Nhìn ra cấu trúc trước khi tính: rút gọn phân thức và phương trình bậc bốn
Đọc cấu trúc biểu thức để rút gọn phân thức có điều kiện xác định, giải phương trình bậc bốn bằng ẩn phụ, thử nghiệm hữu tỉ bằng Horner và đếm nghiệm bội. Có…
Toán 9 · Học sinh giỏi · Đại số
Nhìn ra cấu trúc trước khi tính: rút gọn phân thức và phương trình bậc bốn
Hai loại bài làm học sinh giỏi mất điểm nhiều nhất: rút gọn một biểu thức dài mà quên điều kiện xác định, và giải phương trình bậc bốn bằng cách khai triển mù quáng. Bài này dạy em đọc cấu trúc của biểu thức để mọi bước đều ngắn và kiểm tra được.
Khoảng 120 phút Mức: khá – giỏi 20 bài tập · 9 câu kiểm tra
Em sẽ học: điều kiện xác định, nhân tử, rút gọn có kiểm tra bằng số, ẩn phụ đối xứng, phương trình hồi quy, nghiệm bội.
1 Hai bài toán dẫn đường và bản đồ bài học
Đọc cấu trúc trước, tính toán sau: đó là thói quen của người giải giỏi.
Hãy tưởng tượng em đứng trước một biểu thức có ba phân thức, mẫu số toàn tam thức bậc hai. Phản xạ của nhiều bạn là quy đồng ngay, nhân tung ra, rồi lạc giữa một rừng hạng tử. Người giải giỏi làm ngược lại: dừng ba giây để đọc cấu trúc . Mẫu số nào phân tích được? Hai mẫu nào là “anh em” của nhau chỉ khác dấu? Có nhóm hạng tử nào lặp lại không?
Bài học xoay quanh hai bài toán “dẫn đường” do LUKATO viết ở mức học sinh giỏi. Em chưa cần giải ngay, chỉ cần nhìn xem mỗi bài “giấu” cấu trúc gì.
Bài A · Rút gọn biểu thức
Cho A=\dfrac{x}{x-3}+\dfrac{3x+1}{9-x^{2}}-\dfrac{x+2}{x+3} và B=\dfrac{x^{2}-6x+9}{x+5}. Đặt P=A:B. Tìm điều kiện xác định, rút gọn P và tính P tại x=2.
Bài B · Phương trình bậc bốn
Giải phương trình (x^{2}+16x+63)(x^{2}-12x+35)=2304.
GV
Cô Lukato
Bài A giấu hai thứ: 9-x^{2} chính là x^{2}-9 đổi dấu, và x^{2}-6x+9 là một bình phương. Bài B giấu một thứ: hai tam thức phân tích được, và các nhân tử của chúng ghép cặp rất đẹp. Nếu khai triển (x^{2}+16x+63)(x^{2}-12x+35) ta được một đa thức bậc bốn xấu xí; nếu ghép đúng cặp, cả bài chỉ còn một phương trình bậc hai.
Trước khi vào bài, ba câu kiểm tra nhanh. Sai cũng không sao: mỗi phương án đều có lời giải thích.
Biểu thức \dfrac{x+1}{(x-2)(x+3)} xác định khi và chỉ khi
Sai. Em mới loại một giá trị; x=-3 cũng làm mẫu bằng 0.
Đúng. Mẫu là một tích nên chỉ bằng 0 khi một thừa số bằng 0: x=2 hoặc x=-3. Ta phải loại cả hai.
Sai. x=-1 làm tử bằng 0, điều đó không gây vấn đề. Chỉ mẫu bằng 0 mới làm biểu thức không xác định.
Sai về logic: “hoặc” nghĩa là chỉ cần một điều đúng, nhưng thực tế cả hai giá trị đều bị cấm cùng lúc.
Xét các đẳng thức đại số.
a) x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Đúng: hiệu hai bình phương a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) với a=x, b=3.
b) 9-x^{2}=(x-3)(x+3).
Sai: 9-x^{2}=-(x^{2}-9)=-(x-3)(x+3). Nhiều em quên dấu trừ ở đây.
c) x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.
Đúng: (x-3)^{2}=x^{2}-6x+9.
d) x^{2}+9=(x+3)^{2}.
Sai: (x+3)^{2}=x^{2}+6x+9. Tổng hai bình phương không phân tích được trên tập số thực.
Phương trình (x-2)(x+5)=0 có nghiệm x= . Phương trình t^{2}-t-6=0 có (t-3)(t+2)=0, nên t= .
Bản đồ bài học gồm năm chặng; chặng nào em đã quen thì lướt nhanh, nhưng đừng bỏ qua các “bẫy” và phần “tại sao nghĩ ra”.
Chặng · Nội dung · Giải quyết
1 · Điều kiện xác định và phân tích nhân tử · Nền tảng
2 · Quy trình rút gọn năm bước, kiểm tra bằng số · Bài A
3 · Phương trình bậc bốn: ẩn phụ, hồi quy, nghiệm hữu tỉ · Bài B
4 · Nghiệm bội và đồ thị · Bài B
5 · Kết hợp: rút gọn rồi giải, tìm giá trị nguyên · Cả hai
2 Nền tảng: điều kiện xác định và phân tích nhân tử
Hai kĩ năng nhỏ, quyết định bài rút gọn đúng hay sai.
Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có thể viết thành thương của hai đa thức. Ta chỉ được phép nói “A xác định” khi mọi mẫu số trong quá trình viết ra A khác 0. Cần chú ý ngay: điều kiện này được đọc từ biểu thức ban đầu , không phải từ biểu thức sau khi rút gọn.
Ghi nhớ
Điều kiện xác định (ĐKXĐ). Với biểu thức có phép chia cho phân thức \dfrac{C}{D}, ta cần cả D\ne 0 (phân thức \dfrac{C}{D} phải có nghĩa) và C\ne 0 (không chia cho 0). Mỗi mẫu số ở mọi tầng của biểu thức đều khác 0.
Vì sao phải khắt khe như vậy? Hãy xem \dfrac{x^{2}-9}{x-3}. Khi x\ne 3 ta rút gọn được thành x+3. Nhưng tại x=3, biểu thức đầu là \dfrac{0}{0}, không có nghĩa, còn x+3=6 thì có nghĩa. Hai biểu thức không hoàn toàn giống nhau: chúng chỉ bằng nhau ở những giá trị x mà biểu thức đầu xác định.
Hình 1. Ba giá trị x = -5, x = -3, x = 3 bị loại khỏi tập xác định của biểu thức P; các khoảng còn lại được tô màu.
Hình 1 vẽ tập xác định của biểu thức P ở Bài A: ba điểm -5, -3, 3 bị chọc thủng, phần còn lại tô màu. Ta sẽ hiểu vì sao có đúng ba điểm này ở Ví dụ 2.
Bẫy: đọc điều kiện từ biểu thức đã rút gọn
Sau khi rút gọn P thành \dfrac{(x+5)^{2}}{(x-3)^{3}(x+3)}, nhiều em đọc ĐKXĐ từ biểu thức mới và chỉ thấy x\ne 3, x\ne -3; rồi kết luận “P=0 khi x=-5”. Đó là sai: x=-5 làm cho phân thức \dfrac{x^{2}-6x+9}{x+5} trong đề bài mất nghĩa, nên P không xác định tại -5. Luôn đọc ĐKXĐ từ đề bài , trước khi biến đổi.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Có bao nhiêu số thực x làm biểu thức \dfrac{x+1}{(x-2)(x+3)(x^{2}+1)} không xác định?
Gợi ý 1. Biểu thức không xác định khi mẫu bằng 0.
Gợi ý 2. Thừa số x^{2}+1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1, nên không bao giờ bằng 0 với số thực.
Chính xác! Chỉ x=2 và x=-3 làm mẫu bằng 0; x^{2}+1\ge 1 không bao giờ bằng 0.
Em đã tính cả thừa số x^{2}+1. Nhưng x^{2}+1=0 vô nghiệm thực, nên không loại thêm giá trị nào.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Mẫu (x-2)(x+3)(x^{2}+1)=0 khi một thừa số bằng 0. x-2=0 cho x=2; x+3=0 cho x=-3; x^{2}+1=0 vô nghiệm thực. Vậy có 2 giá trị.
Bốn công cụ phân tích nhân tử
Muốn rút gọn, ta cần nhìn ra nhân tử chung của tử và mẫu. Có bốn công cụ, đủ cho gần hết bài học sinh giỏi lớp 9.
- Nhân tử chung : mọi hạng tử có chung một thừa. Ví dụ 3x^{2}+6x=3x(x+2).
- Hằng đẳng thức : hiệu hai bình phương, bình phương của tổng hoặc hiệu. Ví dụ x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.
- Nhóm hạng tử : bốn hạng tử ghép được hai cặp cùng nhân tử. Ví dụ x^{3}+x^{2}-x-1=(x+1)(x^{2}-1).
- Tách tam thức : x^{2}+px+q với hai số có tích q và tổng p. Ví dụ x^{2}+16x+63=(x+7)(x+9).
Ví dụ 1 · Phân tích tam thức bằng “tích – tổng”
Phân tích x^{2}+16x+63. Ta tìm hai số có tích 63 và tổng 16.
Hệ số của x chính là tổng hai số, hạng tử tự do là tích hai số.
Liệt kê các cặp ước dương của 63: (1, 63), (3, 21), (7, 9). Tổng lần lượt 64, 24, 16. Cặp (7, 9) có tổng 16.
Vì cả tích và tổng đều dương nên hai số cùng dương; như vậy không cần xét ước âm.
Vậy x^{2}+16x+63=(x+7)(x+9). Kiểm tra: (x+7)(x+9)=x^{2}+9x+7x+63=x^{2}+16x+63.
Luôn khai triển ngược để kiểm tra; một dấu nhầm là hỏng cả bài.
Tương tự x^{2}-12x+35: tích 35, tổng -12, hai số cùng âm: -5 và -7. Vậy x^{2}-12x+35=(x-5)(x-7).
Tích dương, tổng âm nên hai số cùng âm.
Bẫy: sai dấu khi tách tam thức
Tách hạng tử sai dấu là lỗi tốn điểm nhất. Với x^{2}-12x+35, có em viết (x+5)(x+7) vì “5\cdot 7=35, 5+7=12”. Kiểm tra bằng cách thay x=0: (0+5)(0+7)=35 đúng, nhưng thay x=1: 1-12+35=24 còn (1+5)(1+7)=48. Khác nhau, nên phân tích sai. Chỉ cần thử một giá trị của x là thấy lỗi.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Tính giá trị của \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9} khi x=5.
Gợi ý 1. Phân tích x^{2}-9=(x-3)(x+3) và x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.
Gợi ý 2. Rút gọn thừa số chung x-3 (điều kiện x\ne 3, thỏa vì x=5).
Chính xác! Biểu thức rút gọn là \dfrac{x+3}{x-3}, tại x=5 bằng \dfrac{8}{2}=4.
Em mới tính tử x+3=8 mà quên chia cho x-3=2. Sau khi rút gọn còn cả một phân thức.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^{2}}=\dfrac{x+3}{x-3} với x\ne 3. Tại x=5: \dfrac{8}{2}=4. Kiểm tra bằng biểu thức gốc: \dfrac{25-9}{25-30+9}=\dfrac{16}{4}=4.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Tính \dfrac{x^{4}+4}{x^{2}-2x+2} khi x=3. (Gợi ý: x^{4}+4=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2).)
Gợi ý 1. Kiểm tra gợi ý: (x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}=x^{4}+4.
Gợi ý 2. Sau khi chia còn x^{2}+2x+2.
Chính xác! Biểu thức bằng x^{2}+2x+2=9+6+2=17.
Em mới tính tử x^{4}+4=85. Còn phải chia cho mẫu x^{2}-2x+2=5 để được 17.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
x^{4}+4=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2). Vì x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1\gt 0 nên luôn khác 0, ta rút gọn được: biểu thức bằng x^{2}+2x+2. Tại x=3 là 17. Kiểm tra: \dfrac{81+4}{9-6+2}=\dfrac{85}{5}=17.
3 Rút gọn biểu thức hữu tỉ: quy trình năm bước
Quy trình cố định giúp mọi bài rút gọn đều ngắn và kiểm tra được.
Rút gọn một biểu thức hữu tỉ giống như dọn một căn phòng bừa bộn: nếu không có thứ tự, càng dọn càng loạn. Người giải giỏi luôn đi theo cùng một quy trình, và quy trình ấy có năm bước . Học thuộc năm bước này quan trọng hơn học thuộc bất kì mẹo nào.
Quy trình năm bước
- Điều kiện. Đọc điều kiện xác định từ đề bài và ghi ra ngay.
- Phân tích. Phân tích mọi tử và mẫu thành nhân tử; để ý các cặp nhân tử chỉ khác nhau về dấu, như x-3 và 3-x.
- Quy đồng. Chọn mẫu chung ngắn nhất (tích các nhân tử với số mũ lớn nhất), rồi cộng trừ tử.
- Gọn hóa. Rút gọn nhân tử chung của tử và mẫu.
- Kiểm tra. Thay một giá trị số vào biểu thức gốc và biểu thức mới; hai kết quả phải bằng nhau.
Hãy áp dụng ngay cho Bài A. Em sẽ thấy mọi bước đều ngắn, và lời giải chỉ dài đúng vài dòng.
Ví dụ 2 · Giải Bài A: rút gọn P
Điều kiện. Biểu thức có các mẫu x-3, 9-x^{2}, x+3; phép chia cho \dfrac{x^{2}-6x+9}{x+5} cần mẫu x+5\ne 0 và số chia khác 0. Ta được x\ne 3, x\ne -3, x\ne -5.
Số chia \dfrac{(x-3)^{2}}{x+5} chỉ bằng 0 khi x=3, giá trị này đã bị loại. Vậy có đúng ba giá trị bị cấm, khớp với Hình 1.
Phân tích. 9-x^{2}=-(x-3)(x+3), và x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.
Đưa dấu trừ ra ngoài để mẫu có cùng nhân tử với hai phân thức kia.
Quy đồng trong ngoặc. Viết \dfrac{3x+1}{9-x^{2}}=-\dfrac{3x+1}{(x-3)(x+3)}. Mẫu chung là (x-3)(x+3). Tử của tổng là x(x+3)-(3x+1)-(x+2)(x-3).
Mẫu chung là tích hai nhân tử chứ không cần khai triển (x-3)(x+3) thành x^{2}-9; ta giữ dạng tích để rút gọn sau này.
Khai triển tử: x^{2}+3x-3x-1-(x^{2}-x-6)=x^{2}-1-x^{2}+x+6=x+5. Vậy trong ngoặc bằng \dfrac{x+5}{(x-3)(x+3)}.
Các số hạng x^{2} triệt tiêu: đó là dấu hiệu tốt cho thấy ta không nhầm dấu.
Phép chia. P=\dfrac{x+5}{(x-3)(x+3)}\cdot\dfrac{x+5}{(x-3)^{2}}=\dfrac{(x+5)^{2}}{(x-3)^{3}(x+3)}.
Chia cho một phân thức là nhân với phân thức đảo. Nhân tử x+5 xuất hiện hai lần, nên ở tử có bình phương.
Kiểm tra và tính. Tại x=2: P=\dfrac{49}{(-1)^{3}\cdot 5}=-\dfrac{49}{5}. Đối chiếu với biểu thức gốc tại x=2: trong ngoặc \dfrac{2}{-1}+\dfrac{7}{5}-\dfrac{4}{5}=-2+\dfrac{3}{5}=-\dfrac{7}{5}; số chia \dfrac{1}{7}; thương -\dfrac{7}{5}\cdot 7=-\dfrac{49}{5}. Khớp.
Phép kiểm tra tốn ba dòng nhưng loại được gần hết lỗi dấu và lỗi quy đồng.
GV
Cô Lukato
Tại sao nghĩ ra cách giữ nguyên dạng tích? Vì mục tiêu cuối cùng là rút gọn , tức là tìm nhân tử chung. Nếu khai triển mẫu chung ra thành x^{2}-9, ta lại phải phân tích lại. Người giải giỏi không phá thứ mình sắp cần.
Cặp nhân tử đối nhau
Trong các bài rút gọn, lỗi hay gặp nhất là dấu. Hai nhân tử a-b và b-a chỉ khác nhau về dấu: b-a=-(a-b). Nhận ra cặp này giúp ta chọn mẫu chung ngắn hơn và tránh phải quy đồng với hai mẫu “khác nhau” mà thực ra giống nhau.
Cặp nhân tử · Quan hệ
x-3 và 3-x · 3-x=-(x-3)
9-x^{2} và x^{2}-9 · 9-x^{2}=-(x^{2}-9)
(x-3)^{2} và (3-x)^{2} · Bằng nhau, vì bình phương triệt dấu
Ví dụ 3 · Rút gọn khi có nhân tử đối dấu
Rút gọn M=\dfrac{x^{2}-4x+4}{4-x^{2}}. Điều kiện: 4-x^{2}\ne 0, tức x\ne 2 và x\ne -2.
Điều kiện đọc từ mẫu của đề bài, không phải từ kết quả cuối.
Phân tích: x^{2}-4x+4=(x-2)^{2} và 4-x^{2}=(2-x)(2+x)=-(x-2)(x+2).
Đưa mẫu về cùng nhân tử x-2 như tử, chú ý dấu trừ.
Rút gọn: M=\dfrac{(x-2)^{2}}{-(x-2)(x+2)}=-\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{2-x}{x+2}.
Rút một nhân tử x-2 là hợp lệ vì x\ne 2.
Kiểm tra tại x=1: biểu thức gốc \dfrac{1-4+4}{4-1}=\dfrac{1}{3}; biểu thức mới \dfrac{2-1}{1+2}=\dfrac{1}{3}. Khớp.
Nếu em quên dấu trừ sẽ được \dfrac{x-2}{x+2}=-\dfrac{1}{3}: số sai lộ ra ngay khi thay số.
Bẫy: gạch số hạng thay vì nhân tử
Nhiều em “rút gọn” bằng cách gạch số hạng: \dfrac{x+5}{x+3} bị viết thành \dfrac{5}{3} hoặc \dfrac{x^{2}-4}{x-2} bị viết thành x^{2}-2. Chỉ được rút gọn nhân tử (thừa số của tích), không được rút gọn số hạng của tổng. Hãy phân tích tử và mẫu thành tích trước, rồi mới gạch nhân tử giống nhau.
Bài 4 Mức 1 · Nhận biết
Cho N=\dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4}. Tính N khi x=4. Nhập kết quả dưới dạng phân số tối giản.
Gợi ý 1. Phân tích x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) và x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Gợi ý 2. Rút gọn thừa số x-2 (điều kiện x\ne \pm 2), rồi thay x=4.
Chính xác! Sau khi rút gọn N=\dfrac{x-3}{x+2}, tại x=4 được \dfrac{1}{6}.