Tập hợp và phép tính: đọc đúng điều kiện, biến đổi có lí do
Hiểu biên của tập hợp, cấu trúc phép tính và phép toán ngược; giải đủ các bài mẫu cùng bốn bài tự luyện, có dự đoán, gợi ý và kiểm tra bằng thay số.
TOÁN 6 · TẬP HỢP, TÍNH HỢP LÍ VÀ TÌM SỐ CHƯA BIẾT
Tập hợp và phép tính: đọc đúng điều kiện, biến đổi có lí do
Hiểu biên của tập hợp, cấu trúc phép tính và phép toán ngược; giải đủ các bài mẫu cùng bốn bài tự luyện, có dự đoán, gợi ý và kiểm tra bằng thay số.
TOÁN 6 · TƯ DUY TRƯỚC KHI TÍNH
Ba cách đọc để hiểu một bài toán
Một dấu bất đẳng thức quyết định số nào được chọn. Một dấu ngoặc quyết định phép tính nào làm trước. Khi tìm số chưa biết, ta đi ngược các phép tính rồi thử lại. Bài học này giúp em giải thích được từng bước, thay vì chỉ nhớ đáp số.
Cách học: không dùng máy tính; tập trung giải thích cách biến đổi. Dừng ở các câu “Dự đoán”, viết câu trả lời trước khi mở gợi ý. Các lời giải mẫu luôn hiển thị để em đối chiếu cách lập luận.
- Đọc một tập hợp như một danh sách điều kiện phải đồng thời thỏa mãn
- Nhận ra thừa số chung, cặp số thuận tiện và thứ tự phép tính
- Tìm số chưa biết bằng phép toán ngược và kiểm tra bằng thay số
CHẶNG 1 · ĐỌC ĐIỀU KIỆN
Tập hợp: qua đủ các “cửa” mới được chọn
Xét cách viết B=\{x\in\mathbb N\mid 5<x\le 8\}. Dấu gạch đứng đọc là “sao cho”. Muốn thuộc B, một số phải thỏa mãn cả ba yêu cầu: là số tự nhiên, lớn hơn 5, và không vượt quá 8.
Kí hiệu a\in B nghĩa là “a thuộc B”; a\notin B nghĩa là “a không thuộc B”. Dấu < loại giá trị ở biên; dấu \le cho phép lấy giá trị ở biên.
Dự đoán trước khi xem hình
Trong hai số ở biên là 5 và 8, số nào được chọn? Số 6{,}5 nằm giữa hai biên, vậy có thuộc B không?
Mở gợi ý
Kiểm tra từng điều kiện. Nằm giữa hai biên chưa đủ: còn phải thuộc \mathbb N.
Đối chiếu dự đoán
Không lấy 5, có lấy 8. Không lấy 6{,}5 vì đây không phải số tự nhiên, dù 5<6{,}5\le 8.
Hình biểu diễn một đoạn của tia số. Các điểm được chọn là rời rạc; không tô kín khoảng giữa chúng vì x phải là số tự nhiên.
Bài 1 · Lời giải mẫu
Đề bài: Cho B=\{x\in\mathbb N\mid 5<x\le 8\}.
- Trong các số 5;\ 7, số nào thuộc B, số nào không thuộc B?
- Viết B bằng cách liệt kê các phần tử.
Câu a. Số 5 không thỏa mãn 5<x, nên 5\notin B. Số 7 là số tự nhiên và 5<7\le8, nên 7\in B.
Câu b. Số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 5 là 6. Đếm tiếp đến 8, kể cả 8, ta được:
B=\{6;\ 7;\ 8\}.
Tự kiểm chứng: mỗi phần tử đã liệt kê đều thỏa cả ba điều kiện; trước 6 và sau 8 không còn số tự nhiên nào thỏa mãn.
Chỗ dễ nhầm
Viết thêm 5 là đọc nhầm dấu <; bỏ 8 là đọc thiếu dấu bằng trong \le. Dùng dấu chấm phẩy giữa các phần tử để không nhầm với dấu phẩy của số thập phân.
Thử thay một điều kiện
Nếu chỉ đổi 5<x thành 5\le x, tập hợp mới có thêm phần tử nào?
Giải thích
Chỉ thêm 5. Tập hợp mới là \{5;6;7;8\}; các điều kiện còn lại giữ nguyên.
CHẶNG 2 · NHÌN CẤU TRÚC
Tính hợp lí là đổi cách tính nhưng giữ nguyên giá trị
Trước khi đặt bút tính, hãy hỏi: “Có phần nào lặp lại? Có số nào ghép được thành tổng thuận tiện? Có phép tính nào được ưu tiên?” Mỗi cách đổi phải dựa vào một tính chất, không phải đổi tùy ý.
Bài 2 · Thực hiện phép tính
Tính hợp lí nếu có thể:
a) 45\cdot35+45\cdot65
b) 174+38+26+12
c) \dfrac{47}{12}-\dfrac74:\dfrac35
Cùng một thừa số: gom các nhóm lại
Ở câu a, ta có 35 nhóm, mỗi nhóm 45, rồi thêm 65 nhóm cũng có 45. Tất cả có 35+65 nhóm. Đó là lí do của tính chất phân phối:
a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c).
Dự đoán: cần nhân 45 với tổng nào để thay cho hai phép nhân?
Gợi ý và dự đoán
Thừa số 45 giữ nguyên; cộng hai số chỉ số nhóm: 35+65=100.
Mẫu a · Gom trước, nhân sau
45\cdot35+45\cdot65=45\cdot(35+65)
=45\cdot100=4500.
Chỉ có hai thừa số 45 cùng loại được đặt ra ngoài. Không cộng chúng thành 90: mỗi nhóm đã được đếm trong tổng 35+65.
Một tổng nhiều số: đổi chỗ và ghép nhóm
Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp, nên có thể đổi thứ tự rồi đặt ngoặc mà không đổi tổng. Hãy tìm các số bù nhau để tạo tròn chục, tròn trăm.
Dự đoán: trong câu b, nên ghép 174 với 38, 26 hay 12? Vì sao?
Gợi ý và dự đoán
Ghép với 26 vì 174+26=200. Hai số còn lại cũng cho tổng tròn chục.
Mẫu b · Tạo hai tổng thuận tiện
174+38+26+12=(174+26)+(38+12)
=200+50=250.
Ta không thêm hay bỏ số nào. Cách ghép khác vẫn đúng nếu dùng đúng tính chất, nhưng có thể tính dài hơn.
Giới hạn của cách làm: không áp dụng việc đổi chỗ tùy ý cho phép trừ hoặc phép chia. Chẳng hạn 12:3=4, còn 3:12=\dfrac14.
Thứ tự phép tính: đọc đúng trước khi tính nhanh
Khi có ngoặc, thực hiện trong ngoặc trước. Với biểu thức không có ngoặc và chỉ gồm bốn phép tính, nhân và chia được làm trước cộng và trừ. Các phép tính cùng mức ưu tiên được thực hiện từ trái sang phải.
Ở câu c, phép trừ nối hai phần: \dfrac{47}{12} và toàn bộ thương \dfrac74:\dfrac35. Vì vậy, phải tính thương trước.
Vì sao chia cho một phân số lại nhân với phân số đảo ngược? Nếu q:\dfrac35=r thì r\cdot\dfrac35=q. Nhân với \dfrac53 sẽ hoàn tác phép nhân với \dfrac35, vì \dfrac35\cdot\dfrac53=1. Do đó r=q\cdot\dfrac53. Số chia phải khác 0.
Dự đoán: trong \dfrac74:\dfrac35, phân số nào phải đảo ngược?
Đối chiếu
Chỉ đảo số chia \dfrac35 thành \dfrac53. Giữ nguyên số bị chia \dfrac74.
Mẫu c · Tách thành hai bước
Bước đầu: tính thương.
\dfrac74:\dfrac35=\dfrac74\cdot\dfrac53=\dfrac{35}{12}.
Bước tiếp: thực hiện phép trừ. Hai phân số cùng mẫu nên trừ các tử số và giữ nguyên mẫu:
\dfrac{47}{12}-\dfrac{35}{12}=\dfrac{12}{12}=1.
Kiểm tra thương: \dfrac{35}{12}\cdot\dfrac35=\dfrac74. Phép chia đã được kiểm tra bằng phép nhân ngược.
Vì sao cách trừ trước là sai?
Nếu trừ trước, em đã tự thêm dấu ngoặc và đổi sang biểu thức khác:
\left(\dfrac{47}{12}-\dfrac74\right):\dfrac35
=\dfrac{26}{12}\cdot\dfrac53=\dfrac{65}{18}.
Phép tính của biểu thức có ngoặc này đúng, nhưng nó không phải biểu thức đề bài. Sai lầm nằm ở cách đọc thứ tự, không nằm ở việc kết quả là phân số.
Đáp số “đẹp” không chứng minh lời giải đúng. Một đáp số nguyên vẫn có thể do làm sai; một phân số không nguyên vẫn có thể hoàn toàn đúng. Ví dụ, giữ cách tính đúng nhưng đổi tử số đầu từ 47 thành 46, kết quả là \dfrac{11}{12}. Hãy kiểm tra quy tắc và từng phép biến đổi, không đoán đúng sai từ hình thức đáp số.
Chuyển cách nghĩ sang phép trừ
Không nhân riêng từng tích, tính 45\cdot65-45\cdot35. Cách đặt thừa số chung còn dùng được không?
Lời giải
Có, vì tính chất phân phối cũng áp dụng với hiệu:
45\cdot65-45\cdot35=45\cdot(65-35)=1350.
CHẶNG 3 · ĐI NGƯỢC ĐỂ TÌM SỐ CHƯA BIẾT
Tìm x: nhận vai trò, hoàn tác, thử lại
Một đẳng thức nói rằng hai vế có cùng giá trị. Ta giữ điều đó khi cộng hoặc trừ cùng một số ở hai vế, hay nhân hoặc chia hai vế cho cùng một số khác 0. Phép toán ngược giúp đưa phần chứa x về đơn giản hơn.
Đừng chỉ nhớ “chuyển vế, đổi dấu”. Hãy nói rõ mình đang hoàn tác phép cộng, phép trừ hay phép nhân nào. Riêng khi x là số trừ, hãy dùng quan hệ “số trừ cộng hiệu bằng số bị trừ”.
Bài 3 · Tìm x
a) x+25=236
b) \dfrac7{12}-x=\dfrac14
c) 2\cdot x-0{,}3=1{,}1
Mẫu a · Hoàn tác phép cộng
Muốn biết số ban đầu trước khi cộng 25, lấy kết quả trừ 25. Về đẳng thức, ta trừ 25 ở cả hai vế:
x+25-25=236-25
x=211.
Thử lại vào đề: 211+25=236. Hai vế bằng nhau, nên nghiệm thỏa mãn.
Mẫu b · Tìm phần đã bị bớt đi
Ở \dfrac7{12}-x=\dfrac14, x là phần bị lấy đi; \dfrac14 là phần còn lại. Vì phần lấy đi cộng phần còn lại bằng phần ban đầu, ta có x+\dfrac14=\dfrac7{12}.
Dự đoán: cần lấy \dfrac7{12}-\dfrac14 hay \dfrac14-\dfrac7{12} để tìm x? Hãy chỉ vào phần ban đầu và phần còn lại trong hình.
Cùng chia đơn vị thành các phần bằng nhau giúp nhìn thấy phép trừ. Phần màu vàng là x, không phải phần còn lại.
Lời giải nhìn từ cấu trúc
Muốn tìm số trừ, lấy số bị trừ trừ hiệu. Quy đồng trước khi trừ:
x=\dfrac7{12}-\dfrac14=\dfrac7{12}-\dfrac3{12}
x=\dfrac4{12}=\dfrac13.
Thử lại:
\dfrac7{12}-\dfrac13=\dfrac7{12}-\dfrac4{12}=\dfrac3{12}=\dfrac14.
Đừng đảo ngược phép trừ: \dfrac14-\dfrac7{12}=-\dfrac13 không phải phần bị bớt đi. Thay giá trị đó vào đề sẽ không cho \dfrac14. Vai trò của x, không phải vị trí đứng gần dấu bằng, quyết định cách tìm.
Mẫu c · Hoàn tác từ phép tính cuối cùng
Từ x, ta nhân với 2, rồi trừ 0{,}3 để được 1{,}1. Khi đi ngược, hoàn tác phép trừ cuối cùng trước, rồi mới hoàn tác phép nhân.
Bước đầu: cộng 0{,}3 vào hai vế.
2\cdot x=1{,}1+0{,}3=1{,}4.
Bước tiếp: chia cả hai vế cho 2.
x=1{,}4:2=0{,}7.
Thử lại bằng đúng thứ tự ban đầu:
2\cdot0{,}7-0{,}3=1{,}4-0{,}3=1{,}1.
Nếu viết x=1{,}1:2+0{,}3, em đã hoàn tác sai thứ tự. Cần cộng lại phần vừa bị trừ trước khi chia.
Đổi dấu ngoặc, đổi đường đi
Nếu phương trình là 2(x-0{,}3)=1{,}1, phép tính cuối cùng tác động lên x-0{,}3 là gì? Bước hoàn tác đầu tiên có còn là cộng 0{,}3 không?
Giải thích và thử lại
Phép tính cuối cùng là nhân với 2, nên chia hai vế cho 2 trước:
x-0{,}3=0{,}55,\qquad x=0{,}85.
Thử lại: 2(0{,}85-0{,}3)=2\cdot0{,}55=1{,}1. Dấu ngoặc thay đổi cấu trúc nên thứ tự hoàn tác cũng thay đổi.
TỰ LÀM · GỢI Ý CHỈ MỞ KHI CẦN
Bốn bài luyện để tự chọn phương pháp
Trước mỗi bài, viết một câu nêu cách nghĩ. Sau khi làm, đối chiếu cả cách biến đổi và kết quả.
Luyện 1 · Kiểm tra các biên
Viết C=\{x\in\mathbb N\mid3\le x<7\} bằng cách liệt kê. Số 7 có thuộc C không?
Gợi ý
Xem dấu nào có dấu bằng. Bắt đầu ở biên được lấy, dừng trước biên bị loại.
Lời giải và cách kiểm tra
C=\{3;\ 4;\ 5;\ 6\},\qquad 7\notin C.
Lấy 3 vì 3\le x; không lấy 7 vì x<7. Các số đã chọn đều là số tự nhiên và thỏa cả hai bất đẳng thức.
Luyện 2 · Nhận ra phần chung
Tính nhanh: 27\cdot64+27\cdot36.
Gợi ý
Hai tích có cùng thừa số nào? Tổng của hai thừa số còn lại có thuận tiện không?
Lời giải và cách kiểm tra
27\cdot64+27\cdot36=27\cdot(64+36)=27\cdot100=2700.
Kiểm tra bằng phân phối ngược: 27\cdot(64+36) phải khai triển đúng thành hai tích ban đầu.
Luyện 3 · Tìm phần bị bớt đi
Tìm x: \dfrac56-x=\dfrac14.
Gợi ý
x là số trừ. Lấy phần ban đầu trừ phần còn lại; dùng mẫu chung 12.
Lời giải và thử lại
x=\dfrac56-\dfrac14=\dfrac{10}{12}-\dfrac3{12}=\dfrac7{12}.
Thử lại:
\dfrac56-\dfrac7{12}=\dfrac{10}{12}-\dfrac7{12}=\dfrac3{12}=\dfrac14.
Luyện 4 · Đọc phép tính ưu tiên
Tính: \dfrac{11}{6}-\dfrac23:\dfrac45.
Gợi ý
Tính thương trước. Chỉ đảo ngược số chia, rồi quy đồng để thực hiện phép trừ.
Lời giải và cách kiểm tra
\dfrac23:\dfrac45=\dfrac23\cdot\dfrac54=\dfrac{10}{12}=\dfrac56.\dfrac{11}{6}-\dfrac56=\dfrac66=1.
Kiểm tra thương bằng phép nhân: \dfrac56\cdot\dfrac45=\dfrac23.
KẾT NỐI · TỰ KIỂM TRA
Em đã hiểu khi tự giải thích được “vì sao”
- Tôi giải thích được vì sao tập hợp B có 8 mà không có 5, và vì sao 6{,}5 cũng bị loại
- Tôi nêu được tính chất cho phép đặt thừa số chung hoặc đổi cách ghép một tổng
- Tôi khoanh đúng phép chia cần thực hiện trước trong một biểu thức có phép trừ
- Tôi phân biệt được x là số hạng, số trừ hay thừa số; với nhiều tầng, tôi hoàn tác từ phép tính cuối
- Tôi thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu và không coi đáp số “đẹp” là bằng chứng đúng
Câu hỏi chốt
Một bạn nói: “Em tìm được x=0{,}7, vậy mọi phương trình có 2, 0{,}3, 1{,}1 đều có nghiệm ấy.” Em sẽ dùng phép thử nào để phản biện?
Một cách trả lời
Thử vào 2(x-0{,}3)=1{,}1: vế trái bằng 2(0{,}7-0{,}3)=0{,}8, khác 1{,}1. Cùng các số nhưng khác cấu trúc thì có thể khác nghiệm.
Tự kiểm theo kĩ năng
Chọn một câu em chưa giải thích chắc, rồi tự trả lời:
- Tôi đã kiểm tra cả loại số và hai dấu ở biên của tập hợp chưa?
- Tính chất nào cho phép bước đổi chỗ, ghép nhóm hoặc đặt thừa số chung?
- Tôi đã giữ nguyên cấu trúc dấu ngoặc và đúng thứ tự phép tính chưa?
- Kết quả thay lại có thỏa đúng phương trình ban đầu không?
Nếu sai, tìm bước đầu tiên thiếu một lí do hợp lệ rồi làm lại từ đó. Việc sửa được cách nghĩ quan trọng hơn một tổng điểm.
Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải