Phương trình chứa ẩn ở mẫu: điều kiện xác định, khử mẫu và nghiệm ngoại lai
Học cách tìm điều kiện xác định, khử mẫu, loại nghiệm ngoại lai; lập phương trình cho bài toán ca nô, phân số, vòi nước; đọc phương trình bậc nhất hai ẩn như…
Toán 9 · Đại số · Ôn tập
Phương trình chứa ẩn ở mẫu: điều kiện xác định, khử mẫu và nghiệm ngoại lai
Một dòng điều kiện viết ở đầu bài có thể cứu em khỏi mất điểm oan. Bài này dạy em cách làm người gác cổng: tìm điều kiện xác định, khử mẫu đúng cách, rồi loại nghiệm ngoại lai trước khi kết luận.
90 phút Mức: khá đến giỏi 16 bài chấm tự động và 2 bài tự chấm Có bài toán thực tế
Em sẽ học: phương trình tích, điều kiện xác định, đổi dấu mẫu, quy đồng và khử mẫu, nghiệm ngoại lai, lập phương trình từ lời văn, đường thẳng của phương trình bậc nhất hai ẩn.
1 Người gác cổng: viết điều kiện trước khi làm bất cứ điều gì
Trước khi giải, hãy hỏi một câu duy nhất: có giá trị nào của ẩn bị cấm hay không?
Từ tiểu học em đã biết một điều cấm kỵ: không được chia cho 0. Điều cấm kỵ ấy chi phối cả một dạng phương trình lớn ở lớp 9. Hãy nhìn biểu thức \dfrac{1}{x-1}. Với x=2 ta được \dfrac{1}{1}=1. Với x=0 ta được \dfrac{1}{-1}=-1. Với x=1{,}1 ta được gần 10. Nhưng với x=1 thì mẫu bằng 0 và biểu thức không có nghĩa : không có con số nào để điền vào.
Hình 1. Với y = 1/(x - 1): càng gần x = 1, giá trị càng vọt lên cao hoặc xuống thấp; tại x = 1 không có điểm nào.
Đồ thị ở Hình 1 (em sẽ học kĩ hơn về loại đồ thị này sau) cho thấy rất rõ: hai nhánh đường cong chạy vút lên hoặc xuống khi x tiến sát 1, còn đúng tại x=1 thì chẳng có điểm nào. Đường nét đứt màu đỏ chính là “bức tường” mà biểu thức không thể chạm tới.
GV
Cô Lukato
Hãy tưởng tượng mỗi phương trình có một cổng thành. Người gác cổng cầm một danh sách cấm: những giá trị của ẩn làm cho mẫu bằng 0. Việc đầu tiên của em là lấy danh sách ấy ra. Việc cuối cùng của em cũng là mang từng nghiệm ra đối chiếu với danh sách ấy.
Ghi nhớ
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một phương trình chứa ẩn ở mẫu là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi mẫu thức đều khác 0 . Chỉ những giá trị thuộc ĐKXĐ mới được phép là nghiệm.
Vậy vì sao phải canh cổng cả hai đầu? Vì khi khử mẫu, ta nhân hai vế với một biểu thức chứa x. Nếu biểu thức đó bằng 0 tại một giá trị x_{0} nào đó, phép nhân biến mọi đẳng thức thành 0=0, và x_{0} có thể lọt vào danh sách nghiệm dù nó chưa bao giờ được phép. Giá trị “từ ngoài lọt vào” ấy gọi là nghiệm ngoại lai . Bài này sẽ cho em thấy nó xuất hiện như thế nào, và cách bắt nó.
Phần · Em sẽ làm được gì
1. Người gác cổng · Hiểu vì sao có điều kiện và nghiệm ngoại lai
2. Phương trình tích · Giải A\cdot B=0, phân tích nhân tử, tránh mất nghiệm
3. Điều kiện xác định · Liệt kê đủ mọi giá trị cấm, kể cả mẫu là tích
4. Đổi dấu và quy đồng · Nhận ra 2-x=-(x-2) để có mẫu chung đúng
5. Năm bước và nghiệm ngoại lai · Giải trọn vẹn một phương trình và loại nghiệm
6. Từ lời văn đến phương trình · Lập và giải bài toán chuyển động, bài toán phân số
7. Phương trình bậc nhất hai ẩn · Đọc một phương trình như một đường thẳng
8. Thách thức · Phương trình có tham số, phương trình quy về bậc hai
Trước khi vào bài, hãy thử sức với ba câu khởi động. Không sao nếu em chưa chắc: mục đích là để cảm nhận vấn đề, và phần giải thích sau mỗi câu sẽ chỉ ra chiếc cổng nào đã bị bỏ quên.
Cho phương trình \dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}. Nhân hai vế với x-1 ta được x=1. Kết luận nào đúng?
Sai: với x=1 mẫu x-1 bằng 0, nên hai vế đều không có nghĩa. Giá trị này không thể là nghiệm.
Đúng: ĐKXĐ là x\ne 1, mà giá trị duy nhất tìm được lại chính là 1. Nó bị loại nên phương trình vô nghiệm.
Sai: vô số nghiệm chỉ xảy ra khi hai vế đồng nhất với mọi x thuộc ĐKXĐ; ở đây sau khi khử mẫu chỉ còn một giá trị.
Sai: không có lí do gì để sinh ra hai nghiệm; phép khử mẫu chỉ cho một giá trị x=1 và giá trị đó lại bị cấm.
Giá trị nào của x làm cho biểu thức \dfrac{3}{2x-4} không có nghĩa?
Đúng: 2x-4=0 khi 2x=4, tức x=2.
Sai: đây là nhầm dấu khi chuyển vế. Thử lại: với x=-2 thì 2x-4=-8, khác 0.
Sai: 4 là số ở vế phải sau khi chuyển vế, quên chia cho hệ số 2. Thử lại: 2\cdot 4-4=4\ne 0.
Sai: với x=0, mẫu 2x-4=-4\ne 0 nên biểu thức vẫn có nghĩa (bằng -\dfrac{3}{4}).
Mẫu x-7 bằng 0 khi x= . Mẫu 2x+6 bằng 0 khi x= . Mẫu x^{2} bằng 0 khi x= .
2 Phương trình tích: khi tích bằng không
Công cụ nền cần có trước khi khử mẫu.
Trước khi đối mặt với mẫu số, ta cần một công cụ nền: phương trình tích . Sau khi khử mẫu, rất nhiều phương trình biến thành dạng “tích bằng 0”, nên em phải thật vững phần này.
Ghi nhớ
Tích bằng 0. A\cdot B=0 khi và chỉ khi A=0 hoặc B=0. Lí do: nếu cả hai số đều khác 0 thì tích của chúng cũng khác 0. Vậy để tích bằng 0, ít nhất một thừa số phải bằng 0.
Điều then chốt: định lí này chỉ dùng được khi vế phải bằng đúng 0 . Còn nếu tích bằng một số khác 0, ta không suy ra được từng thừa số (xem bẫy bên dưới). Cách xử lí luôn là chuyển hết về một vế để vế kia bằng 0, rồi phân tích vế còn lại thành tích.
Ví dụ 1 · Phân tích nhân tử để giải x^{2}-4x+3=0
Tách hạng tử -4x thành -x-3x: x^{2}-x-3x+3=0.
Vì sao làm bước này: ta cần hai số có tổng bằng -4 và tích bằng 3. Hai số đó là -1 và -3 vì (-1)+(-3)=-4 và (-1)(-3)=3.
Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau: x(x-1)-3(x-1)=0.
Vì sao làm bước này: trong mỗi nhóm đều xuất hiện thừa số chung x-1, đây là dấu hiệu cho thấy cách tách đã đúng.
Đặt thừa số chung: (x-1)(x-3)=0.
Vì sao làm bước này: lúc này vế trái là một tích và vế phải bằng 0, đúng dạng để dùng định lí tích bằng 0.
Suy ra x-1=0 hoặc x-3=0, tức x=1 hoặc x=3.
Vì sao làm bước này: mỗi thừa số cho một phương trình bậc nhất rất dễ.
Thử lại: 1-4+3=0 và 9-12+3=0. Tập nghiệm là S=\{1;\ 3\}.
Vì sao làm bước này: phép thử lại là lưới an toàn, chỉ tốn vài giây.
Ví dụ 2 · Tích có phân số: \left(\dfrac{x}{3}-3\right)(x+8)=0
Vế phải bằng 0 và vế trái đã là tích, nên: \dfrac{x}{3}-3=0 hoặc x+8=0.
Vì sao làm bước này: không cần khai triển; khai triển chỉ làm bài phức tạp thêm.
Từ \dfrac{x}{3}-3=0 suy ra \dfrac{x}{3}=3, nên x=9.
Vì sao làm bước này: nhân hai vế với 3 để bỏ mẫu 3.
Từ x+8=0 suy ra x=-8.
Vì sao làm bước này: chuyển 8 sang vế phải thì đổi dấu.
Hai nghiệm là 9 và -8. Tổng hai nghiệm là 9+(-8)=1.
Vì sao làm bước này: em nên viết hai nghiệm thành một dòng trước khi cộng để không đọc nhầm dấu.
Bẫy thường gặp
Bài toán (x-1)(x-3)=5. Nhiều em viết ngay “x-1=5 hoặc x-3=5”, được x=6 hoặc x=8. Thử với x=6: (6-1)(6-3)=5\cdot 3=15, khác 5. Lập luận sai vì định lí chỉ đúng khi vế phải là 0. Nhớ: tích bằng 0 mới cho ta tách từng thừa số ; tích bằng số khác 0 thì phải khai triển và đưa về vế phải bằng 0 trước.
Bẫy: chia hai vế cho một biểu thức chứa ẩn
Phương trình x^{2}=3x có hai nghiệm x=0 và x=3. Nếu chia hai vế cho x em chỉ còn x=3 và đã làm mất nghiệm x=0 (vì đã chia cho 0 khi x=0). Cách đúng: chuyển vế x^{2}-3x=0, đặt thừa số chung x(x-3)=0.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Giải phương trình \left(\dfrac{2}{5}x+1\right)(2-3x)=0. Hiệu của nghiệm lớn và nghiệm bé bằng bao nhiêu? (viết phân số, ví dụ 5/6)
Gợi ý 1. Vế trái đã là một tích, vế phải bằng 0: cho từng thừa số bằng 0.
Gợi ý 2. Từ \dfrac{2}{5}x+1=0 suy ra x=-\dfrac{5}{2}. Từ 2-3x=0 suy ra x=\dfrac{2}{3}.
Chính xác! Hai nghiệm là -\dfrac{5}{2} và \dfrac{2}{3}; hiệu \dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{19}{6}.
Em đã lấy nghiệm bé trừ nghiệm lớn nên ra số âm. Đề hỏi “lớn trừ bé”.
Em đã tính \dfrac{5}{2}-\dfrac{2}{3}: thiếu dấu của nghiệm -\dfrac{5}{2}. Hiệu phải là \dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{5}{2}\right).
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Cho \dfrac{2}{5}x+1=0 được \dfrac{2}{5}x=-1, nên x=-\dfrac{5}{2}. Cho 2-3x=0 được x=\dfrac{2}{3}. Nghiệm lớn nhất là \dfrac{2}{3}, nghiệm bé là -\dfrac{5}{2}.
Hiệu: \dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{15}{6}=\dfrac{19}{6}.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Tìm tập nghiệm của (x-4)(2x+6)=0. Nhập hai nghiệm cách nhau bằng dấu chấm phẩy (thứ tự tùy ý).
Gợi ý 1. Có hai thừa số, mỗi thừa số cho một phương trình.
Gợi ý 2. x-4=0 cho x=4. Còn 2x+6=0 cho 2x=-6.
Chính xác! x=4 hoặc x=-3.
Em đã đổi dấu sai cả hai nghiệm: từ x-4=0 ra x=4, không phải -4.
Nghiệm của 2x+6=0 là -3, em đã bỏ dấu trừ.
Nghiệm của x-4=0 là x=4; chuyển -4 sang vế phải phải đổi thành +4.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
x-4=0 suy ra x=4. 2x+6=0 suy ra 2x=-6, nên x=-3. Tập nghiệm S=\{-3;\ 4\}.
Bạn An giải x^{2}=5x bằng cách chia hai vế cho x và được x=5. Lời giải này thiếu sót ở đâu?
Sai: chia cho 5 không đưa được về dạng dễ giải; cách chuẩn là chuyển vế rồi đặt thừa số chung.
Đúng: x^{2}-5x=0, tức x(x-5)=0, có hai nghiệm x=0 và x=5. Chia cho x đã làm mất nghiệm 0.
Sai: hai nghiệm 0 và 5 đều thỏa, vì 0^{2}=5\cdot 0 và 5^{2}=5\cdot 5.
Sai: x=5 thỏa phương trình, chỉ là chưa đủ nghiệm.
Mở rộng: cách tách hạng tử nhanh cho tam thức bậc hai
Muốn phân tích x^{2}+bx+c, hãy tìm hai số p, q có tổng bằng b và tích bằng c . Khi đó x^{2}+bx+c=(x+p)(x+q). Ví dụ x^{2}-5x+6: hai số có tổng -5 và tích 6 là -2 và -3, nên x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3), nghiệm x=2 và x=3. Đây chỉ là mẹo cho trường hợp hệ số của x^{2} bằng 1; nếu không phân tích được bằng số nguyên, em cần công cụ khác (công thức nghiệm) mà em sẽ học ở phần phương trình bậc hai.
3 Điều kiện xác định: liệt kê mọi giá trị cấm
Mỗi mẫu là một cửa; người gác cổng phải canh cả năm cửa nếu có năm mẫu.
Cách tìm danh sách cấm rất đơn giản: với mỗi mẫu thức chứa ẩn, giải phương trình “mẫu =0”. Tất cả các giá trị tìm được đều bị cấm. Nếu mẫu là một tích, chỉ cần một thừa số bằng 0 là cả mẫu bằng 0, nên mỗi thừa số đều phải khác 0.
Ví dụ, với phương trình có các mẫu 2x+1 và x-5: 2x+1=0 khi x=-\dfrac{1}{2}, và x-5=0 khi x=5. Trên trục số (Hình 2) chỉ có đúng hai điểm bị loại, còn vô số giá trị khác vẫn được phép.
Hình 2. ĐKXĐ của phương trình có mẫu 2x + 1 và x - 5: trên trục số chỉ bị loại hai điểm.
Mẫu thức · Bằng 0 khi · Điều kiện
x-5 · x=5 · x\ne 5
2x+1 · x=-\dfrac{1}{2} · x\ne -\dfrac{1}{2}
1-3x · x=\dfrac{1}{3} · x\ne \dfrac{1}{3}
x^{2}-4 · Tách (x-2)(x+2): x=2 hoặc x=-2 · x\ne \pm 2
(x-1)(x+2) · x=1 hoặc x=-2 · x\ne 1, x\ne -2
x^{2}+1 · Không bao giờ, vì x^{2}+1\ge 1 · Không loại giá trị nào
Ví dụ 3 · Tìm ĐKXĐ của \dfrac{3}{3x+1}+\dfrac{2}{1-3x}=\dfrac{x-5}{9x^{2}-1}
Liệt kê các mẫu chứa ẩn: 3x+1, 1-3x và 9x^{2}-1.
Vì sao làm bước này: mỗi mẫu là một “cửa” cần canh; bỏ sót một mẫu là bỏ sót một giá trị cấm.
3x+1\ne 0 suy ra 3x\ne -1, tức x\ne -\dfrac{1}{3}.
Vì sao làm bước này: giải “mẫu =0” rồi phủ định.
1-3x\ne 0 suy ra 1\ne 3x, tức x\ne \dfrac{1}{3}.
Vì sao làm bước này: mẫu này có hệ số của x âm, nhưng cách làm vẫn y hệt.
9x^{2}-1=(3x-1)(3x+1)\ne 0 khi và chỉ khi x\ne \dfrac{1}{3} và x\ne -\dfrac{1}{3}.
Vì sao làm bước này: phân tích thành tích để thấy mỗi thừa số cho một giá trị cấm; hai giá trị này đã có ở hai bước trên.
Kết luận: ĐKXĐ là x\ne \dfrac{1}{3} và x\ne -\dfrac{1}{3}.
Vì sao làm bước này: một dòng ngắn gọn ở đầu bài giải, sẽ dùng lại ở bước đối chiếu.
Bẫy thường gặp
Một số em cho rằng mẫu x^{2}-4 chỉ cấm x=2. Thực ra x^{2}-4=(x-2)(x+2) cũng bằng 0 khi x=-2. Hãy thử: (-2)^{2}-4=0. Mẫu dạng “hiệu hai bình phương” luôn cấm hai giá trị.
Bẫy: tìm điều kiện sau khi rút gọn
Tìm ĐKXĐ phải dựa vào phương trình ban đầu , không dựa vào phương trình đã rút gọn. Ví dụ \dfrac{x^{2}-1}{x-1} có thể rút gọn thành x+1, nhưng biểu thức ban đầu vẫn không có nghĩa tại x=1. Nếu bỏ điều kiện x\ne 1, em có thể nhận nhầm x=1 làm nghiệm.
Bài 3 Mức 1 · Nhận biết
Phương trình \dfrac{x}{2x+1}+\dfrac{3}{x-5}=\dfrac{x}{(2x+1)(x-5)} có hai giá trị của x bị loại. Nhập hai giá trị đó (thứ tự tùy ý, cách nhau dấu chấm phẩy).
Gợi ý 1. Giải riêng 2x+1=0 và x-5=0.
Gợi ý 2. Mỗi phương trình là bậc nhất: chuyển số hạng tự do sang vế phải (nhớ đổi dấu), rồi chia cho hệ số của x. Mẫu (2x+1)(x-5) ở vế phải không cho thêm giá trị mới vì nó bằng 0 đúng khi một trong hai mẫu kia bằng 0.
Chính xác! Hai giá trị cấm là -\dfrac{1}{2} và 5, khớp với Hình 2.
Em quên dấu trừ: 2x+1=0 cho 2x=-1, tức x=-\dfrac{1}{2}.
Từ x-5=0 phải ra x=5; chuyển -5 sang vế phải thì đổi dấu.
Em đã bỏ qua hệ số 2: 2x=-1 nên x=-\dfrac{1}{2}, không phải -2.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
2x+1=0 suy ra x=-\dfrac{1}{2}. x-5=0 suy ra x=5. Mẫu chung (2x+1)(x-5) không cho thêm giá trị nào khác.
Phương trình \dfrac{1}{x^{2}+1}=\dfrac{2}{3} có điều kiện xác định là gì?
Sai: 1^{2}+1=2, khác 0, nên x=1 hoàn toàn hợp lệ.
Sai: em đã nhầm x^{2}+1 với x^{2}-1. Với x=-1 thì x^{2}+1=2.
Đúng: x^{2}\ge 0 nên x^{2}+1\ge 1>0 với mọi x, mẫu không bao giờ bằng 0.