Bài toán chuyển động: hiểu quan hệ, đặt ẩn và lập hệ

Chọn ẩn theo đại lượng chưa biết, giữ đúng quan hệ quãng đường và thời gian; phân biệt vận tốc khi chạy, vận tốc riêng, vận tốc trung bình và điều kiện được…

Cập nhật: 2026-10-01

Môn: Toán · Tài liệu THCS

TOÁN 9 · QUÃNG ĐƯỜNG, THỜI GIAN VÀ VẬN TỐC

Bài toán chuyển động: hiểu quan hệ, đặt ẩn và lập hệ

Chọn ẩn theo đại lượng chưa biết, giữ đúng quan hệ quãng đường và thời gian; phân biệt vận tốc khi chạy, vận tốc riêng, vận tốc trung bình và điều kiện được giữ khi mô hình thay đổi.

1. Một công thức, nhưng phải đọc đúng mô hình

Với một chặng đường có vận tốc trung bình v>0, thời gian t>0 và quãng đường S, ta có:

S=vt,\qquad t=\frac Sv,\qquad v=\frac St.

Nếu S tính bằng km và v bằng km/h thì t phải tính bằng giờ. Mỗi chặng đi hoặc về cần một quan hệ riêng. Một hệ phương trình tốt giữ lại đúng những thông tin chưa biết và mối liên hệ giữa các chặng.

Lộ trình: cùng quãng đường nhưng khác thời gian; hai vận tốc xuôi/ngược được tạo bởi vận tốc riêng và dòng nước; cuối cùng phân biệt “đổi một điều kiện” với “giữ nguyên cả mô hình cũ”.

Dự đoán: đi cùng một quãng đường với vận tốc nhỏ hơn thì cần nhiều thời gian hơn hay ít hơn? Hãy giải thích từ công thức, không chỉ từ kinh nghiệm.

Khi S>0 giữ nguyên, mẫu số v nhỏ hơn làm S/v lớn hơn. Đây là cách kiểm tra chiều của hiệu thời gian trước khi lập phương trình.

2. Ô tô khứ hồi: hai chặng có cùng quãng đường

Đề bài đầy đủ

Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc trung bình 60 km/h. Lúc về Hà Nội trên cùng quãng đường, do thời tiết xấu nên vận tốc trung bình là 40 km/h. Thời gian đi ít hơn thời gian về 1 giờ. Tính độ dài quãng đường Hà Nội–Hải Phòng trong bài toán.

Đặt x (km, x>0) là quãng đường một chiều; t (giờ, t>0) là thời gian đi. “Thời gian đi ít hơn thời gian về 1 giờ” nghĩa là thời gian về bằng t+1 .

Hai mũi tên dài bằng nhau biểu diễn cùng quãng đường, không biểu diễn cùng thời gian. Lượt về chậm hơn nên thời gian dài hơn.

Lập hệ từ từng chặng

• Chiều đi: x=60t.
• Chiều về: x=40(t+1).

\begin{cases}x=60t,\\ x=40(t+1).\end{cases}

Vì hai vế đều bằng cùng một x, ta cho chúng bằng nhau:

60t=40(t+1)\Longleftrightarrow20t=40

\Longleftrightarrow t=2.

Thay vào phương trình đầu: x=60\cdot2=120. Quãng đường một chiều là 120 km.

Kiểm tra trọn dữ kiện

Thời gian đi 120/60=2 giờ; thời gian về 120/40=3 giờ. Hiệu 3-2=1 giờ, đúng chiều “về lâu hơn đi”. Các ẩn dương. Quãng đường cả lượt đi và về là 240 km, nhưng đó không phải đại lượng đề yêu cầu.

Đừng dừng ở đáp số 2: đó là thời gian đi, đơn vị giờ. Đề hỏi quãng đường nên còn bước x=60t. Đừng dùng t-1 cho thời gian về khi lượt về chậm hơn.

3. Cùng bài toán, vì sao một ẩn cũng đủ?

Hai cách đặt ẩn không tạo ra hai bài toán khác nhau. Ta có thể loại ẩn thời gian ngay từ đầu bằng cách viết mỗi thời gian theo x:

t_{\text{đi}}=\frac{x}{60},\qquad t_{\text{về}}=\frac{x}{40}.

Hiệu thời gian cho:

\frac{x}{40}-\frac{x}{60}=1

\Longleftrightarrow\frac{3x-2x}{120}=1

\Longleftrightarrow x=120.

Trong cách đặt hai ẩn, t giúp trình bày riêng từng chặng. Trong cách một ẩn, t=x/60 đã được thay vào. Cả hai mô hình tương đương và đều cần cùng điều kiện x>0.

Chọn ẩn theo thông tin cần giữ. Dùng hai ẩn khi muốn thấy rõ quan hệ giữa các đại lượng, hoặc khi thật sự có hai thông số độc lập chưa biết. Dùng một ẩn khi đại lượng còn lại đã biểu diễn được rõ ràng. Không cần tạo thêm ẩn chỉ để lời giải trông phức tạp hơn.

Tự thử giữ hướng hiệu

Nếu đặt u là thời gian về , hệ phương trình phải viết thế nào?

Gợi ý

Thời gian đi ngắn hơn thời gian về 1 giờ, nên bằng u-1. Cần u>1.

Đáp án

x=40u và x=60(u-1), với u>1. Suy ra 40u=60u-60, nên u=3, x=120. Đổi cách đặt ẩn không đổi quãng đường.

4. Ca nô: tách vận tốc riêng khỏi tác động của dòng nước

Gọi v là vận tốc ca nô đối với nước, tức vận tốc khi nước lặng; c là vận tốc dòng nước so với bờ, cùng đơn vị km/h. Ta dùng mô hình dòng chảy và vận tốc riêng không đổi, v>c>0, ca nô chạy dọc dòng sông:

• Xuôi dòng: dòng nước cùng hướng chuyển động, vận tốc so với bờ là v+c.
• Ngược dòng: dòng nước cản hướng chuyển động, vận tốc so với bờ là v-c.

Điều kiện v>c bảo đảm vận tốc ngược dòng dương; ca nô thực sự tiến về phía thượng lưu.

Đề bài đầy đủ

Ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 80 km hết 4 giờ, rồi ngược dòng cũng quãng ấy hết 5 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô. Đồng thời xác định vận tốc dòng nước để kiểm tra mô hình.

Dự đoán: vận tốc riêng nằm giữa vận tốc xuôi và vận tốc ngược hay lớn hơn cả hai? Vì sao không được lấy 80/4 làm ngay vận tốc riêng?

Từ thời gian sang hai vận tốc so với bờ

\frac{80}{v+c}=4\quad\Rightarrow\quad v+c=20,

\frac{80}{v-c}=5\quad\Rightarrow\quad v-c=16.

Các mẫu dương theo v>c>0, nên các phép nhân khử mẫu hợp lệ. Cộng hai phương trình để dòng nước triệt tiêu:

2v=36\quad\Rightarrow\quad v=18.

Lấy phương trình đầu trừ phương trình sau, hoặc thay lại:

2c=4\quad\Rightarrow\quad c=2.

Vận tốc riêng là 18 km/h; vận tốc dòng nước là 2 km/h. Kiểm tra: 18>2>0, 80/(18+2)=4, 80/(18-2)=5. Hai chặng đều khớp đề.

Cùng thang đo cho cả hai hàng: phần xanh đầu 18 km/h được cộng thêm 2 khi xuôi, hoặc bớt 2 khi ngược. Dòng nước không làm thay đổi vận tốc riêng v trong mô hình.

Hai loại trung bình khác nhau. Với mô hình này, v bằng trung bình cộng của vận tốc xuôi và ngược: (20+16)/2=18. Nhưng vận tốc trung bình của cả hành trình bằng tổng quãng đường chia tổng thời gian: 160/9\approx17{,}78 km/h. Không dùng lẫn hai khái niệm.

Ở bài này, mỗi quãng đường và thời gian đã biết nên ta tính được trực tiếp v+c, v-c, rồi có hệ bậc nhất. Không phải mọi bài xuôi/ngược đều tự động cho ngay dạng hệ này; nếu chỉ biết tổng thời gian, còn phải lập quan hệ phù hợp với dữ kiện ấy.

5. Đổi một vận tốc: phải nói rõ điều kiện nào giữ nguyên

Xét lại quãng đường 120 km đã tìm được trong bài ô tô. Một nhận định cần kiểm tra là: “Nếu vận tốc về là 50 km/h thay vì 40 km/h thì quãng đường sẽ khác đi.”

Cách hiểu 1: vẫn đi trên cùng tuyến đường 120 km

Nhận định đó sai . Chỉ vận tốc về thay đổi, quãng đường giữ nguyên. Thời gian về mới là 120/50=2{,}4 giờ, tức 2 giờ 24 phút. Thời gian đi vẫn 2 giờ; chênh lệch mới là 0{,}4 giờ, tức 24 phút, không còn 1 giờ.

Cách hiểu 2: lập bài toán mới, vẫn giữ chênh lệch 1 giờ

Nếu dữ kiện mới là vận tốc đi 60, về 50 km/h, nhưng vẫn chênh 1 giờ và quãng đường chưa biết, ta phải giải lại:

\frac{x}{50}-\frac{x}{60}=1

\Longleftrightarrow\frac{x}{300}=1\Longleftrightarrow x=300.

Đây là một mô hình khác, cho thời gian đi 5 giờ và về 6 giờ. Không thể đồng thời giữ quãng đường 120 km và giữ chênh 1 giờ khi đổi vận tốc về thành 50 km/h.

Bài học về mô hình: một khoảng cách đã cố định không tự thay đổi vì ta đi nhanh hơn. Nhưng nếu giữ một bộ điều kiện thời gian khác để suy ra khoảng cách chưa biết, kết quả của bài toán mới có thể khác. Luôn nêu rõ đại lượng nào cố định.

6. Tự kiểm: chọn đáp án và giải thích

Câu A · Cùng quãng đường

Một người đi xe đạp quãng đường S>0 với vận tốc trung bình v>0 trong thời gian t. Nếu S không đổi và v tăng, thời gian sẽ thế nào?

• A. Tăng lên.
• B. Giảm xuống.
• C. Không đổi.
• D. Không xác định được.

Đáp án và loại các phương án sai

Chọn B , vì t=S/v: cùng tử dương, mẫu tăng thì thương giảm. A trái quan hệ này; C chỉ đúng nếu vận tốc không đổi; D sai vì đã đủ dữ kiện để xác định chiều thay đổi, dù chưa biết con số cụ thể.

Câu B · Cùng lúc khởi hành

Hai xe xuất phát cùng lúc từ A đến B trên cùng quãng đường. Xe thứ nhất đến sớm hơn. So sánh vận tốc trung bình tính cho cả chặng:

• A. Hai vận tốc bằng nhau.
• B. Xe thứ nhất có vận tốc nhỏ hơn.
• C. Xe thứ nhất có vận tốc lớn hơn.
• D. Không thể so sánh nếu chưa biết độ dài AB.

Đáp án và lý do

Chọn C . Thời gian xe thứ nhất ngắn hơn; với cùng S>0, v=S/t lớn hơn khi t nhỏ hơn. A mâu thuẫn với hai thời gian khác nhau; B đảo chiều quan hệ; D sai vì chỉ cần biết quãng đường như nhau để so sánh.

Câu C · Một chặng có thời gian nghỉ

Một xe đi quãng đường 90 km, vận tốc khi đang chạy luôn là 45 km/h, và nghỉ 20 phút dọc đường. Gọi T là tổng thời gian từ lúc xuất phát đến khi đến nơi, tính bằng giờ. Một bạn viết 90=45T. Mô hình này đúng không? Hãy tính T và vận tốc trung bình của cả hành trình.

Gợi ý

Đổi thời gian nghỉ sang giờ. Vận tốc 45 km/h chỉ áp dụng cho khoảng thời gian xe đang chạy, còn T gồm cả lúc nghỉ.

Lời giải và kiểm tra

20 phút bằng 1/3 giờ. Thời gian chạy là T-1/3, nên phương trình đúng là:

90=45\left(T-\frac13\right),\qquad T>\frac13.

Suy ra T=90/45+1/3=7/3 giờ, tức 2 giờ 20 phút. Vận tốc trung bình của cả hành trình là:

v_{\text{tb}}=\frac{90}{7/3}=\frac{270}{7}\approx38{,}57\text{ km/h}.

Giá trị này nhỏ hơn 45 km/h vì đã tính cả thời gian nghỉ. Kiểm tra: xe chạy 2 giờ được 90 km, rồi cộng đúng 20 phút nghỉ. Phương trình 90=45T sai do dùng vận tốc khi chạy cho cả khoảng thời gian có nghỉ.

Câu D · Điền phép toán

Vận tốc xuôi dòng bằng vận tốc riêng ... vận tốc dòng nước; vận tốc ngược dòng bằng vận tốc riêng ... vận tốc dòng nước.

Đáp án

Điền cộng rồi trừ : v+c và v-c, trong mô hình v>c>0.

Trước khi kết luận: kiểm tra đơn vị, chiều hơn/kém, điều kiện dương, từng phương trình gốc và đúng đại lượng được hỏi. Hệ phương trình là cách ghi lại mô hình, không phải bước thay thế việc đọc đề.

Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải