Tam giác chân đường cao, phân giác ẩn và đường Simson kép
Toán 9 nâng cao: từ ba đường cao của tam giác nhọn đến đồng dạng, phân giác ẩn, hàng điểm điều hòa và bốn chân đường vuông góc thẳng hàng, giải bằng hai cách.
Toán 9 · Học sinh giỏi · Hình học phẳng
Tam giác chân đường cao, phân giác ẩn và đường Simson kép
Một tam giác nhọn, ba đường cao, một điểm E và bốn chân đường vuông góc thẳng hàng. Em sẽ học cách đọc các góc vuông để tìm ra đường tròn, phân giác và lời giải trọn vẹn cho cả bốn câu.
110 phút Mức: giỏi – chuyên Kiến thức lớp 8 – 9
Em sẽ học: đồng dạng qua tỉ số cô-sin · đường tròn đường kính từ góc vuông · phân giác trong và phân giác ngoài · hàng điểm điều hòa · đường Simson
1 Bài toán và bản đồ bài học
Đọc đề, biết mình sẽ đi đâu và kiểm tra vốn liếng trước khi bắt đầu.
Nhiều đề hình học chọn lọc gồm bốn câu nối tiếp nhau. Câu đầu dễ, nhưng nó không chỉ để lấy điểm: nó là công cụ cho câu sau. Bài này là một ví dụ rất đẹp, xoay quanh cấu hình trực tâm của tam giác nhọn.
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF (với D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB) cắt nhau tại trực tâm H.
a) Chứng minh \triangle AEF\sim\triangle ABC.
b) Chứng minh FC là tia phân giác của góc DFE.
c) Gọi M là giao điểm của EF và BC (giả sử AB\ne AC). Chứng minh MB\cdot CD=MC\cdot BD.
d) Gọi I, K, Q, R lần lượt là hình chiếu vuông góc của E lên AB, AD, CF, BC. Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R thẳng hàng.
Hình 1. Tam giác nhọn ABC (AB bằng 13, BC bằng 14, CA bằng 15). Ba đường cao AD, BE, CF (nét xanh) cắt nhau tại trực tâm H. Tam giác DEF tô màu là tam giác chân đường cao.
GV
Cô Lukato
Hình có nhiều đường, dễ làm em rối. Hãy giữ một quy tắc: mỗi khi thấy một góc vuông, hãy hỏi "đường tròn đường kính nào đi qua nó?" . Quanh trực tâm có tới sáu góc vuông, tức là sáu đường tròn đang ẩn nấp trong hình.
Em sẽ làm được
- Nhận ra tứ giác nội tiếp ẩn sau các góc vuông.
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng bằng hai cách: tỉ số cô-sin và góc nội tiếp.
- Tìm ra phân giác "ẩn" ở mọi đỉnh của tam giác chân đường cao.
- Dùng phân giác trong và ngoài để chứng minh hệ thức MB\cdot CD=MC\cdot BD.
- Chứng minh bốn chân đường vuông góc thẳng hàng theo hai cách.
Bản đồ bài học
- Bài toán và kiểm tra nhanh.
- Ba công cụ và cách vẽ hình có số đo thật.
- Câu a: tam giác AEF đồng dạng ABC.
- Câu b: phân giác ẩn.
- Câu c: phân giác trong, phân giác ngoài và hàng điểm điều hòa.
- Câu d: đường Simson kép và đường trung bình.
- Tại sao nghĩ ra hướng này, các bẫy, luyện tập, thách thức.
Trước khi đi tiếp, hãy tự kiểm tra ba câu ngắn dưới đây. Chưa làm được cũng không sao: các mục sau sẽ giải thích từng chỗ.
Tam giác ABC nhọn, AD là đường cao. Khẳng định nào sau đây luôn đúng ?
Đúng: hai góc B và C đều nhọn nên chân đường cao rơi vào bên trong đoạn BC.
Sai: D chỉ là trung điểm khi AB=AC. Với tam giác nhọn bất kì, D lệch về phía đỉnh có góc lớn hơn.
Sai: chân đường cao chỉ rơi ra ngoài đoạn khi tam giác có góc tù ở B hoặc C.
Sai: đường cao không liên quan gì đến nửa cạnh đáy, trừ những trường hợp đặc biệt.
Tứ giác BCEF có \angle BEC=\angle BFC=90^{\circ}. Kết luận nào đúng nhất?
Đúng: điểm nhìn đoạn BC dưới góc vuông thì nằm trên đường tròn đường kính BC; cả E và F đều như vậy.
Sai: EF là một dây của đường tròn, không phải đường kính (đường kính là BC).
Sai: hình chữ nhật cần bốn góc vuông, mà ở đây chỉ có hai góc vuông tại E và F.
Sai: EF chỉ song song với BC khi AB=AC; nói chung hai đường thẳng này cắt nhau (chính là điểm M ở câu c).
Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 6 và 8 thì cạnh huyền bằng và đường tròn đi qua ba đỉnh có bán kính bằng , vì tâm của nó là trung điểm cạnh huyền.
2 Ba công cụ và hình có số đo thật
Góc vuông cho đường tròn, đường tròn cho góc bằng nhau, tam giác vuông cho cô-sin.
Cả bốn câu của bài đều dựa trên ba công cụ. Hãy nắm chắc chúng, vì ở các mục sau em sẽ dùng đi dùng lại. Sau đó ta dựng một tam giác cụ thể có số đo thật để mọi khẳng định đều kiểm tra được bằng số.
Công cụ 1: góc vuông sinh ra đường tròn
Điểm nhìn đoạn thẳng dưới góc vuông
Cho hai điểm X, Y. Điểm P (khác X, Y) thỏa mãn \angle XPY=90^{\circ} khi và chỉ khi P nằm trên đường tròn đường kính XY.
Vì sao? Trong tam giác vuông, trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). Vì thế trung điểm của XY cách đều X, Y, P, nên P nằm trên đường tròn tâm là trung điểm XY, bán kính \frac{XY}{2}. Chiều ngược lại cũng đúng (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông).
Trong hình của ta có sáu góc vuông, tương ứng sáu đường tròn. Bảng sau ghi lại chúng, em hãy đối chiếu với Hình 1.
Đường kính · Nằm trên đường tròn · Nhờ hai góc vuông
BC · E, F · \angle BEC,\ \angle BFC
CA · D, F · \angle ADC,\ \angle AFC
AB · D, E · \angle ADB,\ \angle AEB
AH · E, F · \angle AEH,\ \angle AFH
BH · D, F · \angle BDH,\ \angle BFH
CH · D, E · \angle CDH,\ \angle CEH
Hình 2. Hai góc BEC và BFC cùng bằng 90 độ, nên E và F nằm trên đường tròn đường kính BC (tâm là trung điểm BC). Đoạn EF (nét vàng) là một dây của đường tròn này.
Công cụ 2: tứ giác nội tiếp cho các góc bằng nhau
Ba hệ quả cần thuộc
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung (đỉnh nằm cùng phía) thì bằng nhau.
- Trong tứ giác nội tiếp, hai góc đối có tổng bằng 180^{\circ}.
- Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong ở đỉnh đối diện.
GV
Cô Lukato
Hai câu trước của một bài toán thường dùng công cụ này để "chuyển góc": biến một góc khó thấy thành một góc dễ thấy. Cái khó là chọn đúng cặp góc cùng chắn một cung và kiểm tra đỉnh có cùng phía hay không.
Công cụ 3: cô-sin trong tam giác vuông
Tam giác ABE vuông tại E, và E nằm trên tia AC nên góc BAE chính là góc A của tam giác ABC. Vậy \cos A=\frac{AE}{AB}, tức là AE=AB\cos A. Làm tương tự cho các chân còn lại.
Sáu đoạn trên các cạnh (tam giác nhọn)
AE=AB\cos A, AF=AC\cos A; BD=AB\cos B, BF=BC\cos B; CD=AC\cos C, CE=BC\cos C.
Ta sẽ dùng một tam giác cụ thể xuyên suốt bài: AB=13, BC=14, CA=15. Đây là tam giác có diện tích 84, các số đo đều đẹp. Với nó, \cos A=\frac{33}{65}, \cos B=\frac{5}{13}, \cos C=\frac{3}{5}.
Đoạn · Công thức · Giá trị
AE · 13\cdot\frac{33}{65} · \frac{33}{5}
AF · 15\cdot\frac{33}{65} · \frac{99}{13}
BD · 13\cdot\frac{5}{13} · 5
BF · 14\cdot\frac{5}{13} · \frac{70}{13}
CD · 15\cdot\frac{3}{5} · 9
CE · 14\cdot\frac{3}{5} · \frac{42}{5}
Kiểm tra: AE+CE=\frac{33}{5}+\frac{42}{5}=15=CA, AF+BF=\frac{99}{13}+\frac{70}{13}=13=AB, BD+CD=5+9=14=BC. Cả ba khớp.
Ví dụ 1 · Dựng tam giác có số đo thật
Đặt B(0;0), C(14;0), A(5;12). Khi đó AB=\sqrt{25+144}=13 và AC=\sqrt{81+144}=15.
Chọn tọa độ sao cho BC nằm trên trục hoành: đường cao từ A sẽ thẳng đứng, việc tính rất nhẹ.
Đường cao từ A vuông góc với trục hoành nên D(5;0), suy ra BD=5 và CD=9, đúng như bảng trên.
Chân đường vuông góc hạ xuống trục hoành chỉ cần giữ nguyên hoành độ.
Trực tâm H nằm trên AD nên H(5;t). Đường thẳng AB đi qua B(0;0) và A(5;12) nên có hệ số góc \frac{12}{5}. Đường cao CF vuông góc với AB nên có hệ số góc -\frac{5}{12}; nó đi qua C(14;0) nên có phương trình y=-\frac{5}{12}(x-14). Thay x=5: t=-\frac{5}{12}\cdot(-9)=\frac{15}{4}.
Hai đường thẳng (không song song với trục tung) vuông góc với nhau khi tích hai hệ số góc bằng -1; ở đây \frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{5}{12}\right)=-1. Cách khác không cần tọa độ: hai tam giác vuông BDH và ADC đồng dạng (vì \angle HBD=\angle CAD=90^{\circ}-\angle C), nên DH=\frac{BD\cdot DC}{AD}=\frac{5\cdot 9}{12}=\frac{15}{4}.
Vậy H\left(5;\frac{15}{4}\right), và AH=12-\frac{15}{4}=\frac{33}{4}. Hai chân còn lại là E\left(\frac{224}{25};\frac{168}{25}\right) và F\left(\frac{350}{169};\frac{840}{169}\right).
Em có thể tự kiểm tra: E thuộc CA, đường thẳng BE có hệ số góc \frac{3}{4} còn CA có hệ số góc -\frac{4}{3} (tích bằng -1); F thuộc AB và đường thẳng CF có hệ số góc -\frac{5}{12}, đúng như bước trên.
Bẫy thường gặp
Nhiều em vẽ tam giác đều hoặc cân vì "cho dễ vẽ". Với tam giác cân tại A, đường thẳng EF song song BC và điểm M ở câu c không tồn tại . Với tam giác đều, mọi thứ trùng nhau và em không nhìn ra bản chất. Hãy luôn vẽ một tam giác nhọn lệch (như 13, 14, 15) để thấy từng điểm ở vị trí riêng của nó.
Bẫy thường gặp
Một sai lầm khác là dùng đường tròn khi chỉ có một góc vuông. Ví dụ \angle BEC=90^{\circ} mới chỉ cho biết E nằm trên đường tròn đường kính BC. Muốn nói F cũng nằm trên đường tròn đó thì phải có thêm \angle BFC=90^{\circ}. Hai điểm cùng nhìn một đoạn dưới góc vuông mới cùng thuộc một đường tròn.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tam giác nhọn ABC có AB=13, BC=14, CA=15. Tính độ dài AE, với BE là đường cao xuất phát từ B.
Gợi ý 1. Đặt AE=x, khi đó CE=15-x. Hai tam giác ABE và CBE đều vuông tại E và chung cạnh BE.
Gợi ý 2. Viết BE^{2} theo hai cách: BE^{2}=13^{2}-x^{2} và BE^{2}=14^{2}-(15-x)^{2}, rồi cho hai biểu thức bằng nhau.
Chính xác! Từ 169-x^{2}=196-(15-x)^{2} suy ra 30x=198 nên x=\frac{33}{5}.
Đây là độ dài AB, cạnh huyền của tam giác ABE. AE là một cạnh góc vuông nên phải nhỏ hơn 13.
Đây là AF (chân đường cao từ C xuống AB). Đề hỏi AE, chân đường cao từ B xuống AC.
Đây là CE=15-AE. Hãy kiểm tra xem em đã tính đoạn CE thay cho AE chưa.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Đặt AE=x thì CE=15-x. Theo định lí Pythagore cho hai tam giác vuông ABE và CBE: BE^{2}=13^{2}-x^{2} và BE^{2}=14^{2}-(15-x)^{2}. Cho hai vế bằng nhau: 169-x^{2}=196-225+30x-x^{2}, rút gọn được 30x=198, tức x=\frac{33}{5}. Kiểm tra bằng công thức ở Công cụ 3: AE=13\cdot\frac{33}{65}=\frac{33}{5}. Đúng.
3 Câu a: tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC
Hai cách chứng minh, và nhận ra sáu góc bằng nhau ở ba chân đường cao.
Câu a yêu cầu chứng minh \triangle AEF\sim\triangle ABC. Hai tam giác này đã chung góc A (vì E nằm trên tia AC, F nằm trên tia AB). Muốn đồng dạng, ta chỉ cần thêm một trong hai thứ: một cặp góc bằng nhau (trường hợp góc - góc), hoặc hai cạnh kẹp góc A tỉ lệ (trường hợp cạnh - góc - cạnh). Hai lựa chọn này cho hai cách chứng minh.
Cách 1: qua hai tam giác vuông
Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc nhọn A, nên chúng đồng dạng. Từ đó ta rút ra một tỉ lệ thức, đúng là tỉ lệ cần cho tam giác AEF và ABC.
Chứng minh câu a, cách 1
Xét \triangle ABE và \triangle ACF: \angle AEB=\angle AFC=90^{\circ} và \angle A chung. Vậy \triangle ABE\sim\triangle ACF (góc - góc).
Đây là hai tam giác vuông chung một góc nhọn. Nhìn hình: BE và CF là hai đường cao nên đều tạo góc vuông với cạnh đối.
Suy ra \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}. Hoán đổi hai trung tỉ: \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}.
Ta cần tỉ số của các cạnh cùng một tam giác : AE với AB (đi từ A trên hai tia), AF với AC. Nên phải đổi vế cho khớp.
Xét \triangle AEF và \triangle ABC: \angle EAF=\angle BAC (chung góc A) và \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}. Vậy \triangle AEF\sim\triangle ABC (cạnh - góc - cạnh).
Góc A nằm giữa hai cặp cạnh AE, AF và AB, AC: đây là điều kiện bắt buộc của trường hợp cạnh - góc - cạnh.
Nhận xét thêm: tỉ số đồng dạng \frac{AE}{AB} chính là \cos A (xem tam giác vuông ABE).
Nhờ nhận xét này ta có công thức EF=BC\cos A dùng ở các mục sau.
Cách 2: qua tứ giác nội tiếp
Cách này dùng ngay tín hiệu "góc vuông cho đường tròn". Nó cho thêm một kết quả mà cách 1 không cho ngay: hai góc \angle AEF=\angle ABC, tức là EF "đối song" với BC.
Chứng minh câu a, cách 2
Vì \angle BEC=\angle BFC=90^{\circ} nên E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B, C, E, F nằm trên một đường tròn.
Công cụ 1: hai điểm cùng nhìn đoạn BC dưới góc vuông.
E thuộc đoạn AC và F thuộc đoạn AB nên BCEF là tứ giác lồi nội tiếp với các đỉnh theo thứ tự B, C, E, F. Hai góc đối \angle FBC và \angle FEC có tổng 180^{\circ}.
Tổng hai góc đối bằng 180^{\circ} chỉ dùng được khi tứ giác lồi và ta gọi đúng cặp đỉnh đối diện: B đối với E.
Ba điểm A, E, C thẳng hàng với E ở giữa nên \angle AEF+\angle FEC=180^{\circ}.
Đây là hai góc kề bù, vì EA và EC là hai tia đối nhau.
So sánh hai đẳng thức: \angle AEF=\angle FBC=\angle ABC.
Cả \angle AEF và \angle FBC cùng bù với \angle FEC nên bằng nhau.
Hai tam giác AEF và ABC có \angle A chung và \angle AEF=\angle ABC. Vậy \triangle AEF\sim\triangle ABC (góc - góc), với E ứng với B và F ứng với C.
Thứ tự đỉnh của phép đồng dạng phải khớp với cặp góc bằng nhau: E\leftrightarrow B.
Kết quả của câu a và hai kết quả "anh em"
\triangle AEF\sim\triangle ABC, \triangle BDF\sim\triangle BAC, \triangle CDE\sim\triangle CAB (các đỉnh viết theo thứ tự tương ứng). Tỉ số đồng dạng lần lượt là \cos A, \cos B, \cos C. Suy ra sáu góc bằng nhau ở ba chân đường cao:
- tại F: \angle AFE=\angle BFD=\angle C;