Bất phương trình bậc nhất: đổi chiều, tham số và bài toán ngân sách
Học cách giải bất phương trình bậc nhất: luật đổi chiều, biểu diễn trên trục số, ẩn biến mất, biện luận tham số, nghiệm nguyên và bài toán ngân sách. Có 22…
Toán 9 · Phương trình và bất phương trình bậc nhất
Bất phương trình bậc nhất: đổi chiều, tham số và bài toán ngân sách
Giải bất phương trình không khó, nhưng chỉ cần quên đổi chiều một lần là cả bài sai. Bài này giúp em hiểu vì sao phải đổi chiều, biết xử lí khi ẩn biến mất hoặc khi hệ số chứa tham số, và đọc đúng nghiệm nguyên trong các bài toán thực tế.
Khoảng 100 phút Mức: khá – giỏi 22 bài tập · 10 câu kiểm tra
Em sẽ học: luật dấu, giải và biểu diễn nghiệm, ẩn biến mất, biện luận tham số, nghiệm nguyên, mô hình ngân sách và gói cước.
1 Hai bài toán dẫn đường và bản đồ bài học
Đọc kĩ đề trước, tính toán sau: đó là thói quen của người giải giỏi.
Hãy tưởng tượng em có 300 nghìn đồng để mua táo và lê. Táo 22 nghìn một quả, lê 10 nghìn một quả, em muốn mua nhiều quả nhất có thể. Toán học của tình huống này là một bất phương trình bậc nhất , và đáp số phải là một số nguyên: không ai mua được 16,8 quả lê. Đó là điều làm cho bài toán thực tế khác với bài toán đại số thuần túy.
Theo chương trình Toán 2018, bất phương trình bậc nhất một ẩn được học lần đầu ở lớp 9. Bài học này đi từ cách giải cơ bản rồi đi sâu hơn ở ba chỗ mà bài kiểm tra hay “gài”: khi nào đổi chiều , khi hệ số của x chứa tham số , và khi nào đáp số phải là số nguyên . Hai bài toán dưới đây sẽ dẫn đường cho cả bài.
Phần mở rộng
Biện luận bất phương trình theo tham số (mục 5, Bài A) và hệ bất phương trình (cuối mục 6, mục 8) là nội dung mở rộng , nằm ngoài SGK Toán 9. Các phần này dành cho em muốn học nâng cao; nếu chỉ cần nắm chương trình cơ bản, em có thể đọc lướt.
Bài A · Tham số làm đổi bài toán
Cho bất phương trình m(2x+1)\lt 8x, trong đó m là tham số. Với mỗi giá trị của m, hãy tìm tập nghiệm.
Bài B · Ngân sách táo và lê
Một quả táo giá 22 nghìn đồng, một quả lê giá 10 nghìn đồng. Với 300 nghìn đồng, mua mỗi loại ít nhất 6 quả, hỏi mua được nhiều nhất bao nhiêu quả tất cả?
GV
Cô Lukato
Bài A nhìn thì giống một bất phương trình bình thường, nhưng hệ số của x sau khi gọn lại là 2m-8. Hệ số này có thể dương, âm, hoặc bằng 0, và ba trường hợp cho ba câu trả lời khác hẳn nhau. Bài B ẩn một chi tiết: nghiệm của bất phương trình là số thực, còn số quả phải là số nguyên. Cả hai bài đều đòi hỏi em đọc kĩ trước khi tính .
Ba câu dưới đây thử đúng ba phản xạ của bài: đổi chiều khi nhân số âm, đọc tập nghiệm, chọn số nguyên. Sai ở câu nào thì đọc phần giải thích đi kèm; lỗi em vừa mắc chỉ ra chặng cần học kĩ nhất.
Biết a\lt b. Bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng ?
Sai. Nhân hai vế với số âm -3 thì phải đổi chiều: -3a\gt -3b. Thử a=1, b=3: -3 và -9, và -3\gt -9.
Đúng. Cộng cùng một số vào hai vế không làm đổi chiều: đây là tính chất cơ bản nhất.
Sai. Chia hai vế cho số âm -2 cũng phải đổi chiều: \dfrac{a}{-2}\gt \dfrac{b}{-2}.
Sai. Bình phương chỉ giữ chiều khi cả hai số không âm. Thử a=-3, b=1: a\lt b nhưng a^{2}=9\gt 1=b^{2}.
Xét bất phương trình 2x-6\lt 0.
a) x=2 là một nghiệm.
Đúng: 2\cdot 2-6=-2\lt 0.
b) x=3 là một nghiệm.
Sai: 2\cdot 3-6=0, mà 0\lt 0 là sai. Bất phương trình có dấu “nhỏ hơn” chặt nên không nhận x=3.
c) Mọi số nhỏ hơn 3 đều là nghiệm.
Đúng: 2x-6\lt 0 tương đương x\lt 3.
d) x=-100 không là nghiệm vì số quá âm.
Sai: x=-100 cho -206\lt 0, đúng. Bất phương trình này có vô số nghiệm nhỏ tùy ý.
Bất phương trình x+4\gt 10 cho x\gt . Bất phương trình -2x\gt 8 cho x\lt . Số nguyên nhỏ nhất thỏa x\gt 2{,}5 là .
Sáu chặng dưới đây đi từ luật dấu đến bài toán ngân sách. Nếu ba câu trên em làm đúng cả, có thể đọc nhanh chặng 2 và 3; dù vậy, các hộp “bẫy” và mục “tại sao nghĩ ra” ở mỗi chặng vẫn nên đọc kĩ.
Chặng · Nội dung · Giải quyết
2 · Luật dấu: vì sao và khi nào đổi chiều · Nền tảng
3 · Giải bất phương trình, khử mẫu, biểu diễn trên trục số · Kĩ thuật
4 · Khi ẩn biến mất: vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi số · Phân loại
5 · Tham số: biện luận theo dấu của hệ số (mở rộng) · Bài A
6 · Nghiệm nguyên và hệ bất phương trình (hệ: mở rộng) · Đếm đúng
7 · Mô hình thực tế: ngân sách, gói cước · Bài B
2 Luật dấu: vì sao và khi nào đổi chiều
Ba tính chất, một quy tắc vàng: nhân hoặc chia với số âm thì đổi chiều.
Một bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax+b\lt 0 (hoặc với các dấu \gt , \le, \ge), trong đó a\ne 0. Giải nó nghĩa là tìm mọi giá trị của x làm cho bất đẳng thức đúng. Khác với phương trình chỉ có một nghiệm, bất phương trình thường có cả một tia hoặc một khoảng nghiệm.
Ba tính chất dưới đây là nền móng của mọi phép biến đổi. Em nên hiểu vì sao chúng đúng, chứ không chỉ thuộc.
Ba tính chất cần nhớ
Tính chất 1 (cộng, trừ). Nếu a\lt b thì a+c\lt b+c với mọi số c.
Tính chất 2 (nhân, chia với số dương). Nếu a\lt b và c\gt 0 thì ac\lt bc.
Tính chất 3 (nhân, chia với số âm). Nếu a\lt b và c\lt 0 thì ac\gt bc: chiều bất đẳng thức đổi .
Vì sao tính chất 3 đúng? Hãy nhìn trên trục số. Số a nhỏ hơn b nghĩa là a nằm bên trái b. Nhân với -1 biến mỗi số thành số đối của nó, tức là lật trục số qua điểm 0. Phép lật đổi bên trái thành bên phải, nên thứ tự bị đảo. Nhân với -3 là lật rồi kéo giãn ba lần: thứ tự vẫn bị đảo.
Hình 1. Nhân cả hai số với -1 là phép lật qua điểm 0: số bé hơn thành số lớn hơn, nên dấu bất đẳng thức đổi chiều.
Hình 1 dùng a=1 và b=3. Ta có 1\lt 3. Sau khi đổi dấu, -1 nằm bên phải -3, tức -1\gt -3. Đó chính là lí do khi chia cả hai vế cho một số âm, dấu \lt phải thành \gt .
Có một cách chứng minh đại số ngắn gọn cho tính chất 3. Từ a\lt b ta có b-a\gt 0. Với c\lt 0, tích của số âm và số dương là số âm, nên c(b-a)\lt 0, tức cb-ca\lt 0, suy ra cb\lt ca, hay ac\gt bc.
Ví dụ 1 · Giải 3x-8\gt 4x-12
Chuyển các hạng tử chứa x sang vế trái và các số sang vế phải: 3x-4x\gt -12+8.
Chuyển vế là áp dụng tính chất 1 (cộng hoặc trừ cùng một số hai vế), nên không đổi chiều.
Thu gọn: -x\gt -4.
Hệ số của x bây giờ là -1, một số âm: đây là chỗ nguy hiểm.
Nhân (hoặc chia) hai vế với -1, và đổi chiều : x\lt 4.
Theo tính chất 3, nhân với số âm thì \gt thành \lt .
Kiểm tra: lấy x=3, vế trái 3\cdot 3-8=1, vế phải 4\cdot 3-12=0, và 1\gt 0 đúng. Lấy x=5: 7 và 8, 7\gt 8 sai. Vậy tập nghiệm là x\lt 4.
Luôn thử một số trong tập nghiệm và một số ngoài tập nghiệm; hai phép thử ngắn phát hiện ngay nếu quên đổi chiều.
Bẫy: quên đổi chiều khi nhân với số âm
Nhiều em giải: -x\gt -4 “suy ra x\gt 4” vì chỉ đổi dấu hai vế mà quên đổi chiều. Kết quả này sai: x=5 thỏa x\gt 4 nhưng vế trái 7 không lớn hơn vế phải 8. Cách tự bảo vệ: sau khi giải xong, thay một số bất kì của tập nghiệm vào bất phương trình gốc. Chỉ mất mười giây và cứu được cả bài.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Giải bất phương trình 4x-7\gt 9. Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là bao nhiêu?
Gợi ý 1. Chuyển -7 sang vế phải: 4x\gt 16.
Gợi ý 2. Chia hai vế cho 4 (số dương, không đổi chiều). Dấu \gt chặt: đầu mút có thuộc tập nghiệm không?
Chính xác! x\gt 4 là bất đẳng thức chặt nên không nhận x=4; số nguyên nhỏ nhất là 5.
Với x=4: 4\cdot 4-7=9, và 9\gt 9 là sai. Dấu “lớn hơn” chặt loại đầu mút x=4.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
4x-7\gt 9 suy ra 4x\gt 16, tức x\gt 4. Vì dấu là \gt (không có dấu bằng), x=4 không thỏa: 4\cdot 4-7=9 và 9\gt 9 sai. Số nguyên nhỏ nhất lớn hơn 4 là 5.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Tìm số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn 2x-3\gt 5x-20.
Gợi ý 1. Chuyển các hạng tử chứa x sang vế trái, các số sang vế phải.
Gợi ý 2. Hệ số của x sau khi thu gọn là số âm: chia cho nó thì chiều bất đẳng thức thế nào? Đầu mút có nguyên không?
Chính xác! -3x\gt -17 cho x\lt\dfrac{17}{3}\approx 5{,}67, nên số nguyên dương lớn nhất là 5.
Em làm tròn \dfrac{17}{3}\approx 5{,}67 lên 6. Thử x=6: vế trái 9, vế phải 10, 9\gt 10 sai.
Đó là đầu mút \dfrac{17}{3}, không phải số nguyên và không thuộc tập nghiệm (dấu chặt).
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
2x-5x\gt -20+3 cho -3x\gt -17. Chia cho -3 và đổi chiều: x\lt\dfrac{17}{3}\approx 5{,}67. Số nguyên dương lớn nhất là 5. Thử: x=5: 7\gt 5 đúng; x=6: 9\gt 10 sai.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Giải 5x-7(2x-5)\lt 2(x-1). Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là bao nhiêu?
Gợi ý 1. Phá ngoặc trước: 5x-14x+35\lt 2x-2.
Gợi ý 2. Thu gọn về dạng ax\lt c với a âm; chia cho a thì chiều bất đẳng thức thay đổi thế nào?
Chính xác! x\gt \dfrac{37}{11}, khoảng 3{,}36, nên số nguyên nhỏ nhất là 4.
Em quên đổi chiều và nhận x\lt \dfrac{37}{11}, rồi lấy số nguyên lớn nhất là 3. Thử x=3: vế trái 8, vế phải 4, 8\lt 4 sai.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
5x-7(2x-5)=5x-14x+35=-9x+35 và 2(x-1)=2x-2. Bất phương trình thành -9x+35\lt 2x-2, tức -11x\lt -37. Chia hai vế cho -11 (số âm) và đổi chiều: x\gt \dfrac{37}{11}. Vì \dfrac{37}{11}\approx 3{,}36, số nguyên nhỏ nhất thỏa là 4. Thử: x=4: 20-7\cdot 3=-1 và 2\cdot 3=6, -1\lt 6 đúng; x=3: 15-7=8 và 4, 8\lt 4 sai.
3 Giải bất phương trình và biểu diễn nghiệm trên trục số
Đi theo quy trình sáu bước và luôn thử lại bằng hai số.
Với các bất phương trình có ngoặc và phân số, em nên đi theo một quy trình cố định. Quy trình giống hệt khi giải phương trình, chỉ khác ở một điểm : phép nhân hoặc chia với số âm phải đổi chiều.
Quy trình sáu bước
- Khử mẫu : nhân hai vế với bội chung nhỏ nhất của các mẫu (một số dương , nên không đổi chiều).
- Phá ngoặc : nhân phân phối, cẩn thận dấu trừ đứng trước ngoặc.
- Chuyển vế : dồn các hạng tử chứa x về một vế, các số về vế còn lại.
- Thu gọn về dạng ax\lt c (hoặc \gt , \le, \ge).
- Chia cho a: đổi chiều nếu a\lt 0.
- Kiểm tra bằng hai số thử và biểu diễn nghiệm trên trục số.
Một chi tiết hay bị bỏ sót ở bước 1: khi nhân hai vế với mẫu chung, mọi hạng tử phải được nhân, kể cả các số không có mẫu. Cách an toàn là viết mẫu chung ra và nhân từng số hạng, không làm nhẩm.
Ví dụ 2 · Giải \dfrac{x+1}{3}+\dfrac{x}{2}\ge 4
Mẫu chung của 3 và 2 là 6. Nhân cả hai vế với 6: 6\cdot\dfrac{x+1}{3}+6\cdot\dfrac{x}{2}\ge 6\cdot 4.
Số 6 dương nên không đổi chiều. Số 4 không có mẫu nhưng vẫn phải nhân với 6.
Rút gọn từng hạng tử: 2(x+1)+3x\ge 24.
Ở đây 6:3=2 và 6:2=3; ngoặc (x+1) giữ nguyên cho đến bước phá ngoặc.
Phá ngoặc và thu gọn: 2x+2+3x\ge 24, tức 5x\ge 22.
Chỉ có hai hạng tử chứa x: 2x và 3x.
Chia cho 5 (dương, không đổi chiều): x\ge\dfrac{22}{5}=4{,}4.
Dấu \ge có “bằng” nên đầu mút 4{,}4 thuộc tập nghiệm.
Kiểm tra: x=5: \dfrac{6}{3}+\dfrac{5}{2}=2+2{,}5=4{,}5\ge 4, đúng. x=4: \dfrac{5}{3}+2\approx 3{,}67\lt 4, sai. Số nguyên nhỏ nhất thỏa là 5.
Hai phép thử cho thấy ranh giới nằm giữa 4 và 5, khớp với 4{,}4.
Kết quả của một bất phương trình luôn nên được biểu diễn trên trục số. Quy ước: vòng tròn rỗng cho đầu mút không thuộc tập nghiệm (dấu \lt hoặc \gt ), chấm đặc cho đầu mút thuộc tập nghiệm (dấu \le hoặc \ge); phần trục số thỏa mãn được tô đậm.
Hình 2. Vòng rỗng nghĩa là đầu mút không thuộc tập nghiệm (dấu bất đẳng thức chặt); phần tô đậm là các giá trị x thỏa mãn.
Hình 2 biểu diễn hai nghiệm vừa tìm. Trục trên cho x\lt 4 (Ví dụ 1): tia đi về bên trái, đầu 4 là vòng rỗng. Trục dưới cho x\gt \dfrac{37}{11} (Bài 3): tia đi về bên phải, đầu \dfrac{37}{11}\approx 3{,}36 cũng là vòng rỗng. Hai tập nghiệm này chồng lên nhau trong khoảng từ 3{,}36 đến 4, một chi tiết sẽ có ích khi ta gặp hệ bất phương trình.
Bẫy: quên nhân số hạng không có mẫu
Khi khử mẫu, có em làm: \dfrac{x+1}{3}+\dfrac{x}{2}\ge 4 thành 2(x+1)+3x\ge 4, quên nhân số 4 với 6. Kết quả sai: 5x\ge 2, tức x\ge 0{,}4, rất xa đáp số đúng 4{,}4. Thử x=1: vế trái \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\approx 1{,}17\lt 4, nên x=1 không thể là nghiệm, dù 1\ge 0{,}4. Nhân mọi hạng tử, kể cả số tự do và số đứng riêng.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Giải \dfrac{x+2}{3}+\dfrac{x}{4}\ge 3. Nhập nghiệm nguyên nhỏ nhất.
Gợi ý 1. Nhân hai vế với mẫu chung 12; nhân mọi hạng tử, kể cả vế phải.
Gợi ý 2. Thu gọn về dạng ax\ge c với a dương. Dấu \ge có bằng: đầu mút có thuộc tập nghiệm không?
Chính xác! 7x\ge 28, x\ge 4; đầu mút 4 thuộc tập nghiệm nên nghiệm nguyên nhỏ nhất là 4.
Dấu \ge có bằng nên x=4 vẫn thỏa: \dfrac{6}{3}+\dfrac{4}{4}=3\ge 3. Không cần bỏ đầu mút.
Em quên nhân vế phải 3 với 12: được 7x\ge -5, x\ge -\dfrac{5}{7}. Phải nhân mọi hạng tử.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Nhân hai vế với 12: 4(x+2)+3x\ge 36, tức 7x+8\ge 36, 7x\ge 28, x\ge 4. Nghiệm nguyên nhỏ nhất là 4. Thử x=4: 2+1=3\ge 3, đúng; x=3: \dfrac{5}{3}+\dfrac{3}{4}\approx 2{,}42\lt 3, sai.
Bài 5 Mức 2 · Vận dụng