🔥 [TOÁN 9 · ÔN TẬP] Tỉ Số Lượng Giác & Hệ Thức Lượng — Ứng Dụng Thực Tế

9 bài toán thực tế về tỉ số lượng giác của góc nhọn và hệ thức lượng trong tam giác vuông: bóng nắng, tòa tháp Bitexco, máy bay, cần cẩu, dốc đường, cột…

Cập nhật: 2026-09-30

Môn: Toán · Tài liệu THCS

THCS AI LUKATO · SPECIAL LECTURE

🔥 [TOÁN 9 · ÔN TẬP] Tỉ Số Lượng Giác & Hệ Thức Lượng — Ứng Dụng Thực Tế

9 bài toán thực tế từ cần cẩu, tòa nhà chọc trời, dốc đường đến cột ăng-ten — toàn bộ tỉ số lượng giác góc nhọn được dựng lại bằng sơ đồ chính xác từng độ, kèm 2 bẫy thường gặp được phân tích kỹ.

TOÁN 9 ÔN TẬP TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC 2 BẪY THƯỜNG GẶP KIỂM TRA KẾT QUẢ

Bản đồ Lý thuyết Tính nhanh Tự luận Bẫy & kiểm tra

00 · HỒ SƠ CHUYÊN ĐỀ

Từ bóng nắng đến cột ăng-ten → một công thức duy nhất

9 bài toán thực tế

6 sơ đồ bài toán dựng đúng góc

2 bẫy thường gặp được phân tích

01 · KHÓA LÝ THUYẾT

Ba công cụ giải mọi bài toán "đo gián tiếp"

1) Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông

Với tam giác vuông tại A, góc nhọn B:

sin B = đối/huyền cos B = kề/huyền

tan B = đối/kề cot B = kề/đối

Bài toán thực tế luôn quy về một trong bốn tỉ số này — việc đầu tiên là xác định đúng cạnh nào là "đối", cạnh nào là "kề" so với góc đã cho.

2) Góc nâng – góc hạ (góc so với phương ngang)

Đứng ở A, ngắm theo phương ngang AH rồi ngước lên đỉnh vật C — góc α giữa hai tia đó là góc nâng . Nếu đứng trên cao nhìn xuống thì góc tương ứng gọi là góc hạ . Luôn có \tan\alpha=\dfrac{HC}{AH}=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}.

3) Hai tia nắng song song ⇒ hai góc bằng nhau ⇒ tam giác đồng dạng

Cùng một thời điểm, mọi tia nắng mặt trời song song với nhau ⇒ góc tạo bởi tia nắng và mặt đất là như nhau ở mọi vị trí. Vật cao – bóng dài theo đúng một tỉ lệ ⇒ đây là chìa khóa của các bài toán "so sánh bóng" (Bài 6).

chiều cao vật 1 / bóng vật 1 = chiều cao vật 2 / bóng vật 2 (= tan góc nắng)

02 · TÍNH NHANH – ĐÁP SỐ

Khởi động: bốn bài tan – một dòng công thức

Bài · Đề rút gọn · Công thức · Đáp số

1 · Cây có bóng dài 30 m, góc nắng 30^{\circ} · h=30\tan30^{\circ} · 10\sqrt3\approx17{,}32 m

2 · Tháp có bóng dài 86 m, góc nắng 34^{\circ} · h=86\tan34^{\circ} · \approx58{,}01 m

3 · Tháp có bóng dài 92 m, góc nắng \approx30^{\circ} · h=92\tan30^{\circ} · \approx53{,}12 m

4 · Đứng tại C cách chân B của tòa tháp Bitexco (TP. Hồ Chí Minh) BC=151{,}5 m, nhìn lên đỉnh A với góc nâng \widehat{BCA}=60^{\circ} · h=AB=151{,}5\tan60^{\circ} · =151{,}5\sqrt3\approx262{,}4 m

Bài 4: tam giác ABC vuông tại B, góc nâng tại C bằng 60^{\circ} ⇒ \tan60^{\circ}=\dfrac{AB}{BC} ⇒ AB=151{,}5\sqrt3\approx262{,}4 m — khớp với chiều cao thực tế khoảng 262 m của tòa tháp. Hình vẽ đúng góc 60^{\circ}, không theo tỉ lệ thật.

BÀI 5 – NB BẪY ĐỔI ĐƠN VỊ THỜI GIAN

Máy bay bay lên 600 km/h, góc nâng 35^{\circ} — sau 1 phút lên cao bao nhiêu km?

Cách sai thường gặp là nhân thẳng vận tốc (km/h) với sin35° mà quên đổi đơn vị thời gian — kết quả 344,2 km thực chất là độ cao sau 1 giờ bay, không phải sau 1 phút như đề hỏi.

Lời giải đầy đủ & phân tích cách sai thường gặp

Đổi vận tốc theo phút: 600 km/h \Rightarrow trong 1 phút =\dfrac1{60} giờ, máy bay bay được quãng đường:

AB = 600 × 1/60 = 10 km

Xét \triangle ABH vuông tại H (H là hình chiếu của B xuống phương ngang qua A), góc nâng \widehat{BAH}=35^{\circ}:

BH = AB × sin35° = 10 × sin35° ≈ 5,74 (km)

Bẫy thường gặp: nhiều bạn viết đáp số 600\times\sin35^{\circ}\approx344{,}2 km — đây là kết quả nếu máy bay bay 1 giờ chứ không phải 1 phút như đề bài yêu cầu. Nguyên nhân: quên đổi 600 km/h thành quãng đường của đúng 1 phút trước khi nhân với \sin35^{\circ}. Đáp số đúng của đề bài (sau 1 phút) là \boxed{\approx5{,}74\text{ km}}.

03 · TỰ LUẬN – SƠ ĐỒ CHÍNH XÁC TỪNG ĐỘ

Bốn bài toán thực tế, giải trọn từ đầu đến cuối

BÀI 6 – TH Đồng dạng bóng nắng • 40 tầng

Tòa nhà bóng 272 m, cột đèn cao 7 m bóng 14 m, mỗi tầng cao 3,4 m — tòa nhà cao bao nhiêu tầng?

Cùng một thời điểm ⇒ hai góc nắng bằng nhau (hai hình vẽ không cùng tỉ lệ, chỉ để quan sát) ⇒ hai tam giác vuông đồng dạng ⇒ tỉ lệ chiều cao : bóng là như nhau ở cả cột đèn và tòa nhà.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều cao tòa nhà là AB (bóng AC=272 m), cột đèn là A'B'=7 m (bóng A'C'=14 m). Vì cùng thời điểm nên góc nắng bằng nhau: \widehat C=\widehat{C'}.

Xét hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có \widehat C=\widehat{C'} (góc nhọn) \Rightarrow \tan C=\tan C':

AB / AC = A'B' / A'C' ⇒ AB = (A'B' × AC) / A'C' = (7 × 272) / 14 = 136 m

Số tầng của tòa nhà:

136 ÷ 3,4 = 40 (tầng)

Kiểm tra lại: \tan(\text{góc nắng})=7/14=0{,}5=136/272 — hai tỉ số khớp nhau tuyệt đối, xác nhận phép tính nhất quán.

BÀI 7 – TH Cần cẩu nâng vật • góc nghiêng 40 độ

Xe cẩu cao 2,6 m, vật cao 1 m, cần nâng vật lên thêm 8,1 m — cần cẩu phải dài bao nhiêu?

D: đỉnh vật lúc đầu (cao 1 m). A: cùng độ cao với điểm gắn cần C trên xe (2,6 m). B: đỉnh vật sau khi được nâng thêm 8,1 m ⇒ AB=6,5 m là cạnh góc vuông đối diện góc 40° trong \triangle vuông tại A.

Lời giải chi tiết

Bước 1: A và C cùng độ cao (2,6 m, bằng chiều cao xe) nên AK=CH=2{,}6 m. Vì DK=1 m (chiều cao vật) \Rightarrow AD=AK-DK=2{,}6-1=1{,}6 m.

Bước 2: Vật được nâng thêm 8,1 m tính từ đỉnh ban đầu D ⇒ BD=8{,}1 m. Vì A nằm giữa D và B trên cùng đường thẳng đứng:

AB = BD − AD = 8,1 − 1,6 = 6,5 (m)

Bước 3: Xét \triangle ABC vuông tại A (vì CA nằm ngang, AB thẳng đứng), góc nghiêng của cần cẩu \widehat{ACB}=40^{\circ}:

sin C = AB/BC ⇒ BC = AB ÷ sin40° = 6,5 ÷ sin40° ≈ 10,1 (m)

Vậy cần cẩu phải dài khoảng \boxed{10{,}1\text{ m}}.

BÀI 8 – VDC Dốc đường • hai góc 6 độ và 4 độ

An đi từ nhà (A) đến trường (B), AB=762 m, leo dốc góc 6° rồi xuống dốc góc 4°. Xuất phát 6h sáng, tốc độ lên 4 km/h, xuống 19 km/h — An đến trường lúc mấy giờ?

Kẻ CH\perp AB. Hai tam giác vuông ACH (góc 6°) và BCH (góc 4°) chung cạnh CH ⇒ AH=CH/\tan6^{\circ}, BH=CH/\tan4^{\circ}, và AH+BH=AB=762.

a) Tính chiều cao con dốc CH

Xét \triangle ACH vuông tại H: \tan\widehat A=\dfrac{CH}{AH}\Rightarrow AH=\dfrac{CH}{\tan6^{\circ}}. Xét \triangle BCH vuông tại H: BH=\dfrac{CH}{\tan4^{\circ}}.

Mà AH+BH=AB=762:

CH × (1/tan6° + 1/tan4°) = 762 ⇒ CH ≈ 31,997 ≈ 32 (m)

Khi tính tiếp phần b, em giữ nguyên giá trị CH chưa làm tròn trong máy tính cầm tay để kết quả chính xác nhất.

b) An đến trường lúc mấy giờ?

Quãng đường lên dốc: AC=\dfrac{CH}{\sin6^{\circ}}\approx306{,}10 m. Quãng đường xuống dốc: CB=\dfrac{CH}{\sin4^{\circ}}\approx458{,}69 m.

Đổi vận tốc: 4 km/h =\dfrac{10}9 m/s; 19 km/h =\dfrac{95}{18} m/s.

t(lên) = 306,10 ÷ (10/9) ≈ 275,5 s t(xuống) = 458,69 ÷ (95/18) ≈ 86,9 s

Tổng thời gian: t_{AB}\approx275{,}5+86{,}9=362{,}4 giây \approx6 phút 02 giây.

Xuất phát lúc 6h sáng \Rightarrow An đến trường lúc khoảng \boxed{6\text{h}06\text{'}02"}.

BÀI 9 – VDC Cột ăng-ten trên nóc nhà • GỌI ĐÚNG TÊN ĐẠI LƯỢNG

Cột ăng-ten cao 5 m trên nóc nhà. Từ vị trí quan sát cao 7 m, nhìn thấy đỉnh và chân cột ăng-ten dưới góc 50° và 40° so với phương ngang. Tòa nhà (không kể ăng-ten) cao bao nhiêu?

E: điểm cùng độ cao với A (7 m) trên mặt đứng tòa nhà. C: nóc nhà thật (chân cột ăng-ten). B: đỉnh cột ăng-ten. Chiều cao tòa nhà cần tìm là CH=AD+CE (đến C) — không phải AD+BE (đến B, đã cộng luôn cả ăng-ten).

Lời giải đầy đủ & lưu ý về nhãn kết quả

Xét \triangle CAE vuông tại E: \tan\widehat{CAE}=\dfrac{CE}{AE}\Rightarrow CE=AE\tan40^{\circ}. Xét \triangle BAE vuông tại E: BE=AE\tan50^{\circ}.

Vì BC=BE-CE=5 m:

AE × (tan50° − tan40°) = 5 ⇒ AE ≈ 14,18 m

\Rightarrow CE=AE\tan40^{\circ}\approx11{,}90 m và BE=AE\tan50^{\circ}\approx16{,}90 m (kiểm tra: 16{,}90-11{,}90=5{,}00 ✓).

Bẫy ở bước cuối:

Nhiều bạn tính BH=BE+AD\approx16{,}90+7=23{,}9 m rồi kết luận "chiều cao tòa nhà là 23,9 m". Nhưng BH là độ cao đến đỉnh ăng-ten B , còn nóc nhà thật nằm ở C (chân ăng-ten) — ăng-ten là vật lắp thêm trên nóc, không phải một phần kiến trúc của tòa nhà.

Chiều cao TÒA NHÀ đúng = CH = CE + AD = 11,90 + 7 ≈ 18,90 (m)

Vậy: chiều cao tòa nhà (đến nóc) là \boxed{\approx18{,}9\text{ m}}; chiều cao đến đỉnh cột ăng-ten là \approx23{,}9 m (đây là con số hay bị gắn nhầm nhãn "chiều cao tòa nhà").

04 · BẪY & KIỂM TRA

Hai bẫy cần nhớ và cách kiểm tra kết quả

Bẫy 1 – Bài 5 (máy bay): quên đổi đơn vị thời gian

Nếu tính 600\times\sin35^{\circ}\approx344{,}2 km — đây là độ cao đạt được sau 1 giờ , không phải sau 1 phút như đề hỏi. Cách làm đúng: đổi 1 phút =\frac1{60} giờ \Rightarrow quãng đường bay =10 km \Rightarrow độ cao đúng \approx5{,}74 km — chênh lệch tới 60 lần so với kết quả tính sai.

Bẫy 2 – Bài 9 (ăng-ten): gắn nhầm nhãn kết quả

Nhiều bạn gọi BH\approx23{,}9 m (độ cao đến đỉnh ăng-ten ) là "chiều cao tòa nhà". Cần tách rõ hai đại lượng: chiều cao tòa nhà thật (đến nóc C) \approx18{,}9 m; chiều cao đến đỉnh ăng-ten (điểm B) \approx23{,}9 m — số 23,9 m không sai về mặt tính toán, chỉ sai nếu dùng nó làm chiều cao tòa nhà.

Ghi chú nhỏ – Bài 8 phần b: làm tròn thời gian

Lời giải dùng giá trị CH chưa làm tròn (\approx31{,}997 m) nên t_{AB}\approx362{,}40 giây. Nếu dùng CH\approx32 m đã làm tròn thì AC\approx306{,}14 m, CB\approx458{,}74 m và t_{AB}\approx362{,}44 giây. Cả hai cách đều cho xấp xỉ 6 phút 02 giây — chênh lệch chưa tới 0,1 giây, chỉ do làm tròn, không phải lỗi phương pháp.

• Bài 5: đơn vị thời gian (giờ ↔ phút) phải được đổi trước khi nhân với vận tốc — sai đơn vị là lỗi thường gặp nhất ở dạng toán chuyển động kết hợp lượng giác.
• Bài 6: hai tam giác đồng dạng vì góc nắng bằng nhau — không cần đo trực tiếp tòa nhà, chỉ cần một cột chuẩn đã biết chiều cao.
• Bài 7: điểm phụ A (cùng độ cao với điểm gắn cần cẩu) là chìa khóa để đưa bài toán "nâng vật" về đúng một tam giác vuông có đủ 1 cạnh và 1 góc.
• Bài 8: chiều cao CH dùng chung cho cả hai tam giác vuông ở hai bên dốc — đây là "cạnh chung" quyết định lời giải.
• Bài 9: luôn hỏi "đại lượng vừa tính ra là cái gì " trước khi kết luận — BH và CH đều là những con số đúng, chỉ khác đối tượng đang đo.
• Nên thay ngược đáp số vào đề bài hoặc đối chiếu với công thức Pythagoras/lượng giác để kiểm tra kết quả.

LUKATO AI · PREMIUM MASTERCLASS