Bất phương trình chứa căn: chia miền theo dấu của mẫu
Dùng phép đổi biến hai chiều và dấu của mẫu số để giải một họ bất phương trình, phân biệt điểm không xác định với điểm cho dấu bằng.
TOÁN 9 · DẤU CỦA PHÂN THỨC VÀ MIỀN NGHIỆM
Bất phương trình chứa căn: chia miền theo dấu của mẫu
Dùng phép đổi biến hai chiều và dấu của mẫu số để giải một họ bất phương trình, phân biệt điểm không xác định với điểm cho dấu bằng.
1. Một mẫu số có thể chia bài toán thành hai miền
Xét biểu thức độc lập
R(t)=\frac{t}{t-2},\qquad t>0,\quad t\ne2.
Tại t=1, ta có R(1)=-1<1/2. Nhưng nếu nhân hai vế của t/(t-2)<1/2 với 2(t-2) rồi giữ nguyên chiều, ta lại được 2t<t-2, tức t<-2, và loại mất giá trị t=1 vừa kiểm tra.
Sai ở đâu? Mẫu t-2 âm trên 0<t<2 và dương trên t>2. Một phép nhân không thể được dùng với cùng một chiều bất đẳng thức trên cả hai miền.
Mục tiêu của bài là giải được cả một họ bất phương trình khi mức so sánh thay đổi. Ta sẽ giữ miền xác định, tách theo dấu mẫu và giải thích đầy đủ các đầu mút.
2. Đổi căn thành biến mới mà không đổi tập nghiệm
Với x\ge0, đặt t=\sqrt{x}. Khi đó t\ge0 và x=t^2. Ngược lại, mọi t\ge0 cho đúng một x=t^2\ge0 có căn số học bằng t. Đây là phép đổi biến hai chiều.
Nếu biểu thức ban đầu yêu cầu x>0 và x\ne a^2, với a>0, thì miền tương ứng chính xác là t>0,\ t\ne a. Điều kiện x>0 không thể nới thành x\ge0 sau khi một nhân tử đã được khử.
Trên các số không âm, phép bình phương giữ thứ tự. Thật vậy, nếu 0\le u<v, thì
v^2-u^2=(v-u)(v+u)>0.
Vì thế, khi đã chứng minh 0<\alpha<t<\beta, ta được \alpha^2<x<\beta^2 và chiều ngược cũng đúng. Nếu có số âm, cách suy luận này không được dùng nguyên xi: -3<-2 nhưng 9>4.
3. Hiểu hai miền trước khi giải bất phương trình
Cho a>0 cố định. Xét
R_a(t)=\frac{t}{t-a}=1+\frac{a}{t-a},
\qquad t>0,\quad t\ne a.
Trên 0<t<a, tử dương và mẫu âm, nên R_a(t)<0. Trên t>a, hạng a/(t-a)>0, nên R_a(t)>1. Biểu thức không nhận giá trị nào trong đoạn [0,1].
Chứng minh không còn giá trị nào bị thiếu
Lấy một số y<0 hoặc y>1, rồi giải R_a(t)=y:
t=y(t-a)\quad\Longleftrightarrow\quad
t=\frac{ay}{y-1}.
Nếu y<0, ta có 0<y/(y-1)<1, nên 0<t<a. Nếu y>1, tỉ số y/(y-1)>1, nên t>a. Cả hai trường hợp đều hợp lệ; thế lại cho đúng R_a(t)=y. Vậy tập giá trị chính xác là
(-\infty,0)\ \cup\ (1,\infty).
Đây là lí do hai ngưỡng 0 và 1 sẽ làm thay đổi cách chia trường hợp ở phần sau. Không cần đạo hàm để nhìn thấy cấu trúc này.
4. Khi mức so sánh thay đổi
Ta giải R_a(t)<c, với c là một số thực bất kì, luôn giữ a>0,\ t>0,\ t\ne a.
Trường hợp c\le0
Miền t>a không có nghiệm vì R_a(t)>1>c. Trên 0<t<a, mẫu âm nên
\frac{t}{t-a}<c
\quad\Longleftrightarrow\quad t>c(t-a)
\quad\Longleftrightarrow\quad (1-c)t>-ac.
Do 1-c>0, ta được t>ac/(c-1). Với c<0, mốc này nằm giữa 0 và a; với c=0, nó bằng 0. Do đó tập nghiệm là
\boxed{\frac{ac}{c-1}<t<a\qquad(c\le0).}
Trường hợp 0<c\le1
Toàn bộ miền 0<t<a thỏa mãn vì R_a(t)<0<c. Miền t>a không thỏa mãn vì R_a(t)>1\ge c. Vậy
\boxed{0<t<a\qquad(0<c\le1).}
Tại c=1, không có phép chia cho c-1 nào cần thực hiện. Đây là trường hợp phải tách riêng khi dùng công thức đại số.
Trường hợp c>1
Miền 0<t<a vẫn thỏa mãn toàn bộ. Trên t>a, mẫu dương nên
\frac{t}{t-a}<c
\quad\Longleftrightarrow\quad t<c(t-a)
\quad\Longleftrightarrow\quad (c-1)t>ac.
Vì c-1>0, điều kiện là t>ac/(c-1). Mốc này lớn hơn a, nên đã bảo đảm mẫu dương. Tập nghiệm đầy đủ:
\boxed{0<t<a\quad\text{hoặc}\quad
t>\frac{ac}{c-1}\qquad(c>1).}
Mỗi phép biến đổi trên một miền đều tương đương. Các miền đã xét phủ hết miền xác định, nên kết quả vừa không thêm nghiệm sai vừa không bỏ sót nghiệm. Điểm t=a luôn bị loại vì biểu thức gốc không xác định.
5. Hai ngưỡng, hai hình dạng tập nghiệm
Lấy a=2. Với c=1/2, tập nghiệm là 0<t<2. Với c=2, tập nghiệm là 0<t<2 hoặc t>4. Ở trường hợp sau, t=4 cho R_2(4)=2, nên bị loại bởi dấu nhỏ hơn nghiêm ngặt.
Hai trục dùng cùng thang đo của t. Chấm rỗng biểu thị đầu mút không được lấy; mũi tên xanh cho biết khoảng bên phải còn kéo dài.
Hai lí do loại đầu mút khác nhau: t=2 làm mẫu bằng không, còn t=4 là giá trị xác định nhưng cho dấu bằng. Nếu đổi sang R_2(t)\le2, ta lấy thêm t=4, nhưng vẫn không được lấy t=2.
Vì sao không thể thử vài số rồi kết luận cả khoảng?
Thử số giúp phát hiện lỗi hoặc dự đoán, nhưng không chứng minh được mọi điểm trong khoảng đều thỏa mãn. Ở đây kết luận cả khoảng được bảo đảm bởi phép xét dấu và chuỗi biến đổi tương đương trên từng miền. Dấu ở đầu mút cũng phải kiểm tra từ biểu thức và yêu cầu gốc.
6. Một ứng dụng chọn từ biểu thức chứa căn
Cho các biểu thức đầy đủ
A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2},\qquad
B=\frac{x+\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}}-\frac1{\sqrt{x}-2},
\qquad x>0,\quad x\ne4.
Ta xét duy nhất câu hỏi: khi nào A/B<1/2, và số nguyên dương x lớn nhất thỏa mãn là bao nhiêu? Đây là ứng dụng chọn từ tài liệu nguồn; các công cụ giải đã được phát triển trước ở dạng tổng quát.
Đặt t=\sqrt{x}>0,\ t\ne2. Quy đồng rồi phân tích tử:
B=\frac{t^2+t-4-t}{t(t-2)}
=\frac{(t-2)(t+2)}{t(t-2)}
=\frac{t+2}{t}.
Phép khử hợp lệ vì t\ne2. Trên miền này, B>0, đặc biệt B\ne0, nên tỉ số A/B xác định. Ta có
\frac AB=\frac{t+2}{t-2}\cdot\frac{t}{t+2}
=\frac{t}{t-2}.
Áp dụng trường hợp a=2,\ 0<c=1/2\le1, ta được 0<t<2. Đổi về x=t^2 bằng phép bình phương trên miền không âm:
\frac AB<\frac12\quad\Longleftrightarrow\quad0<x<4.
Các số nguyên dương hợp lệ là 1,2,3; số lớn nhất là 3. Giá trị x=4 không phải ứng viên có thể thay vào biểu thức gốc. Việc công thức rút gọn của riêng B có giá trị tại đó không sửa được miền của toàn bài.
7. Chuyển giao: ngưỡng âm và mốc dưới căn
Ví dụ mới: giải
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}<-1,
\qquad x>0,\quad x\ne9.
Giá trị cần nhỏ hơn một số âm. Nó phải nằm ở phía nào của điểm mẫu bằng không? Mốc của t có thể được bình phương ngay không?
Gợi ý
Đặt t=\sqrt{x}, dùng a=3,\ c=-1. Tính ac/(c-1), rồi kiểm tra cả hai đầu mút đều không âm.
Lời giải đầy đủ
Công thức cho c\le0 cho 3/2<t<3. Cả hai mốc đều dương, nên
\boxed{\frac94<x<9.}
Tại x=9/4, biểu thức bằng -1, nên bị loại bởi dấu nghiêm ngặt. Tại x=9, mẫu bằng không. Chẳng hạn x=4 cho 2/(2-3)=-2<-1, kiểm tra phù hợp với khoảng vừa chứng minh.
Hai trục có thang đo riêng. Hai khoảng tô cùng màu tương ứng qua phép bình phương; vì các mốc của t đều dương, thứ tự được giữ nguyên.
Đổi yêu cầu thành \sqrt{x}/(\sqrt{x}-3)\le2 với cùng miền ban đầu, hãy tự tìm tập nghiệm.
Đối chiếu dấu bằng
Trên 0<t<3, giá trị âm nên luôn không vượt 2. Trên t>3, nhân với mẫu dương cho t\le2(t-3), tức t\ge6. Do đó
\boxed{0<x<9\quad\text{hoặc}\quad x\ge36.}
Mốc 36 được lấy vì cho dấu bằng; mốc 9 vẫn bị loại vì không xác định. Nếu dấu là <2, điều kiện thứ hai phải là x>36.
8. Khi mẫu luôn dương, cách làm được đơn giản hóa
Để đối chiếu, xét ví dụ độc lập
\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\le\frac12,\qquad x\ge0.
Đặt t=\sqrt{x}\ge0. Vì t+2\ge2>0, có thể nhân chéo và giữ chiều trên toàn miền:
2(t-1)\le t+2\quad\Longleftrightarrow\quad t\le4.
Kết hợp t\ge0, ta được 0\le x\le16. Hai đầu mút đều hợp lệ: tại x=0, vế trái bằng -1/2; tại x=16, vế trái bằng 1/2.
Điều cần học không phải “không bao giờ nhân chéo”, mà là luôn chứng minh dấu của đại lượng được nhân. Nếu dấu cố định, dùng một chuỗi tương đương; nếu dấu thay đổi, chia miền trước. Sau khi quay về biến gốc, phải giữ cả điều kiện của căn, điều kiện mẫu và loại dấu bất đẳng thức.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu