Mô hình hóa và cực hạn: robot đi nghỉ theo cấp số, ghép cặp và nguyên lí Dirichlet
Dựng mô hình cho bài toán lặp có biên, ghép cặp tìm số nhỏ nhất đảm bảo, chọn chuồng cho Dirichlet và viết chứng minh cực hạn đủ hai nửa. Có 25 bài tập chấm…
Toán 9 · Học sinh giỏi · Mô hình hóa và cực hạn
Mô hình hóa và cực hạn: robot đi nghỉ theo cấp số, ghép cặp và nguyên lí Dirichlet
Hai bài toán trông chẳng liên quan, một bài về robot đi rồi nghỉ, một bài về chọn số từ một tập lẻ, nhưng cùng dùng một kĩ năng: chia đối tượng thành các khối không chồng lên nhau, đếm từng khối, rồi kiểm tra kĩ phần biên.
90 phút Mức: khá – giỏi Bài luyện LUKATO nâng cao
Em sẽ học: lập mô hình chu kì, tính tổng cấp số cộng, kiểm tra biên, ghép cặp, chứng minh số nhỏ nhất bằng hai nửa, nguyên lí Dirichlet.
1 Bản đồ bài học và kiểm tra đầu vào
Trước khi học, hãy thử sức với ba câu ngắn. Đừng lo nếu sai: bài học sẽ quay lại đúng những chỗ dễ nhầm này.
GV
Cô Lukato
Chào em. Cô là cô Lukato. Hôm nay ta học cách "biến câu chữ thành những khối đếm được". Trong đề học sinh giỏi, đáp số thường không khó tính; cái khó là dựng đúng mô hình. Sai mô hình ở bước đầu thì mọi phép tính sau đều đúng một cách vô ích.
Bốn việc em sẽ làm được sau bài này
- Đọc một quá trình lặp (đi, nghỉ, đi, nghỉ...) rồi gọi tên một chu kì, một chỉ số, một tổng và một điều kiện biên.
- Tính nhanh tổng 1+2+\cdots+n và biết khi nào phải dùng n, khi nào phải dùng n-1.
- Chia một tập số thành các cặp và các phần tử lẻ loi để tìm số phần tử tối thiểu buộc phải có hai số thỏa điều kiện.
- Viết bài chứng minh cực trị đủ hai nửa: "đủ" và "chưa đủ".
Ba câu kiểm tra đầu vào
Giá trị của S=1+2+3+\cdots+40 là
Sai: đây là 1+2+\cdots+39=39\cdot 40/2. Em đã dừng sớm một số hạng.
Đúng: S=\dfrac{40\cdot 41}{2}=820.
Sai: 800=40\cdot 20 là kết quả nếu nhầm công thức thành n\cdot n/2.
Sai: 1640=40\cdot 41 chưa chia cho 2.
Tập \{5, 8, 11, 14, \ldots, 68\} (hai số liền nhau hơn kém 3) có bao nhiêu phần tử?
Sai: 23 là kết quả khi cộng thêm 1 hai lần (một lần thừa).
Sai: 63=68-5 là khoảng cách, chưa chia cho bước nhảy 3.
Sai: (68-5)/3=21 mới là số "khoảng cách"; số phần tử phải cộng thêm 1.
Đúng: \dfrac{68-5}{3}+1=22.
Trong một lớp có 37 học sinh. Khẳng định nào chắc chắn đúng?
Sai: 37=12\cdot 3+1 chỉ đảm bảo 4 bạn, không đảm bảo 5 bạn.
Đúng: 37=12\cdot 3+1, nên nếu mỗi tháng có nhiều nhất 3 bạn thì chỉ có tối đa 36 bạn, mâu thuẫn.
Sai: "đúng 3 bạn" là khẳng định quá chặt; số bạn sinh cùng tháng có thể là 4, 5 hoặc hơn.
Sai: có thể có tháng không ai sinh; nguyên lí chỉ nói về tháng đông nhất.
Bản đồ các mục
Mục · Nội dung · Em sẽ mang đi
2 · Quy trình mô hình hóa · Năm câu hỏi trước khi đặt ẩn
3 · Robot đi và nghỉ · Đếm đúng lần đi, lần nghỉ; kiểm tra biên
4 · Biến thể và hỏi theo thời điểm · Đổi luật nghỉ, đổi vận tốc, tìm vị trí
5 · Ghép cặp · Chia tập thành cặp và số lẻ loi
6 · Cực hạn · Tối đa còn tránh được cộng một
7 · Dirichlet mở rộng · Số dư, ước, hiệu, tổng tập con
8 · Chiến lược 90 phút · Chia thời gian theo độ dễ nhìn ra hướng giải
9–11 · Luyện tập, thách thức, tự kiểm tra · Chín bài luyện (Bài 17 đến Bài 25) và bảng tổng kết
Về các bài toán
Các bài toán trong bài này là bài luyện do LUKATO tự soạn: số liệu được tự thiết kế và mọi đáp số đều có lời giải đầy đủ để em tự kiểm tra.
2 Quy trình mô hình hóa: một chu kì, một chỉ số, một biên
Mọi bài "câu chữ dài" đều trả lời được nếu em chịu hỏi đủ năm câu trước khi viết bất kì công thức nào.
Năm câu hỏi
Câu hỏi · Nghĩa là gì · Ví dụ với robot
1. Chu kì · Đơn vị nào lặp đi lặp lại? · Một lần "đi một đoạn, rồi nghỉ"
2. Chỉ số · Đặt tên cho lần lặp thứ mấy? · Đoạn thứ k, k=1, 2,\ldots,n
3. Tổng · Cần cộng những đại lượng nào? · Thời gian đi, thời gian nghỉ, quãng đường
4. Biên · Lần cuối cùng có giống các lần khác không? · Sau đoạn cuối robot đã đến B, không nghỉ nữa
5. Điều kiện · Đề cho ràng buộc nào để tìm n? · Thời gian đi hơn hai lần thời gian nghỉ đúng 20 giây
Chữ "biên" là chữ quan trọng nhất trong bảng. Ta gọi là "biên" vì đó là chỗ quá trình bắt đầu hoặc kết thúc, nơi quy luật chung dễ bị phá vỡ. Chỉ cần nhầm biên một đơn vị, phương trình cuối có thể vô nghiệm hoặc cho đáp số lệch.
Hình 1. Với 4 đoạn có 4 lần đi nhưng chỉ 3 lần nghỉ: sau đoạn cuối robot đã đến B.
GV
Cô Lukato
Nhìn Hình 1: có bốn khối "đi" nhưng chỉ ba khối "nghỉ". Nếu em đếm thầm "đi, nghỉ, đi, nghỉ, đi, nghỉ, đi" thì số lần nghỉ ít hơn số lần đi đúng một. Đây chính là bài toán "hàng rào và cọc": muốn rào một đoạn thẳng bằng n tấm hàng rào thì cần n+1 cọc, còn muốn nối n đoạn đường thì chỉ có n-1 chỗ nối.
Ghi nhớ
Nếu quá trình gồm n lần "làm việc" nối tiếp và giữa hai lần liên tiếp có một lần "nghỉ" thì số lần nghỉ là n-1, không phải n. Nếu đề nói "nghỉ sau mỗi lần làm việc, kể cả lần cuối" thì số lần nghỉ mới là n. Hãy đọc kĩ đề để biết mình đang ở trường hợp nào.
Bốn thói quen của người mô hình hóa giỏi
Thói quen 1: thử số nhỏ
Trước khi viết công thức tổng quát, hãy mô phỏng với n=1, 2, 3. Nếu n=1 mà robot đã có một lần nghỉ thì mô hình của em sai ngay lập tức.
Thói quen 2: kiểm tra đơn vị
Quãng đường tính bằng mét, vận tốc bằng mét trên giây, nên thời gian mới tính bằng giây. Nếu một biểu thức lẫn mét với giây thì chắc chắn có lỗi.
Thói quen 3: viết ra "công thức kiểm tra"
Sau khi tìm được n, thay ngược vào đề để kiểm tra mọi điều kiện, không chỉ điều kiện cuối.
Thói quen 4: gọi tên các tổng
Đặt T_{\text{đi}}, T_{\text{nghỉ}}, S thay vì dùng một chữ cho tất cả. Đề dài thì tên gọi giúp em không lẫn.
Ví dụ 1 · Đếm đúng số lần đi và số lần nghỉ
Một người chạy 5 vòng sân. Sau mỗi vòng (trừ vòng cuối) người đó uống nước 30 giây. Hỏi tổng thời gian uống nước là bao nhiêu?
Vì sao làm bước này: ta cần xác định chu kì, chỉ số và biên trước khi nhân.
Chu kì: "chạy một vòng rồi uống nước". Chỉ số: vòng k=1,\ldots,5. Biên: sau vòng thứ 5 người đó đã chạy xong nên không uống nữa.
Vì sao làm bước này: biên chính là chỗ đề bài cố ý dùng chữ "trừ vòng cuối".
Số lần uống nước là 5-1=4. Tổng thời gian uống nước là 4\cdot 30=120 giây.
Vì sao làm bước này: nếu nhân 5\cdot 30=150 giây là đã cộng thêm một lần uống nước không hề xảy ra.
Kiểm tra bằng cách vẽ: chạy, uống, chạy, uống, chạy, uống, chạy, uống, chạy. Đếm được 4 lần uống. Khớp.
Vì sao làm bước này: vẽ sơ đồ nhỏ là cách kiểm tra nhanh nhất cho mọi bài "hàng rào và cọc".
Bẫy thường gặp
Nhiều em đọc "sau mỗi đoạn robot nghỉ" rồi vội viết n lần nghỉ. Ví dụ: với n=3 đoạn, robot đi ba lần và nghỉ hai lần; em viết ba lần nghỉ thì đã tính thêm một lần nghỉ sau khi robot đã tới đích, lần nghỉ này không tồn tại.
Bẫy thường gặp
Sai lầm thứ hai là dùng "một chữ cho hai đại lượng". Ví dụ đặt t cho cả thời gian đi lẫn thời gian nghỉ, rồi viết t=2k ở một dòng và t=k ở dòng khác. Hãy luôn dùng hai chữ khác nhau.
Robot đi 7 đoạn và nghỉ giữa các đoạn liên tiếp. Số lần nghỉ là và số lần đi là . Nếu đề nói thêm "nghỉ cả sau đoạn cuối" thì số lần nghỉ là .
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Một cầu thang có 12 bậc. Người leo bậc một, nghỉ chân 2 giây, leo bậc hai, nghỉ chân 2 giây, và cứ thế; họ chỉ nghỉ giữa hai bậc liên tiếp, không nghỉ sau bậc cuối. Tổng thời gian nghỉ chân là bao nhiêu giây?
Gợi ý 1. Đếm số lần nghỉ trước: giữa hai bậc liên tiếp thì có bao nhiêu chỗ nghỉ?
Gợi ý 2. Có 12 bậc thì có 11 khoảng giữa hai bậc liên tiếp.
Chính xác! 11 lần nghỉ, mỗi lần 2 giây, tổng 22 giây.
Đáp số 24=12\cdot 2 là do đếm 12 lần nghỉ. Nhưng sau bậc cuối không có lần nghỉ nào.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Có 12 bậc nên có 11 chỗ giữa hai bậc liên tiếp, mỗi chỗ nghỉ 2 giây. Tổng: 11\cdot 2=22 giây.
3 Robot đi và nghỉ: dựng mô hình đầy đủ
Ta giải trọn vẹn một bài toán mẫu, rồi mổ xẻ từng quyết định: vì sao chọn chỉ số như vậy, vì sao tổng chạy đến n hay n-1.
Bài toán mẫu (bài luyện LUKATO)
Một robot đi từ A đến B theo các đoạn thẳng liên tiếp. Đoạn thứ k dài 4k mét (k=1, 2, 3,\ldots) và robot luôn đi với vận tốc 2 m/s. Sau mỗi đoạn, trừ đoạn cuối cùng (khi đã tới B), robot nghỉ k giây, với k là số thứ tự của đoạn vừa đi xong. Biết rằng tổng thời gian đi lớn hơn hai lần tổng thời gian nghỉ đúng 20 giây. Tính độ dài quãng đường AB.
GV
Cô Lukato
Đọc đề xong, em đừng tính ngay. Hãy trả lời năm câu hỏi ở mục 2. Chu kì là "đi đoạn k, nghỉ k giây". Chỉ số là k. Biên là đoạn cuối: đến B thì dừng hẳn. Còn điều kiện là "thời gian đi hơn hai lần thời gian nghỉ 20 giây".
Ví dụ 2 · Giải bài toán robot từng bước
Gọi n là số đoạn robot đi để tới B. Thời gian đi đoạn thứ k là \dfrac{4k}{2}=2k giây.
Vì sao làm bước này: đổi mọi thứ về cùng một đơn vị (giây) trước khi cộng.
Tổng thời gian đi: T_{\text{đi}}=2\cdot 1+2\cdot 2+\cdots+2\cdot n=2(1+2+\cdots+n)=n(n+1) giây.
Vì sao làm bước này: tổng 1+2+\cdots+n bằng \dfrac{n(n+1)}{2}, nhân với 2 được n(n+1).
Robot nghỉ sau các đoạn 1, 2,\ldots,n-1 (không nghỉ sau đoạn n), nên T_{\text{nghỉ}}=1+2+\cdots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2} giây.
Vì sao làm bước này: đây là bước biên: sau đoạn cuối robot đã tới B.
Điều kiện đề: T_{\text{đi}}-2T_{\text{nghỉ}}=20. Thay vào: n(n+1)-n(n-1)=20, tức 2n=20, suy ra n=10.
Vì sao làm bước này: hai tổng gần giống nhau nên khi trừ thì phần bậc hai triệt tiêu, chỉ còn phương trình bậc nhất.
Quãng đường: AB=4(1+2+\cdots+10)=4\cdot 55=220 mét.
Vì sao làm bước này: đề hỏi quãng đường, không hỏi n.
Kiểm tra: T_{\text{đi}}=10\cdot 11=110, T_{\text{nghỉ}}=\dfrac{10\cdot 9}{2}=45, 110-2\cdot 45=20. Đúng.
Vì sao làm bước này: thay ngược vào đề để chắc chắn mô hình đã khớp mọi dữ kiện.
Ghi nhớ: trừ trước, khai triển sau
Khi hai tổng có "hình dạng gần nhau" (ở đây 1+\cdots+n và 1+\cdots+(n-1)), hãy thử trừ nhau trước khi khai triển. Nhiều phương trình bậc hai tưởng đáng sợ hóa ra chỉ còn bậc nhất.
Vì sao tổng bằng n(n+1)/2? (nhắc lại cách của Gauss)
Viết tổng hai lần, một lần xuôi, một lần ngược:
\begin{array}{rcl} S&=&1+2+3+\cdots+n\\ S&=&n+(n-1)+(n-2)+\cdots+1\end{array}
Cộng theo từng cột, mỗi cột cho n+1, có n cột, nên 2S=n(n+1) và S=\dfrac{n(n+1)}{2}. Nếu tổng dừng ở n-1 thì chỉ cần thay n bằng n-1: 1+\cdots+(n-1)=\dfrac{(n-1)n}{2}.
Bảng số liệu để em "nhìn thấy" mô hình
n · Đoạn n dài (m) · Thời gian đi đoạn n (s) · Quãng đường tới hết đoạn n (m) · Tổng đi (s) · Tổng nghỉ (s) · Tổng thời gian (s)
1 · 4 · 2 · 4 · 2 · 0 · 2
2 · 8 · 4 · 12 · 6 · 1 · 7
3 · 12 · 6 · 24 · 12 · 3 · 15
4 · 16 · 8 · 40 · 20 · 6 · 26
5 · 20 · 10 · 60 · 30 · 10 · 40
6 · 24 · 12 · 84 · 42 · 15 · 57
7 · 28 · 14 · 112 · 56 · 21 · 77
8 · 32 · 16 · 144 · 72 · 28 · 100
9 · 36 · 18 · 180 · 90 · 36 · 126
10 · 40 · 20 · 220 · 110 · 45 · 155
11 · 44 · 22 · 264 · 132 · 55 · 187
12 · 48 · 24 · 312 · 156 · 66 · 222
Đọc bảng theo hàng n=10: tổng đi 110, tổng nghỉ 45, 110-90=20. Đọc theo cột "Tổng đi" và "Tổng nghỉ": hiệu T_{\text{đi}}-2T_{\text{nghỉ}} tăng đều mỗi hàng 2 đơn vị (2, 4, 6,\ldots), đúng bằng 2n. Đây là "kiểm tra bằng số" rất đáng làm ngay cả khi em đã có công thức.
Kiểm tra mô hình bằng phản chứng
Giả sử một bạn cho rằng robot còn nghỉ n giây sau đoạn cuối. Khi đó T_{\text{nghỉ}}=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} và 2T_{\text{nghỉ}}=n(n+1)=T_{\text{đi}} với mọi n. Hiệu T_{\text{đi}}-2T_{\text{nghỉ}} luôn bằng 0, không bao giờ bằng 20. Đề bài vô nghiệm, điều này mâu thuẫn với việc đề yêu cầu tính AB. Vì thế mô hình đúng phải là "không nghỉ sau đoạn cuối".
Bẫy thường gặp
Một số em viết điều kiện thành T_{\text{đi}}=2T_{\text{nghỉ}}+20 rồi thay nhầm T_{\text{nghỉ}}=\dfrac{n(n+1)}{2}. Phương trình trở thành n(n+1)=n(n+1)+20, vô lí. Lúc đó đừng kết luận "đề sai"; hãy quay lại kiểm tra biên: có lẽ em đã cộng thêm một lần nghỉ.
Bẫy thường gặp
Nhầm giữa "độ dài đoạn" và "thời gian đi đoạn". Đoạn k dài 4k mét nhưng chỉ đi hết 2k giây. Nếu cộng thẳng 4k vào tổng thời gian, em đã cộng mét với giây.
Bẫy thường gặp
Sau khi tìm n=10, có bạn trả lời "AB=10 mét". Nhớ rằng n là số đoạn; quãng đường là 4(1+2+\cdots+10)=220 mét.
Tại sao nghĩ ra hướng này?
Có hai dấu hiệu khiến ta nghĩ đến việc "trừ hai tổng". Thứ nhất, đề cho quan hệ giữa hai tổng chứ không cho từng tổng. Thứ hai, cả hai tổng đều là tổng các số nguyên liên tiếp bắt đầu từ 1, chỉ khác nhau ở điểm dừng. Khi thấy hai tổng cùng "họ", hãy so sánh trực tiếp thay vì tính riêng từng tổng.
Robot đi n đoạn, đoạn k dài 4k mét với vận tốc 2 m/s và nghỉ k giây sau đoạn k (trừ đoạn cuối). Với n=6, tổng thời gian nghỉ là
Sai: 21=1+\cdots+6 đã cộng thêm lần nghỉ sau đoạn thứ 6.
Sai: 6 là số đoạn, không phải tổng thời gian nghỉ.
Sai: 42=6\cdot 7 là tổng thời gian đi, không phải thời gian nghỉ.
Đúng: 1+2+3+4+5=15.
Với n=6 trong cùng bài toán, quãng đường AB bằng