Toán 6: nhóm để tính, đếm để chứng minh
Từ tập hợp và tính chất phép toán đến chia hết của tổng lũy thừa; hiểu rõ điều kiện khi đếm tiền, tính diện tích và lát gạch.
TOÁN 6 · SỐ TỰ NHIÊN, CHIA HẾT VÀ MÔ HÌNH HÌNH HỌC
Toán 6: nhóm để tính, đếm để chứng minh
Từ tập hợp và tính chất phép toán đến chia hết của tổng lũy thừa; hiểu rõ điều kiện khi đếm tiền, tính diện tích và lát gạch.
1. Một danh sách dài có thể có rất ít cấu trúc
Trong bài học này, kiến thức nền Toán 6 dẫn đến một câu hỏi chứng minh: vì sao tổng gồm gần hai nghìn lũy thừa có thể chia hết cho 13 mà không cần tính tổng? Ta sẽ đi từ cách đếm phần tử, nhóm phép tính, phân tích thừa số đến nhóm số hạng. Các tình huống mua sắm và lát sân giúp kiểm tra xem một phép tính đúng có mô tả đúng thực tế hay chưa.
Dự đoán: 1+3+3^2=13. Vậy nhóm tiếp theo 3^3+3^4+3^5 có chia hết cho 13 không? Nếu thêm đúng một số hạng vào một tổng đang chia hết, điều gì cần kiểm tra lại?
Quy ước trong bài: \mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}; dấu \cdot chỉ phép nhân, dấu : chỉ phép chia; dấu phẩy trong số thập phân là dấu thập phân. Ta dùng khoảng trắng để tách hàng nghìn, tránh nhầm với phép nhân.
2. Đếm phần tử khác nhau, không đếm số lần xuất hiện
Bỏ khoảng trắng và dấu thanh trong “KHAI GIẢNG”, ta có dãy chữ K, H, A, I, G, I, A, N, G. Dãy có 9 vị trí, nhưng tập hợp các chữ cái là
T=\{K,H,A,I,G,N\},
chỉ có 6 phần tử. Một tập hợp ghi nhận chữ nào có mặt; một dãy còn ghi nhận thứ tự và số lần xuất hiện. Vì thế hai câu hỏi “có bao nhiêu chữ được viết?” và “có bao nhiêu chữ khác nhau?” cần hai cách đếm.
Một điểm cần nói chính xác: Trong kí hiệu tập hợp, \{K,H,A,I,G,N,G\} vẫn biểu diễn cùng tập hợp T, vì phần tử lặp không tạo ra phần tử mới. Viết mỗi phần tử một lần là cách trình bày gọn, không phải quy tắc biến một cách liệt kê có lặp thành tập hợp khác. Do đó không thể dùng riêng chữ lặp để tạo những lựa chọn “tập hợp đúng” và “tập hợp sai”.
Với P=\{x\in\mathbb N\mid x\le7\}, quy ước về \mathbb N cho
P=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}.
Vì vậy 0\in P, 3\in P, còn 8 và 12 không thuộc P. Giới hạn “không vượt quá 7” có chứa đầu mút 7.
Cách phân biệt kí hiệu với giá trị cũng xuất hiện ở số 12\,758: chữ số 2 ở hàng nghìn có giá trị 2\cdot1000=2000, bởi
12\,758=1\cdot10\,000+2\cdot1000+7\cdot100+5\cdot10+8.
Thử chuyển giao
Tập hợp chữ số của số 1001 có 2 phần tử là 0,1, nhưng số đó có 4 chữ số. Hai chữ số 1 đóng góp các giá trị khác nhau: 1000 và 1.
3. Nhóm để giữ nguyên giá trị và làm phép tính sáng hơn
Tính chất phân phối cho phép gộp các tích có cùng thừa số:
63\cdot46+63\cdot54=63(46+54)=63\cdot100=6300.
Tính giao hoán và kết hợp của phép cộng cho phép ghép số thành trăm tròn:
245+127+355+273=(245+355)+(127+273)=600+400=1000.
Các bước này giữ nguyên giá trị. Nhưng không được tự do đổi nhóm trong phép trừ: (10-3)-2=5, trong khi 10-(3-2)=9.
Lũy thừa là tích lặp
Với số tự nhiên n\ge1, a^n là tích của n thừa số đều bằng a. Vì vậy 4^3=4\cdot4\cdot4=64, không phải 4\cdot3=12. Với a>0, đặt a^0=1. Ghép hai dãy thừa số cho
a^m\cdot a^n=a^{m+n}\qquad(m,n\in\mathbb N).
Chẳng hạn 2^2\cdot2^5=2^7=128; quy tắc cộng số mũ đòi hỏi cùng cơ số và phép toán giữa hai lũy thừa là phép nhân. Phản ví dụ với phép cộng: 2^2+2^5=36\ne128.
Ngoặc là chỉ dẫn về cấu trúc
Xét biểu thức đầy đủ
120:\left\{54-\left[50:2-(3^2-2\cdot4)\right]\right\}.
Tính từ trong ra ngoài: 3^2-2\cdot4=9-8=1; ngoặc vuông là 25-1=24; ngoặc nhọn là 54-24=30. Mẫu chia cuối khác 0, nên kết quả 120:30=4. Không thực hiện 54-50 trước vì 50 còn nằm trong một nhóm có phép chia và phép trừ riêng.
4. Chia hết: tìm thừa số, và chứng minh hai chiều
Với số tự nhiên a và số tự nhiên b>0, nói “a chia hết cho b” nghĩa là tồn tại số tự nhiên k sao cho a=bk. Nếu a=bk và c=b\ell, thì a+c=b(k+\ell), nên tổng cũng chia hết cho b.
Tại sao cộng các chữ số lại kiểm tra được chia hết cho 3?
Với một số có ba chữ số \overline{abc}=100a+10b+c, ta có
\overline{abc}=99a+9b+(a+b+c).
Hai hạng đầu chia hết cho 3. Do đó số ban đầu chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng chữ số chia hết cho 3: chiều thuận lấy số ban đầu trừ 99a+9b; chiều ngược cộng trở lại.
Để số \overline{32d} chia hết cho 3, chữ số d\in\{0,1,\ldots,9\} phải làm 5+d chia hết cho 3. Trong khoảng từ 5 đến 14, các bội của 3 là 6,9,12; vì vậy chính xác d\in\{1,4,7\}. Việc xét cả khoảng chữ số bảo đảm không bỏ sót.
Tương tự, 20+35=55 chia hết cho 5, nên 55+x chia hết cho 5 khi và chỉ khi x chia hết cho 5. Trong \{5,16,25,135\}, chỉ 16 làm tổng không chia hết cho 5, vì 55+16=71.
Tổng chia hết không buộc từng số hạng chia hết. Ví dụ 1+2=3 chia hết cho 3, dù cả 1 lẫn 2 đều không chia hết cho 3. Vì thế cần phân biệt mệnh đề và mệnh đề đảo.
Số nguyên tố và một phép phân tích đã hoàn tất
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước dương là 1 và chính nó. Nếu 19 có hai thừa số cùng lớn hơn 1, ít nhất một thừa số không vượt quá 4, vì 5\cdot5>19. Nhưng 19 không chia hết cho 2,3,4; vậy 19 là nguyên tố. Các số 20,21,22 là hợp số do 20=2\cdot10, 21=3\cdot7, 22=2\cdot11.
140=2\cdot70=2\cdot2\cdot35=2^2\cdot5\cdot7.
Ở dòng cuối mọi thừa số đều nguyên tố. Tích 4\cdot5\cdot7 vẫn bằng 140, nhưng chưa là phân tích hoàn toàn ra thừa số nguyên tố vì 4 còn phân tích được. Số 1 không nguyên tố, vì chỉ có một ước dương.
5. Tìm số chưa biết: biến đổi được đảo ngược và không bỏ nghiệm
Trong các tình huống sau, x\in\mathbb N. Ta thực hiện phép toán ngược rồi thay lại:
- x-61=59 cho x=120; kiểm tra 120-61=59.
- 3(x+1)=42 cho x+1=14, rồi x=13; kiểm tra 3\cdot14=42.
- 3^x-13=14 cho 3^x=27=3^3, nên x=3. Vì dãy 1,3,9,27,\ldots tăng nghiêm ngặt khi mỗi bước nhân với 3>1, không có số mũ tự nhiên khác cho cùng giá trị 27.
Nếu yêu cầu 60 chia hết cho x và 5\le x\le35, cần tìm tất cả các ước trong khoảng. Ghép các cặp thừa số:
60=1\cdot60=2\cdot30=3\cdot20=4\cdot15=5\cdot12=6\cdot10.
Không còn cặp nào bị thiếu: ở mỗi cặp, thừa số nhỏ không vượt quá 7, vì 8\cdot8>60; ta đã thử 1 đến 7, và 7 không là ước. Lọc điều kiện cho
x\in\{5,6,10,12,15,20,30\}.
Điều kiện x\ge5 đồng thời loại phép chia cho 0. Một nghiệm như x=10 đúng, nhưng chưa trả lời đủ câu hỏi “tất cả”.
6. Nhóm các lũy thừa để lộ một thừa số chung
Xét
A=1+3+3^2+\cdots+3^{1990}+3^{1991}.
Số mũ chạy từ 0 đến 1991, nên có 1991-0+1=1992 số hạng, không phải 1991. Vì 1992=3\cdot664, ta ghép được đúng 664 nhóm, mỗi nhóm ba số hạng liên tiếp:
\begin{aligned}A={}&(1+3+3^2)+(3^3+3^4+3^5)\\&+\cdots+(3^{1989}+3^{1990}+3^{1991}).\end{aligned}
Nhóm thứ k+1, với k=0,1,\ldots,663, bằng
3^{3k}+3^{3k+1}+3^{3k+2}=3^{3k}(1+3+3^2)=13\cdot3^{3k}.
Mỗi nhóm chứa thừa số 13, nên tổng của chúng chia hết cho 13. Không cần tính số nguyên khổng lồ A.
Các ô ghi số mũ, không ghi giá trị lũy thừa. Cùng một cách nhóm vừa kiểm soát số lượng số hạng, vừa chỉ ra thừa số chung.
Tự thử trước: đổi cơ số thành 2
Chứng minh 1+2+2^2+\cdots+2^{299} chia hết cho 7. Có 300=3\cdot100 số hạng. Mỗi nhóm ba số hạng liên tiếp bằng 2^{3k}(1+2+2^2)=7\cdot2^{3k}; cộng 100 nhóm kết thúc chứng minh.
7. Thêm một số hạng có thể làm hỏng chia hết
Đặt A_N=1+3+\cdots+3^{N-1} với N\ge1. Ta đã biết: nếu N là bội của 3, thì A_N chia hết cho 13. Mệnh đề đảo có đúng không?
Trước hết, 3^{3q}=27^q luôn có số dư 1 khi chia cho 13. Chứng minh không cần tính lũy thừa: với q=0, giá trị là 1. Nếu 27^q=13k+1, thì
27^{q+1}=27(13k+1)=13(27k+2)+1.
Mỗi lần tăng q thêm 1, số dư vẫn là 1; do đó tính chất đúng với mọi số tự nhiên q.
Chia N cho 3, chỉ có ba trường hợp:
- N=3q: các nhóm đều trọn vẹn, số dư của A_N khi chia 13 là 0.
- N=3q+1: sau các nhóm trọn, còn 3^{3q}, nên số dư là 1.
- N=3q+2: còn 3^{3q}+3^{3q+1}=4\cdot3^{3q}, nên số dư là 4.
Khi q=0, phần nhóm trọn là tổng rỗng, bằng 0; hai trường hợp cuối vẫn đúng. Kết luận: A_N chia hết cho 13 khi và chỉ khi N chia hết cho 3.
Phản ví dụ cho việc “tổng tương tự chắc vẫn chia hết”: Thêm 3^{1992} vào A cho 1993 số hạng. Tổng mới dư 1 khi chia 13, nên không còn chia hết. Số mũ cuối và số số hạng khác nhau một đơn vị.
8. Đếm tiền theo đơn vị của từng mặt hàng
Huy mua một bộ sách giá 230\,000 đồng, 10 quyển vở giá 7500 đồng mỗi quyển, 3 bút chì giá 4000 đồng mỗi chiếc và 2 hộp bút bi giá 40\,000 đồng mỗi hộp. Không có giảm giá hoặc phí thêm.
\begin{aligned}T={}&230\,000+10\cdot7500\\&+3\cdot4000+2\cdot40\,000\\={}&230\,000+75\,000+12\,000+80\,000\\={}&397\,000\text{ đồng}.\end{aligned}
Giá bút bi được cho theo hộp , nên nhân số hộp, không tự giả định số chiếc trong một hộp. Mỗi tích có dạng “số lượng nhân giá một đơn vị”, rồi mới cộng tiền của các loại.
Chuyển giao có điều kiện
Nếu chỉ có 400\,000 đồng, sau giỏ hàng trên còn 3000 đồng. Vì một quyển vở thêm giá 7500, không đủ mua thêm vở. Nếu bỏ một hộp bút bi, số tiền còn lại thành 43\,000, đủ mua nhiều nhất 5 vở vì 5\cdot7500=37\,500\le43\,000<45\,000=6\cdot7500.
9. Diện tích cho số gạch cần, nhưng cần kiểm tra cách lát
Sân hình chữ nhật dài 50 m, rộng 30 m. Trong sân có 8 bồn hoa hình vuông cạnh 2 m, nằm hoàn toàn trong sân và không chồng lên nhau. Diện tích toàn sân, bồn hoa và phần còn lại là
S_{\text{sân}}=50\cdot30=1500\text{ m}^2,S_{\text{hoa}}=8\cdot2^2=32\text{ m}^2,\qquad S_{\text{chơi}}=1500-32=1468\text{ m}^2.
Gạch vuông cạnh 50 cm có cạnh 0{,}5 m, nên diện tích mỗi viên 0{,}5^2=0{,}25\text{ m}^2. Chia diện tích cho thấy cần tương đương
1468:0{,}25=5872\text{ viên}.
Để kết luận đúng 5872 viên nguyên lát kín , ta bổ sung một bố trí cụ thể: lấy góc trái dưới sân làm mốc, các cạnh bồn song song cạnh sân; góc trái dưới mỗi bồn có hoành độ 8,18,28,38 m và tung độ 8 hoặc 20 m. Mọi cạnh bồn nằm trên lưới ô vuông cạnh 0{,}5 m. Không tính mạch vữa, hao hụt hoặc viên vỡ.
Bố trí độc lập được nêu đầy đủ để kiểm tra việc lát nguyên viên. Tỉ lệ sân và bồn được giữ đúng; hình không vẽ từng ô gạch nhỏ.
Có 100\cdot60=6000 ô gạch trong hình chữ nhật toàn sân. Mỗi bồn chiếm 4\cdot4=16 ô, nên số ô còn lại 6000-8\cdot16=5872. Đây là một cách dựng việc lát , không chỉ là thương của hai diện tích.
Diện tích bằng nhau chưa đủ bảo đảm lát được bằng viên nguyên. Một dải chữ nhật 1 m nhân 0{,}25 m có cùng diện tích với một viên vuông cạnh 0{,}5 m, nhưng viên nguyên đó không nằm vừa dải rộng 0{,}25 m. Nếu cho phép cắt và ghép thì đó là một mô hình khác.
10. Nhận dạng hình phải dựa vào điều kiện
Lục giác đều
Một lục giác đều là lục giác lồi có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau. Kẻ ba đường chéo từ một đỉnh đến ba đỉnh không kề, ta chia hình thành 4 tam giác không chồng phần trong. Tổng góc trong là 4\cdot180^\circ=720^\circ; do sáu góc bằng nhau, mỗi góc bằng 120^\circ.
Góc 60^\circ là mỗi góc của tam giác đều, không phải góc trong của lục giác đều. Một đường bao tam giác đều vẫn là tam giác đều khi quay ngược. Ở đây ta chỉ nhận dạng hình học của đường bao, không suy ra ý nghĩa hoặc nhóm pháp lí của biển báo từ hình dạng.
Hình bình hành
Hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song. Từ các góc trong cùng phía, hai góc kề bù nhau. Nếu các đỉnh theo thứ tự là A,B,C,D, thì \angle A+\angle B=180^\circ và \angle B+\angle C=180^\circ; trừ hai đẳng thức được \angle A=\angle C. Tương tự \angle B=\angle D.
Hai góc kề chỉ bằng nhau khi mỗi góc là 90^\circ. Hình bình hành có góc 60^\circ và 120^\circ là phản ví dụ cho việc khẳng định hai góc kề luôn bằng nhau. Hình chữ nhật cạnh 2 và 3 là phản ví dụ cho việc khẳng định mọi hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau.
Mở rộng THCS: vì sao hai đường chéo không luôn bằng nhau?
Ghép hai tam giác đều cạnh 2 ở hai phía của một cạnh chung. Đường bao là hình thoi, cũng là hình bình hành; một đường chéo chính là cạnh chung, dài 2. Mỗi đường cao của tam giác đều bằng \sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3 theo định lí Pythagore. Đường chéo còn lại dài 2\sqrt3, khác 2. Phản ví dụ này dùng kiến thức căn bậc hai và Pythagore học tiếp ở THCS; phần nhận biết Toán 6 chỉ cần nhớ rằng “hai đường chéo bằng nhau” không phải tính chất chung của mọi hình bình hành.
11. Một lời giải đầy đủ trả lời được điều gì?
- Ta đang đếm các vị trí, các phần tử khác nhau hay các số hạng?
- Phép nhóm có dựa vào tính chất đúng với phép toán đang dùng không?
- Khi dùng dấu hiệu chia hết, đã chứng minh hoặc biết rõ cả chiều thuận và chiều đảo chưa?
- Đã kiểm tra số hạng cuối sau khi nhóm, và đã thử một trường hợp thừa một số hạng chưa?
- Khi chia diện tích ra số viên, đã có điều kiện bảo đảm lát được bằng viên nguyên chưa?
Cùng một thói quen xuất hiện xuyên suốt: đếm đúng đối tượng, giữ đúng điều kiện, rồi dùng một cấu trúc lặp để thay cho nhiều phép tính riêng lẻ.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu