có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để cả hai có hai nghiệm phân biệt và tổng bình phương hai nghiệm của (1) bằng của (2).
Tự luận 3. Hình bình hành ABCD, K ∈ AB, M ∈ AD, N ∈ BC sao cho KM ∥ BD, KN ∥ AC. Tìm AK/AB để S(KMN) = (3/16)·S(ABCD).
Tự luận 4. Ghép cặp học sinh nhóm A và nhóm B như ví dụ 9, ngày đầu có 2/3 nhóm A và 3/4 nhóm B được ghép. a) Tỉ lệ học sinh được ghép trên tổng số. b) Ngày hai thêm 4 học sinh (2 cặp), tỉ lệ bây giờ là 13/17. Tính số học sinh mỗi nhóm.
Tự luận 5. Tam giác nhọn ABC (AB < AC), các đường cao BE, CF cắt nhau tại H; I là trung điểm BC, J là trung điểm AH. a) Chứng minh IE = IF và A, E, H, F cùng thuộc đường tròn tâm J. b) Chứng minh IJ ⟂ EF.
Đáp án tự luận
1) 11 − 6√2 = (3 − √2)² và 3 + 2√2 = (√2 + 1)² ⇒ (3 − √2) + (√2 + 1) = 4 .
2a) Δ₁ = m² − 12 < 0 và Δ₂ = 4 − 4m > 0 ⇒ −2√3 < m < 1 . 2b) Điều kiện m² > 12 và m < 1. Tổng bình phương: m² − 6 và 4 − 2m; cho bằng nhau: m² + 2m − 10 = 0 ⇒ m = −1 ± √11. Thử lại: m = −1 − √11 ≈ −4,32 thỏa cả hai điều kiện; m = −1 + √11 ≈ 2,32 không thỏa m < 1. Kết luận: m = −1 − √11 .