Ly nước hình nón: vì sao chiều cao còn ba phần tư nhưng nước thì không
Đồng dạng, tỉ số k^3, bảo toàn thể tích, hai cách giải, các bẫy thường gặp và 20 bài luyện có gợi ý.
Toán 9 · Hình học không gian · Ôn tập
Hai ly nước hình nón: chiều cao còn ba phần tư nhưng nước thì không
Bài này chỉ dùng công thức thể tích hình nón và một ý tưởng: khi mọi độ dài nhân với k thì thể tích nhân với k^{3}. Em sẽ hiểu ý tưởng ấy từ gốc, giải bài bằng hai cách, rồi tự đổi số liệu để ra đề cho chính mình.
Khoảng 100 phút Mức: khá - giỏi Có 2 cách giải đầy đủ
Em sẽ học: đồng dạng của hình nón, quy luật k - k bình - k lập phương, bảo toàn thể tích, đặt phương trình bậc ba đơn giản và trình bày trọn điểm.
1 Đề bài và bản đồ bài học
Một bài toán tưởng ngắn, nhưng ẩn bên trong là một quy luật rất đẹp của hình học.
Hôm nay ta học qua một bài toán về ly nước hình nón; đây là câu cuối cùng (Câu 7) của đề, dành 1,0 điểm. Dưới đây là đề bài do LUKATO viết bằng lời của mình.
Đề bài (bản viết lại của LUKATO)
Bạn Bình có hai ly thủy tinh giống hệt nhau. Phần chứa nước của mỗi ly là một hình nón, bán kính đáy 4 cm, chiều cao 10 cm (đỉnh nón ở phía dưới, miệng ly ở phía trên). Ban đầu ly thứ nhất đầy nước, ly thứ hai không có nước. Bình rót bớt nước từ ly thứ nhất sang ly thứ hai, cho tới khi cột nước còn lại trong ly thứ nhất cao bằng \dfrac{3}{4} lúc ban đầu. Hỏi khi đó cột nước trong ly thứ hai cao bao nhiêu? (Coi thành ly rất mỏng, nước không bị đổ ra ngoài.)
GV
Cô Lukato
Đọc đề xong, nhiều em nghĩ ngay: "ly 1 còn ba phần tư, vậy ly 2 nhận một phần tư". Câu nghĩ đó nghe rất hợp lí, và nó sai. Cả bài này là hành trình để em tự nhìn ra vì sao sai, và sửa cho đúng.
Trước khi đi tiếp, ta kiểm tra nhanh ba điều em đã biết. Đừng lo nếu sai; mỗi câu đều có giải thích.
Một khối lập phương có cạnh 2 cm. Nếu tăng cạnh lên gấp đôi (cạnh 4 cm) thì thể tích tăng lên bao nhiêu lần?
Sai. Đây là số lần tăng của cạnh, không phải của thể tích.
Sai. 4 là số lần tăng của diện tích một mặt (2^{2}); thể tích còn thêm một chiều nữa.
Đúng. Thể tích 2^{3}=8 cm³ rồi 4^{3}=64 cm³; 64:8=8. Cạnh nhân 2 thì thể tích nhân 2^{3}=8.
Sai. 6 là số mặt của hình lập phương; không liên quan tới tỉ số thể tích.
Hai tam giác ABC và A_{1}B_{1}C_{1} đồng dạng với tỉ số k=\dfrac{1}{2}.
a) Diện tích tam giác nhỏ bằng \dfrac{1}{4} diện tích tam giác lớn.
Đúng: diện tích của hình đồng dạng nhân với k^{2}=\dfrac{1}{4}.
b) Chu vi tam giác nhỏ bằng \dfrac{1}{4} chu vi tam giác lớn.
Sai: chu vi là một độ dài nên nhân với k=\dfrac{1}{2}, không phải k^{2}.
c) Mỗi góc của tam giác nhỏ bằng góc tương ứng của tam giác lớn.
Đúng: đồng dạng giữ nguyên các góc, chỉ đổi kích thước.
d) Tỉ số hai đường cao tương ứng là \dfrac{1}{2}.
Đúng: đường cao cũng là độ dài nên tỉ số bằng k.
Thể tích hình nón có bán kính đáy 3 và chiều cao 4 là V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 3^{2}\cdot 4= \pi. Nếu chiều cao gấp đôi mà bán kính giữ nguyên thì thể tích là \pi.
Ba câu trên là "hành trang". Bây giờ là bản đồ của cả bài, để em biết mình đang đi đâu.
Chặng · Việc cần làm (kiến thức dùng tới)
1 · Hiểu vì sao mặt nước cắt hình nón thành một hình nón nhỏ (định lí Thalès, tam giác đồng dạng)
2 · Rút ra quy luật độ dài, diện tích, thể tích (tỉ số k, k^{2}, k^{3})
3 · Giải Câu 7 theo cách bám sát từng bước (công thức thể tích hình nón, bảo toàn thể tích)
4 · Giải lại bằng cách ngắn gọn dùng tỉ số (căn bậc ba)
5 · Trình bày thật rõ để không mất điểm từng ý
6 · Đổi số liệu, tìm công thức tổng quát và những điều bất ngờ
2 Mặt nước cắt ly thành một hình nón đồng dạng
Chìa khóa thứ nhất: nước trong ly luôn là một hình nón nhỏ, đồng dạng với chính cái ly.
Muốn tính thể tích nước, ta cần biết phần nước trong ly là hình gì và kích thước của nó. Ly là hình nón có đỉnh ở dưới. Khi nước lặng, mặt nước nằm ngang, tức là song song với mặt miệng ly . Nước chiếm phần dưới của ly, từ đỉnh lên tới mặt nước. Phần đó cũng là một hình nón, có cùng đỉnh, cùng trục với hình nón của cả ly.
Hình 1. Mặt cắt qua trục của ly: nước cao 7,5 cm tạo ra hình nón nhỏ có bán kính mặt nước 3 cm, đồng dạng với hình nón của cả ly.
Hãy cắt ly bằng một mặt phẳng đi qua trục, ta được mặt cắt như Hình 1: một tam giác cân (đỉnh ở dưới) và một tam giác cân nhỏ hơn nằm bên trong, ứng với phần có nước. Hai tam giác này có chung góc ở đỉnh, và hai đáy song song với nhau. Vì vậy chúng đồng dạng (định lí Thalès).
Ghi nhớ: đồng dạng theo mực nước
Gọi R, H là bán kính miệng và chiều cao của cả ly; r, h là bán kính mặt nước và chiều cao cột nước. Vì mặt nước song song với miệng ly nên
\dfrac{r}{R}=\dfrac{h}{H}.
Nói cách khác: bán kính mặt nước giảm theo cùng tỉ lệ với chiều cao cột nước . Với ly trong đề, R=4, H=10, suy ra r=\dfrac{4}{10}h=\dfrac{2}{5}h.
GV
Cô Lukato
Đây là "chìa khóa thứ nhất". Nếu em quên nó, em sẽ mặc nhiên coi bán kính mặt nước vẫn bằng 4 cm dù nước đã cạn, và lời giải sụp đổ ngay từ bước đầu.
Ví dụ 1 · Ly chứa nước cao 6 cm: bán kính mặt nước và thể tích
Ly có R=4, H=10. Nước cao h=6. Gọi r là bán kính mặt nước; theo đồng dạng, \dfrac{r}{4}=\dfrac{6}{10}.
Vì sao làm vậy: mặt nước song song miệng ly nên hai tam giác cắt được đồng dạng; ta dùng tỉ số cạnh tương ứng.
Suy ra r=4\cdot\dfrac{6}{10}=2{,}4 cm.
Kiểm tra bằng mắt: 2{,}4 bé hơn 4, hợp lí vì mực nước thấp hơn miệng ly.
Thể tích nước là V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 2{,}4^{2}\cdot 6=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 5{,}76\cdot 6=11{,}52\pi (cm³).
Vì sao làm vậy: phần nước là hình nón có bán kính r và chiều cao h, ta dùng công thức thể tích hình nón.
So với cả ly đầy: V_{0}=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 16\cdot 10=\dfrac{160\pi}{3}\approx 53{,}33\pi. Vậy nước chỉ bằng \dfrac{11{,}52}{53{,}33}\approx 0{,}216 thể tích cả ly, dù chiều cao đã là \dfrac{6}{10}=60\%.
Đây là gợi ý cho điều lớn hơn: 0{,}6^{3}=0{,}216. Mực nước 60 phần trăm nhưng thể tích chỉ khoảng 21,6 phần trăm.
Bẫy thường gặp
Bẫy: coi mặt nước luôn có bán kính bằng bán kính miệng ly. Ví dụ, với nước cao 6 cm, nếu em vẫn dùng r=4 thì được V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 16\cdot 6=32\pi, lớn gấp gần ba lần giá trị đúng 11{,}52\pi. Chỉ cần nhớ hình dạng: ly hẹp dần về phía đỉnh.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Ly có bán kính miệng 4 cm, cao 10 cm. Nước cao 6 cm. Bán kính mặt nước là bao nhiêu xentimét?
Gợi ý 1. Vẽ mặt cắt qua trục: tam giác lớn và tam giác nhỏ có chung đỉnh.
Gợi ý 2. Dùng tỉ số \dfrac{r}{4}=\dfrac{h}{10}.
Chính xác! r=4\cdot\dfrac{6}{10}=2{,}4 cm.
Bạn đang lấy bán kính miệng ly. Nước chưa đầy nên mặt nước hẹp hơn miệng ly.
Em đã nhân chéo ngược: r phải nhỏ hơn 4.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Tính r=4\cdot\dfrac{6}{10}=\dfrac{24}{10}=2{,}4 cm.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Với nước cao 6 cm trong ly trên, thể tích nước bằng k\pi (cm³). Nhập giá trị k.
Gợi ý 1. Bán kính mặt nước là 2{,}4.
Gợi ý 2. Thể tích =\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h.
Chính xác! \dfrac{1}{3}\cdot 5{,}76\cdot 6=11{,}52.
Bạn quên nhân với \dfrac{1}{3} trong công thức thể tích hình nón.
Bạn dùng bán kính 4 thay vì 2{,}4 (\dfrac{1}{3}\cdot 16\cdot 6=32).
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 2{,}4^{2}\cdot 6=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 34{,}56=11{,}52\pi. Vậy k=11{,}52.
3 Quy luật độ dài - diện tích - thể tích
Chìa khóa thứ hai: cùng một phép thu nhỏ nhưng ba đại lượng thay đổi theo ba tốc độ khác nhau.
Bây giờ đến điều làm nên sự thú vị của bài: khi ta thu nhỏ một vật theo tỉ số k, độ dài, diện tích và thể tích thay đổi khác nhau .
Đại lượng · Nhân với · Ví dụ
Độ dài (cạnh, bán kính, chiều cao) · k · cạnh 2 thành 4
Diện tích (hai chiều: dài và rộng) · k^{2} · mặt 4 thành 16
Thể tích (ba chiều: dài, rộng, cao) · k^{3} · khối 8 thành 64
Với hình nón, ta không cần tin vào quy luật ấy: công thức thể tích cho ta kiểm tra trực tiếp. Giả sử hình nón ban đầu có bán kính R, chiều cao H, thể tích V=\dfrac{1}{3}\pi R^{2}H. Thu nhỏ theo tỉ số k: bán kính thành kR, chiều cao thành kH. Thể tích mới là
V_{k}=\dfrac{1}{3}\pi\,(kR)^{2}\,(kH)=k^{3}\cdot\dfrac{1}{3}\pi R^{2}H=k^{3}V.
Ghi nhớ: k - k bình - k lập phương
Quy luật lập phương. Hai hình nón đồng dạng với tỉ số k thì tỉ số thể tích là k^{3}. Nếu chiều cao nước còn \dfrac{3}{4} thì thể tích nước còn \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}=\dfrac{27}{64}, chưa tới một nửa.
Nhắc lại: căn bậc ba
Trong bài này, ta cần căn bậc ba (đã học ở Toán 9): căn bậc ba của số a là số x sao cho x^{3}=a, kí hiệu \sqrt[3]{a}. Ví dụ \sqrt[3]{8}=2 vì 2^{3}=8, và \sqrt[3]{\dfrac{27}{64}}=\dfrac{3}{4} vì \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}=\dfrac{27}{64}. Mỗi số có đúng một căn bậc ba. Trên máy tính cầm tay, dùng phím căn bậc ba rồi nhập 37, ta được \sqrt[3]{37}\approx 3{,}3322. Đừng nhầm với căn bậc hai \sqrt{a}: đó là số không âm có bình phương bằng a.
Hình 2. Tỉ số thể tích V/V0 theo tỉ số chiều cao h/H. Chiều cao còn 3/4 (điểm bên trái) chỉ ứng với thể tích còn 27/64; thể tích 37/64 ứng với chiều cao 0,833 lần H.
Hình 2 vẽ tỉ số thể tích theo tỉ số chiều cao. Đường nét đứt là niềm tin "tỉ lệ thuận" (chiều cao còn bao nhiêu thì nước còn bấy nhiêu). Đường cong nét liền mới là sự thật. Nó nằm dưới đường thẳng, nghĩa là với chiều cao còn \dfrac{3}{4}, nước còn ít hơn \dfrac{3}{4} rất nhiều. Càng gần đỉnh nón, ly càng hẹp nên cùng một xentimét chiều cao chứa ít nước hơn.
k · k^{3} · Còn lại · Đã rót đi
\dfrac{1}{2} · \dfrac{1}{8} · 12,5 % · 87,5 %
\dfrac{2}{3} · \dfrac{8}{27} · 29,6 % · 70,4 %
\dfrac{3}{4} · \dfrac{27}{64} · 42,2 % · 57,8 %
\dfrac{4}{5} · \dfrac{64}{125} · 51,2 % · 48,8 %
\dfrac{9}{10} · \dfrac{729}{1000} · 72,9 % · 27,1 %
GV
Cô Lukato
Nhìn dòng cuối: ly còn 90\% chiều cao mà đã đổ đi 27{,}1\% lượng nước. Và dòng k=\dfrac{4}{5}: chỉ cần chiều cao giảm 20\% thì nước đã mất gần một nửa. Vì phần trên của ly (gần miệng) rộng nhất nên chứa nhiều nước nhất.
Vì sao có hệ số \dfrac{1}{3} trong công thức thể tích hình nón? Em có thể nhớ công thức như một sự thật, nhưng để hiểu nó, hãy chồng các đĩa mỏng (Hình 3). Chia chiều cao thành n phần bằng nhau, bao ngoài hình nón bằng n hình trụ mỏng. Hình trụ thứ i (đếm từ đỉnh) có bán kính \dfrac{i}{n}R, chiều cao \dfrac{H}{n}. So với hình trụ lớn (bán kính R, cao H), thể tích của nó là \left(\dfrac{i}{n}\right)^{2}\cdot\dfrac{1}{n} lần. Cộng lại:
Hình 3. Xếp chồng năm đĩa mỏng bao ngoài hình nón. Tăng số đĩa thì tổng thể tích các đĩa tiến gần tới thể tích hình nón.
\dfrac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}}=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}.
Tương tự, nếu dùng các đĩa nằm lọt bên trong hình nón (đĩa thứ i có bán kính \dfrac{i-1}{n}R) thì tổng là \dfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^{2}}. Bảng sau ghi tổng thể tích các đĩa, tính theo đơn vị thể tích hình trụ lớn, với vài giá trị của n:
n · Đĩa bao ngoài · Đĩa nằm trong
4 · 0,46875 · 0,21875
10 · 0,385 · 0,285
100 · 0,33835 · 0,32835
1000 · 0,33383 · 0,33283
Cả hai cột cùng tiến về \dfrac{1}{3} khi n lớn dần. Hình nón nằm kẹp giữa hai cột ấy, nên thể tích của nó bằng \dfrac{1}{3} thể tích hình trụ cùng đáy, cùng chiều cao: V=\dfrac{1}{3}\pi R^{2}H. (Các số trong bảng tính từ hai công thức trên.)
Mở rộng: chứng minh công thức tổng bình phương
Tổng 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} chứng minh được bằng quy nạp. Với n=1: 1=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{6}. Giả sử đúng với n, thì tổng đến n+1 bằng \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}=\dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}=\dfrac{(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6}=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}, đúng dạng công thức với n+1. Phương pháp quy nạp sẽ học ở lớp trên; em chỉ cần nắm ý tưởng chồng đĩa.
Bẫy thường gặp
Nhiều em nhớ "thể tích nhân k^{3}" nhưng lại áp dụng nhầm cho độ dài . Ví dụ: "thể tích còn \dfrac{37}{64} nên chiều cao còn \dfrac{37}{64} lần". Sai: chiều cao là độ dài nên chỉ nhân k. Muốn từ thể tích suy ra chiều cao phải lấy căn bậc ba: k=\sqrt[3]{\dfrac{37}{64}}\approx 0{,}833, chứ không phải 0{,}578.
Bài 3 Mức 1 · Nhận biết
Chiều cao nước trong một ly hình nón bằng \dfrac{1}{2} chiều cao ly. Thể tích nước bằng bao nhiêu phần thể tích cả ly? Nhập dưới dạng phân số hoặc số thập phân.
Gợi ý 1. Tỉ số đồng dạng là k=\dfrac{1}{2}.
Gợi ý 2. Tỉ số thể tích là k^{3}.
Chính xác! \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}.
Bạn đang coi thể tích tỉ lệ thuận với chiều cao; thể tích nhân k^{3}.
Đây là tỉ số diện tích k^{2}; thể tích còn thêm một chiều nữa.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
k=\dfrac{1}{2} nên thể tích nước bằng k^{3}=\dfrac{1}{8} thể tích cả ly.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Ly đầy nước, đổ đi sao cho nước còn lại chiếm đúng \dfrac{8}{27} thể tích cả ly. Chiều cao cột nước còn lại bằng bao nhiêu phần chiều cao ly?