Bài hình 5 điểm: đường cao, đồng dạng, trung điểm và định lí Menelaus
Bài hình 5 điểm với đường cao và trung điểm: chứng minh đồng dạng, tìm bổ đề cầu nối, dùng Menelaus và nhìn ra hình vuông ẩn, có bài tập chấm tự động.
Toán 9 · Học sinh giỏi · Hình học chứng minh
Bài hình 5 điểm: đường cao, đồng dạng, trung điểm và định lí Menelaus
Một bài hình học sinh giỏi thường là một chuỗi mắt xích: ý trước mở đường cho ý sau. Bài học này đi hết một chuỗi như vậy, từ hệ thức lượng trong tam giác vuông đến hệ thức tỉ số cuối cùng, và chỉ ra vì sao đằng sau đó ẩn một hình vuông và một đường tròn.
90 phút Mức: giỏi Bài luyện LUKATO dạng bài hình 5 điểm
Em sẽ học: đọc kĩ giả thiết và điều kiện ẩn, chứng minh bằng đồng dạng, tìm bổ đề cầu nối, dùng Menelaus, và nhìn ra hình phụ.
1 Đề bài, hình vẽ và bản đồ bài học
Trước hết hãy đọc thật chậm đề bài. Trong hình học chứng minh, một nửa số điểm nằm ở việc đọc đúng giả thiết.
GV
Cô Lukato
Chào em, cô là cô Lukato. Bài hình 5 điểm thường được xây như một cầu thang: câu a dễ nhất, câu b cần dùng kết quả của câu a, câu c cần cả hai. Cô sẽ không đưa ngay lời giải; ta cùng tìm xem mỗi bậc thang nằm ở đâu, và vì sao nghĩ ra được nó.
Đề bài (bài luyện LUKATO)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH=AH. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. Gọi Q là trung điểm của BP; đường thẳng AQ cắt đường thẳng BC tại I. Chứng minh rằng:
- CK\cdot CB=CP\cdot CA;
- tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC;
- \dfrac{AH}{HB}-\dfrac{BC}{IB}=1.
Hình 1. Cấu hình của bài (vẽ với AB = 5, AC = 12). Đường đỏ AQ kéo dài sang trái, cắt đường thẳng BC tại điểm I ở rất xa.
Chuỗi mắt xích của bài
Bước · Cần chứng minh · Công cụ chính · Mở khóa cho
Nền · Hệ thức lượng, ba tam giác đồng dạng · Đồng dạng góc góc · mọi ý
Đọc đề · Thứ tự các điểm; điều kiện ẩn · Tọa độ hoặc hình vẽ chuẩn · mọi ý
Ý a · CK\cdot CB=CP\cdot CA · Đồng dạng của hai tam giác vuông chung góc C · bổ đề
Bổ đề · AP=AB · Đồng dạng và KH=AH · ý b, ý c
Ý b · \triangle BHQ\sim\triangle BPC · Cạnh góc cạnh · (không cần cho ý c)
Ý c · \dfrac{AH}{HB}-\dfrac{BC}{IB}=1 · Menelaus hoặc hình vuông ẩn · kết thúc
Ba câu kiểm tra đầu vào
Tam giác ABC vuông tại A, AB=6, BC=10, đường cao AH. Độ dài BH bằng
Đúng: AB^{2}=BH\cdot BC nên BH=\dfrac{36}{10}=3{,}6.
Sai: 4{,}8 là AH={\large\tfrac{AB\cdot AC}{BC}}, em đã tính nhầm đoạn AH thành BH.
Sai: 6{,}4=\dfrac{AC^{2}}{BC} là CH, đoạn kề với đỉnh C.
Sai: 0{,}6=\dfrac{AB}{BC} là tỉ số hai cạnh, không phải độ dài.
Tam giác nào đồng dạng với \triangle HBA và viết đúng thứ tự các đỉnh tương ứng? (AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A.)
Sai: thứ tự này ghép H (góc vuông) với C (không vuông).
Sai: H\leftrightarrow A đúng, nhưng B\leftrightarrow C thì sai vì góc B chung phải ghép với chính góc B.
Đúng: H\leftrightarrow A (cùng góc vuông), B\leftrightarrow B (góc chung), A\leftrightarrow C.
Sai: thứ tự này ghép H (góc vuông) với B (không vuông).
H nằm giữa B và C. K thuộc tia đối của tia BC. Thứ tự các điểm trên đường thẳng BC là
Sai: thứ tự này đặt H nằm giữa K và B, nhưng H nằm về phía C so với B.
Đúng: tia đối của tia BC bắt đầu từ B và đi ra xa C, nên B nằm giữa K và H.
Sai: thứ tự này đặt K giữa B và H, tức K thuộc tia BC, không phải tia đối.
Sai: thứ tự này đặt K giữa H và C, tức K thuộc tia BC.
Bản đồ các mục
Mục · Nội dung · Em sẽ mang đi
2 · Hệ thức lượng và đồng dạng · Năm hệ thức và cách viết đồng dạng đúng thứ tự
3 · Đọc giả thiết · Thứ tự điểm, điều kiện ẩn, tọa độ hóa
4 · Ý a · Hai cách chứng minh, một cách rất ngắn
5 · Bổ đề cầu nối · Vì sao AP=AB
6 · Ý b · Cạnh góc cạnh và cách ghép cặp đỉnh
7 · Ý c · Ba con đường: Menelaus, hình vuông, phân giác ngoài
8 · Hình ẩn · Đường tròn tâm Q và hình vuông ABDP
9 · Khi giả thiết đổi · Chuyển KH=AH thành KH=k\cdot AH
10 · Trình bày và chấm điểm · Thang điểm gợi ý, lỗi mất điểm
11–13 · Luyện tập, thách thức, tự kiểm tra · Bảng tổng kết điểm
2 Nền móng: hệ thức lượng và ba tam giác đồng dạng
Mọi ý của bài đều dựa vào một tam giác vuông có đường cao. Nắm chắc năm hệ thức này và cách chúng sinh ra, em sẽ không phải học thuộc.
Hình 2. Tam giác vuông 15 – 20 – 25: đường cao AH = 12 chia cạnh huyền thành BH = 9 và HC = 16. Ba tam giác ABC, HBA, HAC đồng dạng.
Năm hệ thức cần nhớ
Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đặt BH=m, CH=n, AH=h:
- AB^{2}=BH\cdot BC và AC^{2}=CH\cdot BC;
- AH^{2}=BH\cdot CH, tức h^{2}=mn;
- AH\cdot BC=AB\cdot AC;
- \dfrac{AH}{HB}=\dfrac{AC}{AB} và \dfrac{AH}{HC}=\dfrac{AB}{AC}.
Trong hình 2, tam giác ABC có AB=15, AC=20, BC=25. Ta kiểm tra: AB^{2}=225=9\cdot 25=BH\cdot BC; AC^{2}=400=16\cdot 25=CH\cdot BC; AH^{2}=144=9\cdot 16; AH\cdot BC=12\cdot 25=300=15\cdot 20; {\large\tfrac{AH}{HB}}={\large\tfrac{12}{9}}={\large\tfrac{4}{3}}={\large\tfrac{20}{15}}={\large\tfrac{AC}{AB}}. Mọi hệ thức đều khớp.
Ví dụ 1 · Các hệ thức sinh ra từ đồng dạng
Xét \triangle HBA và \triangle ABC: cả hai có một góc vuông (\angle BHA=\angle BAC=90^{\circ}) và chung góc B. Vậy \triangle HBA\sim\triangle ABC (góc góc), với H\leftrightarrow A, B\leftrightarrow B, A\leftrightarrow C.
Vì sao làm bước này: chỉ cần hai cặp góc bằng nhau là đủ; ta chọn cặp góc vuông và cặp góc chung vì cả hai đều "có sẵn" trong hình.
Viết các cạnh tương ứng theo đúng thứ tự đỉnh: {\large\tfrac{HB}{AB}}={\large\tfrac{BA}{BC}}. Nhân chéo: AB^{2}=BH\cdot BC.
Vì sao làm bước này: tỉ số các cạnh tương ứng luôn viết theo thứ tự đỉnh đã ghép; nếu ghép sai đỉnh thì tỉ số sẽ sai.
Tương tự, \triangle HAC\sim\triangle ABC (H\leftrightarrow A, A\leftrightarrow B, C\leftrightarrow C) cho {\large\tfrac{HC}{AC}}={\large\tfrac{CA}{CB}}, tức AC^{2}=CH\cdot BC.
Vì sao làm bước này: đây là bản sao đối xứng của bước trước, đổi vai trò B và C.
Cuối cùng \angle BAH=90^{\circ}-\angle B=\angle ACH, và hai tam giác \triangle ABH, \triangle CAH đều vuông tại H, nên \triangle ABH\sim\triangle CAH. Suy ra {\large\tfrac{AB}{CA}}={\large\tfrac{BH}{AH}}={\large\tfrac{AH}{CH}}. Từ {\large\tfrac{BH}{AH}}={\large\tfrac{AH}{CH}} có AH^{2}=BH\cdot CH, và từ {\large\tfrac{AB}{CA}}={\large\tfrac{BH}{AH}} có {\large\tfrac{AH}{HB}}={\large\tfrac{AC}{AB}}.
Vì sao làm bước này: hai tam giác nhỏ ABH và CAH cũng đồng dạng với nhau; tỉ số này sẽ được dùng rất nhiều ở các ý sau.
Bẫy: đồng dạng viết lệch đỉnh
Viết đồng dạng sai thứ tự đỉnh. Ví dụ với tam giác 15-20-25 ở trên, nếu viết \triangle ABC\sim\triangle BHA thì tỉ số đầu tiên sẽ là {\large\tfrac{AB}{BH}}={\large\tfrac{BC}{HA}}, nghĩa là {\large\tfrac{15}{9}}={\large\tfrac{25}{12}}. Hai vế là {\large\tfrac{5}{3}} và {\large\tfrac{25}{12}}, không bằng nhau. Cách đúng là \triangle ABC\sim\triangle HBA: {\large\tfrac{AB}{HB}}={\large\tfrac{BC}{BA}}, tức {\large\tfrac{15}{9}}={\large\tfrac{25}{15}}.
GV
Cô Lukato
Thói quen tốt: trước khi viết \triangle XYZ\sim\triangle X'Y'Z', em tô màu hai góc bằng nhau ở mỗi đỉnh và tự hỏi "đỉnh nào ứng với đỉnh nào?". Chỉ khi ba cặp đỉnh đã rõ mới viết tỉ số.
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB=15, AC=20, BC=25, đường cao AH.
a) BH=9
Đúng: BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}=\dfrac{225}{25}=9.
b) AH^{2}=BH\cdot HC=144 nên AH=12
Đúng: BH\cdot HC=9\cdot 16=144.
c) \dfrac{AH}{HB}=\dfrac{AB}{AC}
Sai: đúng phải là {\large\tfrac{AH}{HB}}={\large\tfrac{AC}{AB}}={\large\tfrac{4}{3}}; còn {\large\tfrac{AB}{AC}}={\large\tfrac{3}{4}} là tỉ số ngược.
d) AB\cdot AC=AH\cdot BC
Đúng: 15\cdot 20=300=12\cdot 25; đây là hai cách tính diện tích tam giác.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=15, AC=20 (hình 2). Tính CH.
Gợi ý 1. Dùng AC^{2}=CH\cdot BC. Trước hết tính BC bằng định lí Pythagore.
Gợi ý 2. BC=25, AC^{2}=400.
Chính xác! CH=16, và BH+CH=9+16=25=BC.
9 là BH. Đoạn cần tìm là CH, kề đỉnh C.
12 là đường cao AH, không phải CH.
20 là AC. Cần dùng AC^{2}=CH\cdot BC.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
BC=\sqrt{15^{2}+20^{2}}=25. Từ AC^{2}=CH\cdot BC suy ra CH={\large\tfrac{400}{25}}=16.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Vẫn tam giác trên (AB=15, AC=20). Tính đường cao AH.
Gợi ý 1. Dùng AH\cdot BC=AB\cdot AC.
Gợi ý 2. AB\cdot AC=300, BC=25.
Chính xác! Cả hai cách cùng cho AH=12.
300=AB\cdot AC chưa chia cho BC.
15 là AB, không phải AH.
9 là BH, không phải AH.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Diện tích tam giác tính hai cách: AH\cdot BC=AB\cdot AC, nên AH={\large\tfrac{15\cdot 20}{25}}=12. Kiểm tra bằng AH^{2}=BH\cdot CH=9\cdot 16=144.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AH=6, BH=3. Tính AC^{2}.
Gợi ý 1. Tìm CH từ AH^{2}=BH\cdot CH.
Gợi ý 2. Có CH rồi, BC=BH+CH; dùng AC^{2}=CH\cdot BC.
Chính xác! AC^{2}=180, tức AC=6\sqrt{5}.
36=AH^{2}. Em cần AC^{2}=CH\cdot BC.
45=BH\cdot BC=AB^{2}, là bình phương của AB, không phải AC.
144=CH^{2}. Phải nhân CH với BC=15.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
AH^{2}=BH\cdot CH cho CH={\large\tfrac{36}{3}}=12. Vậy BC=3+12=15 và AC^{2}=CH\cdot BC=12\cdot 15=180.
3 Đọc kĩ giả thiết: thứ tự điểm và điều kiện ẩn
Học sinh giỏi mất điểm vì hình vẽ sai nhiều hơn vì tính sai. Ba dòng đầu của đề đã chứa những điều kiện không được nói ra.
Đề bài "ngầm" đòi hỏi AC\gt AB
Đề không cho biết cạnh nào lớn hơn, nhưng yêu cầu K thuộc tia đối của tia BC và KH=AH. Trên đường thẳng BC thứ tự các điểm là K, B, H, C, nên KH=KB+BH\gt BH. Vậy điều kiện KH=AH chỉ có thể xảy ra khi AH\gt BH.
Từ AH^{2}=BH\cdot CH suy ra AH\gt BH khi và chỉ khi CH\gt BH. Lại có AC^{2}=CH\cdot BC và AB^{2}=BH\cdot BC, nên CH\gt BH khi và chỉ khi AC\gt AB. Tóm lại:
Điều kiện ẩn của đề
Điểm K trên tia đối của tia BC với KH=AH tồn tại khi và chỉ khi AC\gt AB.
Nếu AB\gt AC thì AH\lt BH, điểm K với KH=AH rơi vào giữa B và H, đề không còn đúng nghĩa "tia đối". Vì thế khi vẽ hình luôn vẽ AC dài hơn AB.
Ví dụ 2 · Tọa độ hóa để không nhầm thứ tự
Đặt trục tọa độ với H là gốc, BC là trục hoành, AH là trục tung. Gọi BH=m, CH=n, AH=h với h^{2}=mn. Khi đó H(0;0), B(-m;0), C(n;0), A(0;h).
Vì sao làm bước này: đường cao là trục tung nên mọi hệ thức lượng gói lại trong một đẳng thức h^{2}=mn.
K thuộc tia đối của tia BC nên hoành độ của K nhỏ hơn -m. Vì KH=AH=h nên K(-h;0), và điều kiện -h\lt -m chính là h\gt m, tức AC\gt AB.
Vì sao làm bước này: tia đối của BC chính là phần trục hoành bên trái B; "bên trái" được dịch thành một bất đẳng thức.
Đường thẳng AC qua A(0;h) và C(n;0) có phương trình y=h\left(1-{\large\tfrac{x}{n}}\right). Đường thẳng qua K song song với AH là x=-h. Giao điểm P có tung độ y_{P}=h\left(1+{\large\tfrac{h}{n}}\right)\gt h.
Vì sao làm bước này: tung độ của P lớn hơn tung độ của A, nghĩa là P nằm trên đường thẳng CA nhưng vượt qua A, không thuộc đoạn AC.
Q là trung điểm BP nên Q\left({\large\tfrac{-m-h}{2}};\ {\large\tfrac{y_{P}}{2}}\right). Đường thẳng AQ cắt trục hoành ở I với hoành độ nhỏ hơn hoành độ của K: I nằm xa hơn B về bên trái.
Vì sao làm bước này: các phép tính cụ thể ở đây chỉ để kiểm tra vị trí điểm; bài chứng minh chặt chẽ sẽ đi theo đường hình học.
Với AB=5, AC=12 (số dùng để vẽ hình 1), các điểm có tọa độ chính xác như sau.
Điểm · Tọa độ (đơn vị tùy ý)
A · \left(0;\ \dfrac{60}{13}\right)
B · \left(-\dfrac{25}{13};\ 0\right)
C · \left(\dfrac{144}{13};\ 0\right)
K · \left(-\dfrac{60}{13};\ 0\right)
P · \left(-\dfrac{60}{13};\ \dfrac{85}{13}\right)
Q · \left(-\dfrac{85}{26};\ \dfrac{85}{26}\right)
I · \left(-\dfrac{1020}{91};\ 0\right)
Hoành độ của I là -\tfrac{1020}{91}\approx -11{,}2, còn hoành độ của K là -\tfrac{60}{13}\approx -4{,}6; đúng như đã nói, I nằm xa B hơn K.
Bẫy: đặt sai vị trí điểm P
Vẽ P nằm trên đoạn AC. Nhiều bạn kẻ KP rồi "đoán" P ở giữa A và C. Hãy thử bằng số: AB=15, AC=20 cho CK=28, CB=25, CA=20; nếu CK\cdot CB=CP\cdot CA thì CP=35, lớn hơn CA=20. Vậy P phải ở ngoài đoạn AC, phía A.
Bẫy: vị trí điểm I
Coi IC=BC-IB (tức I nằm giữa B và C). Thực tế I nằm ngoài đoạn BC về phía B, nên IC=IB+BC. Sai một dấu ở đây làm sai toàn bộ ý c.
Bài 4 Mức 1 · Nhận biết
Tam giác ABC vuông tại A, AB=6, AC=8, BC=10, AH=4{,}8, BH=3{,}6. Tính độ dài KB, với K thuộc tia đối của tia BC và KH=AH.
Gợi ý 1. Thứ tự các điểm là K,B,H. Từ KH=KB+BH suy ra KB=KH-BH.
Gợi ý 2. KH=AH=4{,}8.
Chính xác! KB=1{,}2=\dfrac{6}{5}.
4{,}8=KH. Đoạn KB chỉ là phần KH nằm ngoài BH.
Em đã cộng KH+BH; thứ tự đúng là KH=KB+BH.
3{,}6=BH.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Vì B nằm giữa K và H nên KH=KB+BH, suy ra KB=4{,}8-3{,}6=1{,}2.
Bài 5 Mức 2 · Vận dụng
Cho AB=8, AC=6, BC=10, khi đó AH=4{,}8 và BH=6{,}4. Tính AH-BH. Số này âm hay dương cho em biết điều gì về điểm K?