Số học và đa thức cho học sinh giỏi Toán 9: ước số, phần dư, đồng dư modulo 6
Ba công cụ cho bài học sinh giỏi lớp 9: bảng ước và chặn dưới, định lí phần dư của đa thức, đồng dư modulo 6 và phản ví dụ. Có bài tập chấm tự động.
Toán 9 · Học sinh giỏi · Số học và đại số
Ba công cụ cho bài học sinh giỏi: ước số, phần dư của đa thức và đồng dư modulo 6
Nhiều bài nhìn rất dữ dằn (có cả lũy thừa 2^{|x|-1}, có hệ số 2025, 2023, có ba lập phương) nhưng chỉ cần một ý tưởng gọn là mở được. Bài này dạy em nhận ra ý tưởng đó và trình bày sao cho không mất điểm.
Khoảng 120 phút Mức: khá – giỏi 3 công cụ · 20 bài tập · 16 câu kiểm tra
Em sẽ học: khoanh vùng bằng ước số, định lí phần dư, tính chất n^{3}\equiv n, kiểm tra mệnh đề bằng phản ví dụ.
1 Ba bài toán dẫn đường và bản đồ bài học
Đọc đề trước, hiểu “cái thiếu” của mỗi bài, rồi mới học công cụ.
Bài học sinh giỏi Toán 9 thường có một câu số học, một câu về đa thức và một câu chứng minh chia hết. Nhìn từ xa thì ba câu ấy chẳng liên quan gì nhau. Nhìn gần hơn, cả ba đều dựa vào cùng một thói quen: đừng tính, hãy khoanh vùng . Khoanh vùng nghiệm bằng ước số. Khoanh vùng giá trị của đa thức bằng số dư. Khoanh vùng tính chia hết bằng số dư khi chia cho 6.
Dưới đây là ba bài toán “dẫn đường” do LUKATO viết ở mức học sinh giỏi. Em chưa cần giải ngay; hãy đọc để biết mình sẽ đi tới đâu.
Bài A · Nghiệm nguyên dương
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn (2x+5y+1)\left(2^{|x|-1}+y+x^{2}+x\right)=65.
Bài B · Đa thức
Cho f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c với f(1)=4 và f(-2)=-5. Tính E=2024a-2022b+c.
Bài C · Chia hết
Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa 5(a^{3}+b^{3})=13(c^{3}+d^{3}). Chứng minh a+b+c+d chia hết cho 6.
GV
Cô Lukato
Bài A có vẻ cần thử rất nhiều cặp (x, y). Bài B có ba ẩn mà chỉ có hai dữ kiện. Bài C có ba lập phương mà đề chỉ hỏi tổng bậc nhất. Cả ba đều “thiếu” thứ gì đó, và chỗ thiếu ấy chính là gợi ý.
Trước khi vào bài, hãy thử sức với ba câu kiểm tra nhanh. Sai cũng không sao: mỗi phương án đều có lời giải thích.
Số 65 có bao nhiêu ước nguyên dương?
Sai. Em mới kể số 1 và chính nó, quên mất 65=5\cdot 13.
Đúng. 65=5\cdot 13 nên các ước dương là 1, 5, 13, 65.
Sai. Em quên rằng chính 65 cũng là một ước của 65.
Chưa đúng với câu hỏi. Có 8 ước nguyên (thêm -1; -5; -13; -65) nhưng đề hỏi ước nguyên dương.
Đa thức P(x)=x^{2}-3x+2.
a) P(x) chia cho x-1 có dư bằng P(1)=0.
Đúng: số dư khi chia cho x-a luôn là P(a); ở đây a=1.
b) P(x) chia cho x+2 có dư bằng P(2)=0.
Sai: chia cho x+2=x-(-2) thì phải tính P(-2)=4+6+2=12.
c) x=2 là nghiệm của P(x).
Đúng: P(2)=4-6+2=0.
d) P(x) chia hết cho x-3.
Sai: P(3)=9-9+2=2\ne 0, số dư là 2.
Số dư của 17 khi chia cho 6 là ; số dư của 17^{2}=289 khi chia cho 6 là ; còn -1 đồng dư với theo modulo 6.
Bản đồ của bài học gồm bốn chặng. Chặng nào em đã quen thì cứ lướt nhanh; phần “bẫy” và “tại sao nghĩ ra” vẫn nên đọc kĩ.
Chặng · Việc cần làm · Giải quyết bài
1 · Đặt tích bằng số nhỏ, đánh giá từng thừa số, lập bảng ước · A
2 · Định lí phần dư, nội suy, hiệu f(a)-f(b) chia hết cho a-b · B
3 · Đồng dư modulo 6, chứng minh n^{3}\equiv n, kiểm tra mệnh đề bằng phản ví dụ · C
4 · Chọn công cụ đúng, luyện tập phân bậc, bài thách thức · Cả ba
2 Công cụ 1 · Khoanh vùng bằng ước số
Từ “tích bằng số nhỏ” đến bảng ước hai dòng, với chặn dưới làm vũ khí.
Hãy bắt đầu bằng một trực giác rất đời thường. Nếu tích của hai số nguyên dương bằng 7, chỉ có hai khả năng: 1\cdot 7 hoặc 7\cdot 1. Vì 7 là số nguyên tố, không còn cách chia nào khác. Nghĩa là khi vế phải là một số nhỏ, mỗi thừa số ở vế trái chỉ được nhận rất ít giá trị . Toàn bộ chặng này là nghệ thuật biến một phương trình khó thành một bảng ước rất ngắn.
Ghi nhớ
Quy tắc ước số. Nếu A\cdot B=N với A, B là các số nguyên và N\ne 0 thì A là một ước của N và B=\dfrac{N}{A}. Lập bảng mọi ước của N (cả ước dương lẫn ước âm nếu đề cho số nguyên), mỗi ước cho đúng một cặp (A, B).
Có ba cách để bảng ước ngắn lại:
- Điều kiện dấu. Nếu x, y nguyên dương thì nhiều biểu thức chắc chắn dương, nên chỉ xét ước dương.
- Chặn dưới. Nếu một thừa số luôn từ 8 trở lên thì mọi ước nhỏ hơn 8 bị loại ngay.
- Đồng dư (chẵn lẻ). Nếu một thừa số luôn chẵn mà vế phải lẻ thì vô nghiệm; ta sẽ gặp lại ý này ở phần đồng dư.
Hình 1. Các điểm nguyên nằm trên đường thẳng 2x + 5y = 12. Chỉ điểm (1; 2) có cả hai tọa độ dương.
Hình 1 cho thấy vì sao hệ thức tuyến tính 2x+5y=12 rất “chặt”: đường thẳng chỉ đi qua đúng một điểm nguyên có cả hai tọa độ dương. Đó là điểm ta sẽ tìm được trong Ví dụ 1.
Ví dụ 1 · Giải Bài A bằng bảng ước
Đề bài: tìm x, y nguyên dương thỏa (2x+5y+1)(2^{|x|-1}+y+x^{2}+x)=65. Vì x>0 nên |x|=x và thừa số thứ hai là 2^{x-1}+y+x^{2}+x.
Trước tiên gỡ dấu giá trị tuyệt đối: đề bài cố tình gài |x| để ta chần chừ, nhưng x dương thì dấu đó vô hại.
Đặt A=2x+5y+1 và B=2^{x-1}+y+x^{2}+x. Vì x\ge 1 và y\ge 1 nên A\ge 2+5+1=8 và B\ge 1+1+1+1=4.
Chặn dưới là bước quan trọng nhất: nó cho biết ước nào của 65 đáng xét.
Các ước dương của 65 là 1, 5, 13, 65. Vì A\ge 8 nên A\in\{13, 65\}. Nếu A=65 thì B=1, trái với B\ge 4. Vậy A=13 và B=5.
Mỗi phương án bị loại đều có lí do bằng bất đẳng thức, không phải do “thử thấy không được”.
Từ A=13: 2x+5y=12. Vì y\ge 1 nên 5y\le 12-2=10, suy ra y\in\{1, 2\}. Với y=1: 2x=7, loại vì x không nguyên. Với y=2: 2x=2, tức x=1.
Chỉ còn hai giá trị của y, nên bước này chỉ mất hai dòng.
Thử lại: với (x, y)=(1, 2) ta có A=2+10+1=13 và B=2^{0}+2+1+1=5; 13\cdot 5=65. Đáp số: (x, y)=(1, 2).
Vì ta đã dùng điều kiện cần A=13 và B=5, phải thử lại để chắc rằng cả hai thừa số cùng đúng.
Bẫy: quên một thứ tự, hoặc bỏ chặn dưới
Nhiều em viết ngay “65=5\cdot 13 nên 2x+5y+1=5” rồi bỏ qua cặp 13\cdot 5, hoặc ngược lại chỉ xét một thứ tự. Thứ tự của hai thừa số quan trọng: (A, B)=(5, 13) và (13, 5) là hai trường hợp khác nhau. Ở Ví dụ 1, trường hợp A=5 bị loại vì A\ge 8; nếu không có chặn dưới, ta phải giải cả hai.
GV
Cô Lukato
Em để ý: ta không hề khai triển tích (2x+5y+1)(\dots). Khai triển sẽ ra một biểu thức có 2^{x} mà không giải nổi. Giữ nguyên dạng tích thì mọi thứ gọn như bảng cửu chương.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa (x-2)(y+3)=7. Nhập theo thứ tự x; y.
Gợi ý 1. Vì y\ge 1 nên y+3 nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Gợi ý 2. Các ước dương của 7 là 1 và 7. Loại ước nào?
Chính xác! Vì y+3\ge 4 nên y+3=7, x-2=1, suy ra (x, y)=(3, 4).
Cặp này ứng với x-2=7 và y+3=1; nhưng khi đó y=-2 không dương. Hãy dùng điều kiện y\ge 1 để loại.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Vì y\ge 1 nên y+3\ge 4. Trong hai ước dương 1, 7 của 7 chỉ có 7 thỏa y+3\ge 4. Vậy y+3=7 tức y=4, và x-2=1 tức x=3. Thử lại: (3-2)(4+3)=7.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x, y) thỏa xy=36? (Hai cặp (4; 9) và (9; 4) tính là hai cặp khác nhau.)
Gợi ý 1. Mỗi ước dương x của 36 cho đúng một y=36:x.
Gợi ý 2. Liệt kê các ước dương của 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Chính xác! 36 có 9 ước dương nên có 9 cặp (x, y).
Đây là số cặp không phân biệt thứ tự. Đề coi (4; 9) và (9; 4) là hai cặp khác nhau nên phải đếm 9.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Mỗi ước dương x của 36 xác định duy nhất y=\dfrac{36}{x}. Các ước của 36=2^{2}\cdot 3^{2} là 9 số ((2+1)(2+1)=9). Vậy có 9 cặp có thứ tự.
Không phải phương trình nào cũng đã sẵn ở dạng tích. Hai kĩ thuật sau giúp tạo ra dạng tích: nhóm hạng tử và biến phân số thành “ước số”.
Kĩ thuật nhóm hạng tử
Xét phương trình có dạng xy+ax+by=c. Ta thêm ab vào hai vế để vế trái phân tích được: xy+ax+by+ab=(x+b)(y+a). Ý tưởng giống hệt việc hoàn thiện bình phương: thêm đúng một số để mọi thứ gói lại được.
Ví dụ 2 · Tìm mọi cặp số nguyên của xy-3x+2y=17
Ta muốn vế trái có dạng (x+2)(y-3). Khai triển (x+2)(y-3)=xy-3x+2y-6. So với đề, vế trái của đề thiếu -6.
Đọc hệ số: có -3x nên thừa số kia chứa y-3; có +2y nên thừa số kia chứa x+2.
Trừ 6 vào hai vế: xy-3x+2y-6=17-6, tức (x+2)(y-3)=11.
Một phương trình đã thành “tích bằng số nhỏ”; 11 là số nguyên tố.
Vì x, y là số nguyên (không nói dương) nên x+2 nhận mọi ước nguyên của 11: 1, 11, -1, -11. Ứng với từng ước, y-3=\dfrac{11}{x+2}.
Số nguyên thì phải xét cả ước âm. Đây là chỗ học sinh hay rơi mất một nửa nghiệm.
Bảng: x+2=1\Longrightarrow x=-1; \ y-3=11\Longrightarrow y=14; x+2=11\Longrightarrow x=9; \ y=4; x+2=-1\Longrightarrow x=-3; \ y=-8; x+2=-11\Longrightarrow x=-13; \ y=2.
Mỗi ước cho đúng một cặp, không cần giải thêm gì.
Kết luận: có 4 cặp (x, y): (-1, 14), (9, 4), (-3, -8), (-13, 2). Thử lại một cặp, ví dụ (9, 4): 36-27+8=17.
Luôn thử lại ít nhất một cặp để phát hiện lỗi dấu khi chuyển vế.
Bẫy: quên hoặc thừa ước âm
Với x, y nguyên, hãy xét ước âm. Nếu chỉ lấy x+2\in\{1, 11\} em sẽ chỉ được 2 cặp và mất một nửa đáp án. Ngược lại, khi đề nói “nguyên dương”, đừng xét ước âm một cách máy móc: hãy dùng điều kiện để loại từ đầu.
Biến phân số thành ước số
Khi đề hỏi “n nguyên để \dfrac{n+7}{n+1} là số nguyên”, ta tách phần nguyên: \dfrac{n+7}{n+1}=1+\dfrac{6}{n+1}. Biểu thức nguyên khi và chỉ khi n+1 là ước của 6. Lại quay về bảng ước.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) thỏa xy-3x+2y=17?
Gợi ý 1. Trừ 6 vào hai vế để được (x+2)(y-3)=11.
Gợi ý 2. Số nguyên nên phải xét cả ước âm của 11.
Chính xác! Bốn ước 1, 11, -1, -11 cho bốn cặp: (-1; 14), (9; 4), (-3; -8), (-13; 2).
Em mới đếm hai ước dương 1 và 11. Đề cho số nguyên nên còn hai ước âm -1 và -11.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Trừ 6 vào hai vế, vế trái thành (x+2)(y-3), nên (x+2)(y-3)=11. Số 11 có 4 ước nguyên, mỗi ước là một giá trị của x+2 và cho đúng một cặp. Đáp số: 4.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Tìm tất cả các số nguyên dương n để \dfrac{n+7}{n+1} là số nguyên. Nhập các giá trị cách nhau bằng dấu chấm phẩy.
Gợi ý 1. Viết \dfrac{n+7}{n+1}=1+\dfrac{6}{n+1}.
Gợi ý 2. Khi đó n+1 phải là ước của 6 và n+1\ge 2.
Chính xác! n+1\in\{2, 3, 6\} nên n\in\{1, 2, 5\}.
Số 0 chưa phải số nguyên dương (ứng với n+1=1). Đề yêu cầu n\ge 1.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
\dfrac{n+7}{n+1}=1+\dfrac{6}{n+1} nguyên khi và chỉ khi (n+1)\mid 6. Vì n\ge 1 nên n+1\ge 2, và các ước của 6 thỏa mãn là 2, 3, 6. Suy ra n=1, 2, 5.
Bài 5 Mức 3 · Thách thức
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x, y) thỏa \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}? (Cặp (x, y) và (y, x) tính là hai cặp.)
Gợi ý 1. Quy đồng: 6(x+y)=xy, rồi đưa về (x-6)(y-6)=36.
Gợi ý 2. Vì \dfrac{1}{x}\lt\dfrac{1}{6} nên x\gt 6; tương tự y\gt 6. Vậy cả hai thừa số đều dương.
Chính xác! (x-6)(y-6)=36 với hai thừa số dương: 9 ước dương của 36 cho 9 cặp.
Đó là số cặp khi bỏ qua thứ tự. Đề tính (x, y) và (y, x) là hai cặp nên đáp số là 9.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
6x+6y=xy\Longleftrightarrow xy-6x-6y+36=36\Longleftrightarrow (x-6)(y-6)=36. Do x, y\gt 6 nên cả hai thừa số dương, mỗi ước dương của 36 cho một cặp: (7; 42), (8; 24), (9; 18), (10; 15), (12; 12), (15; 10), (18; 9), (24; 8), (42; 7). Tổng cộng 9 cặp.
Bây giờ đến bài lớn: chặn dưới cùng với bảng ước, giống Ví dụ 1 nhưng có thêm một chút quyết đoán khi thử.
Bài 6 Mức 3 · Thách thức
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa (2x+y+3)(x^{2}+y)=40. Nhập theo thứ tự x; y.
Gợi ý 1. Chặn dưới: khi x=y=1, thừa số thứ nhất bằng 6 và thừa số thứ hai bằng 2.
Gợi ý 2. Các cặp ước (A, B) của 40 với A\ge 6, B\ge 2 là (8; 5), (10; 4), (20; 2).
Gợi ý 3. Xét từng cặp: A=8 cho 2x+y=5.
Chính xác! Chỉ có A=8, B=5 thỏa cả hai điều kiện, cho (x, y)=(2, 1).
Cặp (1, 3) thỏa 2x+y=5 nhưng khi đó B=1+3=4, không phải 5. Em cần thử cả hai thừa số.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Đặt A=2x+y+3\ge 6, B=x^{2}+y\ge 2, AB=40. Các cặp ước thỏa: (8; 5), (10; 4), (20; 2). Với A=8: 2x+y=5 nên (x; y)\in\{(1; 3); (2; 1)\}; thử B=5: (1; 3) cho B=4, (2; 1) cho B=5. Nhận (2; 1). Với A=10: 2x+y=7 cho (1; 5); (2; 3); (3; 1) và B lần lượt 6, 7, 10, không có B=4. Với A=20, B=2 chỉ khi x=y=1, nhưng khi đó A=6\ne 20. Đáp số (2, 1).
Tìm số nguyên dương x, y thỏa (x+1)(y+2)=6. Có bao nhiêu cặp?
Đúng. x+1\ge 2 và y+2\ge 3 nên chỉ có (x+1, y+2)=(2, 3), tức (x, y)=(1, 1).
Sai. Ngoài (x+1, y+2)=(2, 3), em đã nhận thêm (x+1, y+2)=(3, 2), tức (x, y)=(2, 0); nhưng y=0 không phải số nguyên dương nên cặp này bị loại.
Sai. 6 có bốn ước dương, nhưng chặn dưới x+1\ge 2, y+2\ge 3 loại bớt ba ước.
Sai. (x, y)=(1, 1) cho 2\cdot 3=6, nên có nghiệm.
Xét phương trình xy+2x-y=8 trên tập số nguyên.
a) Phương trình tương đương (x-1)(y+2)=6.
Đúng: (x-1)(y+2)=xy+2x-y-2=8-2=6.
b) Có nghiệm với x=1.