Lượng giác góc nhọn và tam giác vuông: đọc hình, chọn tỉ số, tính đúng
Đọc hình bằng ba câu hỏi rồi tính cạnh và góc trong tam giác vuông: tỉ số lượng giác, góc đặc biệt, góc phụ nhau, hệ thức về đường cao và tam giác cân, kèm…
Toán 9 · Lượng giác · Tam giác vuông
Lượng giác góc nhọn và tam giác vuông: đọc hình, chọn tỉ số, tính đúng
Trong một tam giác vuông, độ dài các cạnh và số đo các góc nói chuyện với nhau qua vài tỉ số rất gọn. Bài này dạy em ba câu hỏi để đọc hình, rồi dùng chúng để tính chiều cao cột cờ, độ nghiêng của chiếc thang và cả đường cao trong tam giác.
50 phút Mức: khá đến giỏi Ba câu hỏi đọc hình Nhiều bài tự chấm
Em sẽ học: gọi tên cạnh theo góc, giá trị của 30, 45, 60 độ, góc phụ nhau, giải tam giác vuông thực tế, hệ thức về đường cao và tam giác cân.
1 Ba câu hỏi trước khi tính: gọi tên cạnh theo góc
Phần lớn lỗi trong bài lượng giác không nằm ở phép tính mà ở chỗ gọi nhầm tên cạnh. Ta chữa từ gốc bằng ba câu hỏi đặt ra trước khi viết bất cứ công thức nào.
Ba câu hỏi đọc hình
- Góc nào đang được xét? Khoanh tròn hoặc đánh dấu cung nhỏ vào góc đó.
- Với góc ấy, đâu là cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền? Cạnh huyền luôn là cạnh đối diện góc vuông; đối và kề thì phụ thuộc vào góc đang xét.
- Đề cho gì, hỏi gì? Chọn tỉ số nào chứa đúng hai cạnh đó.
Hình 1. Tam giác ABC vuông tại A. Đối với góc B (cung màu cam): AC là cạnh đối, AB là cạnh kề, BC là cạnh huyền.
Xét tam giác ABC vuông tại A ở Hình 1 với AB=12, AC=5. Áp dụng định lí Pythagore, BC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{169}=13. Đối với góc B, cạnh AC nằm đối diện góc B nên là cạnh đối; cạnh AB nằm cạnh góc B (và không phải cạnh huyền) nên là cạnh kề. Bốn tỉ số lượng giác của góc nhọn được định nghĩa như sau.
Tỉ số · Bằng · Với góc B ở Hình 1
\sin B · cạnh đối chia cạnh huyền · \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{5}{13}
\cos B · cạnh kề chia cạnh huyền · \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{12}{13}
\tan B · cạnh đối chia cạnh kề · \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{12}
\cot B · cạnh kề chia cạnh đối · \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{5}
GV
Cô Lukato
Câu nhớ quen thuộc: "sin đi học" (đối trên huyền), "cos không hư" (kề trên huyền), "tan đoàn kết" (đối trên kề), "cot kết đoàn" (kề trên đối). Nhưng câu nhớ chỉ giúp em nhớ thứ tự; điều quan trọng hơn là câu hỏi số 2: đối và kề của góc nào ?
Ví dụ 1 · Đọc bốn tỉ số của góc B rồi của góc C
Vẽ nháp tam giác ABC vuông tại A với AB=12, AC=5. Tính cạnh huyền: BC=13.
Vì sao làm bước này: cần đủ độ dài ba cạnh trước khi lập các tỉ số.
Góc B: đối là AC=5, kề là AB=12, huyền là 13. Vậy \sin B=\dfrac{5}{13}, \cos B=\dfrac{12}{13}, \tan B=\dfrac{5}{12}, \cot B=\dfrac{12}{5}.
Vì sao làm bước này: trả lời câu hỏi số 2 cho góc B, rồi mới viết tỉ số.
Góc C: bây giờ đối là AB=12, kề là AC=5, huyền vẫn là 13. Vậy \sin C=\dfrac{12}{13}, \cos C=\dfrac{5}{13}, \tan C=\dfrac{12}{5}, \cot C=\dfrac{5}{12}.
Vì sao làm bước này: đổi góc thì hai cạnh góc vuông đổi vai; đây chính là chỗ nhiều em sai.
Nhận xét: \sin B=\cos C, \cos B=\sin C và \tan B\cdot\tan C=1. Đó không phải ngẫu nhiên: B+C=90^{\circ}. Ta sẽ khai thác điều này ở Phần 3.
Vì sao làm bước này: so sánh hai bộ số giúp phát hiện quy luật thay vì học thuộc thêm.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tam giác DEF vuông tại D có DE=9, DF=40. Tính \sin F (viết dạng phân số).
Gợi ý 1. Tính cạnh huyền trước: EF=\sqrt{9^{2}+40^{2}}.
Gợi ý 2. Đối với góc F, cạnh đối là cạnh nằm đối diện đỉnh F.
Chính xác! EF=41, cạnh đối của F là DE=9, nên \sin F=\dfrac{9}{41}.
Đó là \cos F (cạnh kề DF chia huyền). Cạnh đối của góc F là DE.
Đó là \tan F (đối chia kề). Sin chia cho cạnh huyền chứ không phải cạnh kề.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
EF^{2}=9^{2}+40^{2}=81+1600=1681, suy ra EF=41. Góc F có cạnh đối DE=9 và cạnh huyền EF=41. Vậy \sin F=\dfrac{9}{41}.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Tam giác ABC vuông tại A có AB=8, BC=17. Tính \cos C (viết dạng phân số).
Gợi ý 1. Tìm AC bằng định lí Pythagore.
Gợi ý 2. \cos C là cạnh kề với góc C chia cạnh huyền; cạnh kề với C là cạnh nào?
Chính xác! AC=15; cạnh kề với góc C là AC, nên \cos C=\dfrac{15}{17}.
Đó là \cos B (kề với B là AB=8). Ở đây cần góc C, cạnh kề là AC.
Đó là \tan C, không phải \cos C. Cos có cạnh huyền ở mẫu.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
AC=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{225}=15. Với góc C: cạnh kề là AC=15, huyền BC=17. Vậy \cos C=\dfrac{15}{17}.
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB=12, AC=5 (Hình 1). Xét các mệnh đề sau.
a) Cạnh huyền BC=13.
Đúng: BC^{2}=144+25=169.
b) \sin B=\cos C.
Đúng: cả hai đều bằng \dfrac{5}{13}; cạnh đối của B chính là cạnh kề của C.
c) \tan B\cdot\tan C=1.
Đúng: \dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{12}{5}=1.
d) \sin B=\dfrac{5}{12}.
Sai: \dfrac{5}{12} là \tan B. Sin chia cho cạnh huyền nên \sin B=\dfrac{5}{13}.
Bẫy: đổi góc mà không đổi tên cạnh
Nhiều em học thuộc "cạnh AC là cạnh đối" và giữ nguyên khi chuyển sang góc C. Nhưng AC là cạnh đối của góc B và lại là cạnh kề của góc C. Luôn tự hỏi hoàn chỉnh: "đối với góc nào?". Chỉ cạnh huyền là không đổi vai.
Tam giác MNP vuông tại M. Tỉ số nào bằng \cos P?
Sai: MN là cạnh đối của góc P; \dfrac{MN}{NP} là \sin P.
Đúng: cạnh kề góc P là MP, cạnh huyền là NP (đối diện góc vuông M); \cos P=\dfrac{MP}{NP}.
Sai: \dfrac{MN}{MP} là đối chia kề, tức \tan P.
Sai: \dfrac{MP}{MN} là kề chia đối, tức \cot P.
Trong tam giác vuông, cạnh dài nhất là cạnh ; vì thế \sin và \cos của một góc nhọn luôn 1, còn \tan 45^{\circ}= .
2 Ba góc đẹp: 30, 45 và 60 độ không cần bấm máy
Ba góc này xuất hiện ở hầu hết các đề vì hai hình quen thuộc cho giá trị chính xác: nửa tam giác đều và nửa hình vuông.
Hình 2. Trái: nửa tam giác đều cạnh 2 (các góc 30, 60, 90 độ). Phải: nửa hình vuông cạnh 1 (các góc 45, 45, 90 độ).
Lấy tam giác đều cạnh 2 rồi kẻ đường cao. Đường cao chia đáy làm đôi (mỗi nửa bằng 1) và có độ dài \sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}. Ta được tam giác vuông có các góc 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ} với ba cạnh 1, \sqrt{3}, 2. Với hình vuông cạnh 1, đường chéo dài \sqrt{2} và chia hình vuông thành hai tam giác vuông cân, mỗi tam giác có ba cạnh 1, 1, \sqrt{2}.
Ví dụ 2 · Từ Hình 2 đọc ra sin, cos, tan của 30^{\circ}
Trong tam giác vuông bên trái, góc B=30^{\circ}: cạnh đối là AC=1, cạnh kề là AB=\sqrt{3}, cạnh huyền là BC=2.
Vì sao làm bước này: trả lời câu hỏi số 2 bằng cách nhìn vào hình: cạnh nhỏ nhất luôn nằm đối diện góc nhỏ nhất.
Vậy \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2} và \cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Vì sao làm bước này: áp dụng đúng định nghĩa: đối chia huyền, kề chia huyền.
\tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} (nhân cả tử và mẫu với \sqrt{3} để bỏ căn ở mẫu) và \cot 30^{\circ}=\sqrt{3}.
Vì sao làm bước này: quy ước trình bày: không để căn ở mẫu.
Đổi sang góc C=60^{\circ}: cạnh đối là AB=\sqrt{3}, cạnh kề là AC=1. Do đó \sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}, \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}, \cot 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
Vì sao làm bước này: hai góc phụ nhau: giá trị sin và cos hoán đổi cho nhau.
Góc · \sin · \cos
30^{\circ} · \dfrac{1}{2} · \dfrac{\sqrt{3}}{2}
45^{\circ} · \dfrac{\sqrt{2}}{2} · \dfrac{\sqrt{2}}{2}
60^{\circ} · \dfrac{\sqrt{3}}{2} · \dfrac{1}{2}
Góc · \tan · \cot
30^{\circ} · \dfrac{\sqrt{3}}{3} · \sqrt{3}
45^{\circ} · 1 · 1
60^{\circ} · \sqrt{3} · \dfrac{\sqrt{3}}{3}
Cách nhớ bảng
Mẹo nhớ cột sin: viết \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2} cho 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}. Cột cos là cột sin đọc ngược. Riêng \tan và \cot: hai giá trị đối xứng \dfrac{\sqrt{3}}{3} và \sqrt{3} đổi chỗ, còn 45^{\circ} luôn cho 1.
Bẫy: đảo giá trị của 30 độ và 60 độ
Cặp \tan 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} và \tan 60^{\circ}=\sqrt{3} hay bị đảo. Hãy kiểm tra bằng ước lượng: 30^{\circ} là góc nhỏ nên \tan phải nhỏ hơn 1, mà \dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx 0{,}577. Còn 60^{\circ} là góc lớn nên \tan lớn hơn 1, và \sqrt{3}\approx 1{,}732. Đừng viết \sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{2}: giá trị đó thuộc về 30^{\circ}.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Tính B=\tan 60^{\circ}\cdot\cot 30^{\circ}-\sin 45^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ} (viết dạng phân số).
Gợi ý 1. Tra bảng: \tan 60^{\circ}=\sqrt{3} và \cot 30^{\circ}=\sqrt{3}.
Gợi ý 2. \sin 45^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Chính xác! B=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}-\dfrac{2}{4}=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}.
Em đã quên trừ số hạng thứ hai: \sin 45^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ}=\dfrac{1}{2}.
Em đã cộng thay vì trừ. Đề có dấu trừ giữa hai tích.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
\tan 60^{\circ}\cdot\cot 30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3. \sin 45^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Vậy B=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}.
Bài 4 Mức 3 · Thách thức
Tam giác ABC vuông tại A có \hat{B}=30^{\circ} và BC=10. Tính độ dài cạnh AB (nhập dạng căn, ví dụ: 5sqrt(3)).
Gợi ý 1. Đối với góc B, cạnh AB là cạnh kề, còn BC=10 là cạnh huyền.
Gợi ý 2. AB=BC\cdot\cos B và \cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Chính xác! AB=10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8{,}66.
Đó là AC=BC\cdot\sin 30^{\circ}, cạnh đối của góc B. Đề hỏi AB, cạnh kề.
Em quên chia cho 2: \cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, không phải \sqrt{3}.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Vì \cos B=\dfrac{AB}{BC} nên AB=BC\cdot\cos 30^{\circ}=10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}. Kiểm tra bằng Pythagore: AC=5, AB^{2}+AC^{2}=75+25=100=BC^{2}.
Giá trị nào sau đây bằng \sin 45^{\circ}?
Sai: \dfrac{1}{2} là \sin 30^{\circ} (và \cos 60^{\circ}).
Đúng: tam giác vuông cân có cạnh huyền \sqrt{2} và cạnh đối là 1, nên \sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Sai: \dfrac{\sqrt{3}}{2} là \sin 60^{\circ} (và \cos 30^{\circ}).
Sai: \sin của một góc nhọn luôn nhỏ hơn 1; giá trị 1 là của \tan 45^{\circ}.
\sin 30^{\circ}= , \cos 60^{\circ}= , \tan 45^{\circ}= , và \cot 45^{\circ}= .
3 Góc phụ nhau và các đẳng thức: một tam giác, nhiều hệ quả
Ở Ví dụ 1 ta thấy \sin B=\cos C khi B+C=90^{\circ}. Quy luật này và vài đẳng thức đi kèm giúp rút gọn biểu thức mà không cần máy tính.
Góc phụ nhau
Nếu hai góc nhọn \alpha và \beta phụ nhau (\alpha+\beta=90^{\circ}) thì \sin\alpha=\cos\beta, \cos\alpha=\sin\beta, \tan\alpha=\cot\beta, \cot\alpha=\tan\beta. Nói cách khác, \sin\left(90^{\circ}-\alpha\right)=\cos\alpha và \tan\left(90^{\circ}-\alpha\right)=\cot\alpha.
Lí do rất đơn giản: trong tam giác vuông, cạnh đối của góc này chính là cạnh kề của góc kia. Bên cạnh đó, định nghĩa cho ta bốn đẳng thức. Chúng đều là hệ quả của định lí Pythagore AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}.
Đẳng thức · Nguồn gốc và cách dùng
\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1 · Chia hai vế của AC^{2}+AB^{2}=BC^{2} cho BC^{2}. Dùng khi biết sin, tìm cos (hoặc ngược lại).
\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} · Thay \sin\alpha=\dfrac{AC}{BC} và \cos\alpha=\dfrac{AB}{BC}, hai mẫu BC triệt tiêu. Dùng khi biết cả sin và cos.
\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1 · Hai tỉ số nghịch đảo nhau. Dùng khi rút gọn tích của tan và cot cùng một góc.
1+\tan^{2}\alpha=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha} · Chia hai vế của \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1 cho \cos^{2}\alpha. Dùng khi biết tan, tìm cos.
Chiều biến thiên
Khi góc nhọn tăng từ 0^{\circ} đến 90^{\circ}: \sin và \tan tăng , còn \cos và \cot giảm . Vì vậy \sin 40^{\circ}<\sin 50^{\circ} và \cos 20^{\circ}>\cos 70^{\circ}. Muốn so sánh hai tỉ số khác loại, hãy đổi về cùng một loại bằng góc phụ nhau.
Ví dụ 3 · Rút gọn B=\cos^{2}20^{\circ}+\cos^{2}70^{\circ}+\tan 25^{\circ}\cdot\tan 65^{\circ}
Tìm các cặp góc phụ nhau: 20^{\circ}+70^{\circ}=90^{\circ} và 25^{\circ}+65^{\circ}=90^{\circ}.
Vì sao làm bước này: biểu thức xuất hiện các góc đôi một phụ nhau chính là gợi ý để đổi tỉ số.
Vì \cos 70^{\circ}=\sin 20^{\circ}, nên \cos^{2}20^{\circ}+\cos^{2}70^{\circ}=\cos^{2}20^{\circ}+\sin^{2}20^{\circ}=1.
Vì sao làm bước này: đổi về cùng một góc để dùng \sin^{2}+\cos^{2}=1.
Vì \tan 65^{\circ}=\cot 25^{\circ}, nên \tan 25^{\circ}\cdot\tan 65^{\circ}=\tan 25^{\circ}\cdot\cot 25^{\circ}=1.
Vì sao làm bước này: tích của tan và cot cùng một góc luôn bằng 1.
Kết luận: B=1+1=2. Kiểm tra bằng máy tính: 0{,}883+0{,}117+1=2.
Vì sao làm bước này: phép thử số giúp phát hiện nhầm dấu hoặc nhầm góc.
Bài 5 Mức 2 · Vận dụng
Cho góc nhọn \alpha thỏa \tan\alpha=2. Tính P=\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}.
Gợi ý 1. Chia cả tử và mẫu cho \cos\alpha (khác 0 vì \alpha nhọn).
Gợi ý 2. Sau khi chia: P=\dfrac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}.
Chính xác! P=\dfrac{2+1}{2-1}=3.