Đổi mức giảm giá: đang giữ đại lượng nào cố định?
Phân biệt dự đoán hóa đơn với suy ngược giá, dựng đầy đủ các mức giảm giữ cùng tổng tiền và kiểm tra khi một bộ dữ kiện mới không còn có giá dương.
TOÁN 9 · THAY ĐỔI GIẢ THIẾT TRONG MÔ HÌNH
Đổi mức giảm giá: đang giữ đại lượng nào cố định?
Phân biệt dự đoán hóa đơn với suy ngược giá, dựng đầy đủ các mức giảm giữ cùng tổng tiền và kiểm tra khi một bộ dữ kiện mới không còn có giá dương.
1. Đổi mức giảm giá không tự đổi giá niêm yết
Ví dụ độc lập: hai món có giá niêm yết 100 và 200 nghìn đồng. Món thứ nhất giảm 10\%, món thứ hai giảm 20\%, nên tiền trả là 90+160=250 nghìn đồng.
Nếu chỉ tăng mức giảm của món thứ nhất lên 30\%, giữ nguyên hai giá niêm yết và chính sách món thứ hai, tiền trả mới là 70+160=230. Không có lí do toán học nào buộc cửa hàng phải đổi giá niêm yết để hóa đơn vẫn bằng 250.
Nếu một câu hỏi khác giữ tổng giá niêm yết 300 và hóa đơn 250, nhưng dùng các mức giảm mới 30\%,20\%, đó còn là cùng một tình huống không?
Thực tế bộ dữ kiện mới ấy không thể có hai giá dương: mỗi món chỉ phải trả nhiều nhất 80\% giá niêm yết, nên tổng không thể vượt 240. Bài học này phân biệt dự đoán khi các giá đã cố định với suy ngược các giá chưa biết từ một bộ giả thiết.
2. Viết rõ đại lượng nào được giữ cố định
Gọi giá niêm yết là x,y>0, cùng đơn vị tiền. Gọi các tỉ lệ giảm là 0\le\alpha,\beta\le1. Giảm a\%, với 0\le a\le100, nghĩa là \alpha=a/100, nên phần phải trả bằng 1-a/100.
S=x+y,\qquad
T=(1-\alpha)x+(1-\beta)y.
Tổng số tiền được giảm là
G=S-T=\alpha x+\beta y.
Ba công thức liên hệ giá, chính sách và hóa đơn. Muốn hỏi “nếu thay đổi một dữ kiện thì sao?”, phải nêu rõ những đại lượng còn lại giữ nguyên. Không thể vừa thay một mức giảm, vừa mặc nhiên giữ mọi giá và tổng tiền như cũ.
Giữ giá cố định, thay chính sách
Nếu chỉ đổi \alpha thành \alpha+\delta, với -\alpha\le\delta\le1-\alpha, thì
T_{\text{mới}}-T=-\delta x.
Vì x>0, tăng mức giảm làm số tiền trả giảm đúng \delta x. Nếu cả hai tỉ lệ đổi lần lượt thêm \delta,\eta, vẫn trong đoạn [0,1], thì
T_{\text{mới}}-T=-\delta x-\eta y.
Đây là dự đoán trong một mô hình giữ x,y cố định. Nó chưa nói gì về việc suy ra một bộ giá khác khi dữ kiện hóa đơn cũng được yêu cầu giữ nguyên.
3. Giữ giá và hóa đơn: có bao nhiêu cách chia mức giảm?
Giữ x,y>0 và một tổng giảm mong muốn G. Điều kiện cần là 0\le G\le x+y, vì không giảm âm và không giảm quá toàn bộ giá. Ta tìm tất cả \alpha,\beta\in[0,1] thỏa
\alpha x+\beta y=G.
Chọn \alpha, rồi công thức buộc
\beta=\frac{G-\alpha x}{y}.
Vì x,y>0, điều kiện 0\le\beta\le1 tương đương G-y\le\alpha x\le G. Kết hợp 0\le\alpha\le1, toàn bộ các lựa chọn là
\boxed{\max\left(0,\frac{G-y}{x}\right)
\le\alpha\le
\min\left(1,\frac Gx\right),\qquad
\beta=\frac{G-\alpha x}{y}.}
Chiều cần đã có từ việc biến đổi các giới hạn tỉ lệ. Chiều đủ: mỗi \alpha trong đoạn cho \beta\in[0,1], và thế lại cho \alpha x+\beta y=G. Không có lựa chọn nào bị bỏ sót.
Đoạn không rỗng khi 0\le G\le x+y. Thật vậy, mỗi trong hai cận dưới đều không vượt mỗi cận trên: 0\le1,\ 0\le G/x,\ (G-y)/x\le1,\ (G-y)/x<G/x. Lấy cận lớn hơn bên trái và cận nhỏ hơn bên phải vẫn giữ thứ tự.
Các đầu mút và tính không duy nhất
Nếu G=0, chỉ có \alpha=\beta=0. Nếu G=x+y, chỉ có \alpha=\beta=1. Nếu 0<G<x+y, cặp \alpha=\beta=G/(x+y) nằm trong phần trong của hình vuông tỉ lệ. Tăng \alpha một lượng dương đủ nhỏ và giảm \beta một lượng bằng \delta x/y vẫn giữ cả hai trong [0,1] và giữ tổng giảm G. Vì vậy có nhiều, thực ra vô số, cách chia mức giảm.
4. Một bộ giá chọn từ tài liệu nguồn
Một ba lô và một máy tính cầm tay có tổng giá niêm yết 885 nghìn đồng. Ba lô giảm 20\%, máy tính giảm 25\%, tổng trả 682 nghìn đồng. Gọi giá niêm yết tương ứng là x,y>0, tính bằng nghìn đồng.
x+y=885,\qquad
\frac45x+\frac34y=682.
Thay y=885-x, ta được
\frac1{20}x=682-\frac34\cdot885
=\frac{73}{4},\qquad x=365,\quad y=520.
Kiểm lại: 365+520=885; tiền trả 292+390=682. Tổng giảm là 73+130=203 nghìn đồng.
Bây giờ đã biết giá 365,520, muốn giữ hóa đơn 682 thì chỉ cần giữ tổng giảm G=203. Công thức mục 3 cho toàn bộ chính sách phù hợp:
\boxed{0\le\alpha\le\frac{203}{365},\qquad
\beta=\frac{203-365\alpha}{520}.}
Ở \alpha=0, máy tính giảm 203/520; ở \alpha=203/365, máy tính không giảm. Cả hai đầu đều hợp lệ theo mô hình cho phép tỉ lệ từ 0 đến 1.
Nếu ba lô giảm 30\%, tức \alpha=3/10, cần
\beta=\frac{203-365\cdot3/10}{520}
=\frac{187}{1040}\approx0{,}1798077.
Máy tính khi ấy giảm khoảng 17{,}98\%, và tổng tiền vẫn bằng 682. Phải dùng phân số chính xác để bảo đảm hóa đơn đúng tuyệt đối; con số phần trăm làm tròn chỉ để mô tả.
Cả đoạn xanh là các chính sách phù hợp khi hai giá niêm yết giữ nguyên. Vị trí Q dùng tỉ lệ chính xác 187/1040; số phần trăm trong chú giải được làm tròn.
5. Đổi mức giảm nhưng giữ hai tổng: một bài toán ngược khác
Giờ xét một họ dữ kiện khác: giữ S=885, T=682, mức giảm máy tính \beta=1/4, nhưng xem mức giảm ba lô \alpha\in[0,1] là tham số. Các giá x,y chưa biết và phải được suy ra cho từng bộ dữ kiện.
Từ y=885-x, phương trình tiền cho
\left(\frac14-\alpha\right)x=\frac{73}{4}.
Vế phải dương. Muốn x>0, cần \alpha<1/4; khi đó
x=\frac{73}{1-4\alpha},\qquad y=885-x.
Điều kiện y>0 tương đương x<885. Vì mẫu đang dương,
\frac{73}{1-4\alpha}<885
\quad\Longleftrightarrow\quad
\alpha<\frac{203}{885}.
Vậy điều kiện cần và đủ để bộ dữ kiện này có hai giá dương là
\boxed{0\le\alpha<\frac{203}{885}.}
Đoạn này khác miền chính sách ở mục 4: tại đó hai giá giữ nguyên và cả hai mức giảm được lựa chọn; ở đây mức giảm máy tính cố định, còn hai giá cần suy ra. Chiều ngược được kiểm trực tiếp: trong đoạn này, công thức cho 0<x<885, y>0, và thỏa cả hai phương trình. Tại đầu bị loại \alpha=203/885, chỉ còn x=885,y=0, trái yêu cầu hai giá dương.
Nếu \alpha=1/4, không được chia cho mẫu bằng không. Khi đó cả hai món đều trả 75\%, nên hóa đơn phải là 663{,}75, không phải 682: dữ kiện mâu thuẫn. Nếu một bài khác thật sự cho T=663{,}75 cùng hai mức giảm 25\%, tổng tiền sẽ không tách được hai giá riêng.
6. Hai cách hiểu của câu “đổi giảm giá xuống 10 phần trăm”
Giữ các giá đã biết: ba lô vẫn 365, máy tính vẫn 520, chỉ giảm ba lô từ 20\% xuống 10\%. Hóa đơn mới là
\frac9{10}\cdot365+\frac34\cdot520
=718{,}5\text{ nghìn đồng}.
Giữ hai tổng của bài toán ngược: nếu vẫn đòi x+y=885,\ T=682, đồng thời dùng giảm 10\%,25\%, công thức mục 5 cho
x=\frac{365}{3},\qquad
y=\frac{2290}{3}\quad\text{(nghìn đồng)}.
Thử lại: tổng hai giá bằng 885, tiền trả bằng 109{,}5+572{,}5=682. Đây là một bộ giá giả định khác, không phải kết luận rằng thay chính sách tự làm các giá 365,520 biến thành những số mới.
Cả hai tình huống vẫn giảm máy tính 25 phần trăm. Hộp trên dự đoán hóa đơn mới với giá cũ; hộp dưới giải một bộ dữ kiện giả định giữ cả hai tổng.
Cùng một phương trình có thể dùng để dự đoán tiền trả hoặc suy ngược giá. Kết luận khác nhau vì những đại lượng được giữ cố định khác nhau, không phải vì hai lời giải mâu thuẫn.
7. Chuyển giao: giữ một tổng giảm mới
Ví dụ độc lập: giá niêm yết hai món là 100,200 nghìn đồng; muốn hóa đơn 240. Tìm mọi cặp tỉ lệ giảm hợp lệ, rồi kiểm tra trường hợp món đầu giảm 40\%.
Gợi ý
Tổng giảm cần có là 300-240=60. Viết 100\alpha+200\beta=60, giữ 0\le\alpha,\beta\le1.
Lời giải với đầy đủ miền
0\le\alpha\le\frac35,\qquad
\beta=\frac3{10}-\frac{\alpha}{2}.
Mỗi cặp trong đoạn cho đúng tổng giảm 60. Với \alpha=2/5, ta được \beta=1/10; tiền trả là 60+180=240. Nếu đòi món đầu giảm 80\%, riêng khoản giảm đầu đã là 80>60, nên không có mức giảm không âm cho món thứ hai để giữ hóa đơn 240.
Trước khi biến đổi một mô hình, hãy ghi rõ giá nào đã biết, tổng nào được quan sát và chính sách nào đang được thay. Sau đó kiểm các tỉ lệ có nằm trong [0,1], giá có dương và dữ kiện còn nhất quán hay không. Một phép giải đúng phải trả lời đúng câu hỏi về những đại lượng đang được giữ.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu