Thập phân hữu hạn và tuần hoàn: đọc cấu trúc, phân biệt số gần đúng
Chứng minh tiêu chuẩn mẫu số, theo dõi chu kì số dư, đổi số tuần hoàn thành phân số và kiểm soát sai số khi cắt cụt hoặc làm tròn.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Thập phân hữu hạn và tuần hoàn: đọc cấu trúc, phân biệt số gần đúng
Chứng minh tiêu chuẩn mẫu số, theo dõi chu kì số dư, đổi số tuần hoàn thành phân số và kiểm soát sai số khi cắt cụt hoặc làm tròn.
1. Một giá trị, nhiều cách viết
Phân số 3/10 và số thập phân 0{,}3 biểu diễn cùng một số. Với 1/3, phép chia viết tiếp mãi nhưng lặp chữ số 3. Cả hai vẫn là số hữu tỉ, vì đều viết được dưới dạng phân số có tử và mẫu nguyên, mẫu khác không.
Bài học này giải thích vì sao một phép chia dừng, vì sao một phép chia khác lặp lại, và làm thế nào chuyển ngược một số thập phân tuần hoàn thành phân số. Từ đó ta phân biệt một giá trị chính xác với số gần đúng trên màn hình.
Ta dùng cách viết thu được từ phép chia thông thường: khi số dư bằng không thì dừng, không viết tiếp các chữ số không không cần thiết. Kí hiệu 0{,}41(6) nghĩa là 0{,}416666\ldots: phần trong ngoặc lặp lại vô hạn, còn 41 trước ngoặc chỉ xuất hiện một lần ở đầu phần thập phân.
“Viết vô hạn” chưa đồng nghĩa “vô tỉ”. Một số thập phân vô hạn nhưng cuối cùng lặp theo một khối cố định vẫn là số hữu tỉ. Muốn phân loại, phải tìm cấu trúc hoặc chứng minh, không chỉ nhìn vài chữ số.
2. Mẫu số nào cho phép chia hữu hạn?
Trước hết rút gọn phân số thành p/q, với p\ge0, q>0, p,q nguyên tố cùng nhau. Số không được viết 0/1. Số âm xét trị tuyệt đối rồi thêm lại dấu âm; điều đó không thay đổi việc phép chia có dừng hay không.
Một số thập phân có không quá n chữ số sau dấu phẩy viết được thành K/10^n, với K nguyên không âm. Ví dụ 0{,}375=375/1000; 12{,}03=1203/100. Vì vậy, nếu p/q có dạng hữu hạn thì
\frac pq=\frac K{10^n}\quad\Rightarrow\quad p\cdot10^n=Kq.
Do p,q không có thừa số nguyên tố chung, mọi thừa số nguyên tố cùng số mũ xuất hiện trong q phải được cung cấp bởi 10^n. Nói cách khác, q là ước của 10^n. Mà 10^n=2^n5^n, nên q không có thừa số nguyên tố nào ngoài 2,5.
Ngược lại, nếu q=2^\alpha5^\beta, với \alpha,\beta là các số nguyên không âm, đặt n=\max(\alpha,\beta). Nhân tử và mẫu với 2^{n-\alpha}5^{n-\beta}, ta đưa mẫu về 10^n, nên phép chia hữu hạn.
Một phân số tối giản có mẫu dương cho số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi mẫu chỉ có các thừa số nguyên tố 2 và 5. Mẫu 1 cũng được nhận, tương ứng một số nguyên.
Hai chiều đều cần thiết: chiều đầu loại các mẫu không phù hợp; chiều sau chỉ cách tạo ra cách viết thập phân khi mẫu phù hợp. Điều kiện “tối giản” là một phần của định lí, không phải thao tác trang trí.
3. Bao nhiêu chữ số thập phân là đủ?
Nếu mẫu tối giản là 2^\alpha5^\beta, số chữ số ít nhất sau dấu phẩy là \max(\alpha,\beta). Ta đã dựng được cách viết với chừng ấy chữ số. Nếu dùng ít hơn, giả sử chỉ m<\max(\alpha,\beta), mẫu 10^m thiếu ít nhất một thừa số 2 hoặc 5, nên q không thể là ước của 10^m. Đó là chứng minh tính ít nhất.
Ví dụ 7/40 đã tối giản, 40=2^3\cdot5. Cần ít nhất ba chữ số:
\frac7{40}=\frac{7\cdot25}{40\cdot25}=\frac{175}{1000}=0{,}175.
Viết 0{,}1750 vẫn đúng giá trị nhưng dùng thêm một chữ số không cần thiết. Với mẫu 1, hai số mũ đều bằng không và một số nguyên không cần chữ số nào sau dấu phẩy.
Hai ví dụ chọn từ nguồn:
\frac7{25}=\frac{28}{100}=0{,}28,\qquad \frac9{30}=\frac3{10}=0{,}3.
Trong ví dụ thứ hai, mẫu ban đầu 30 có thừa số 3, nhưng thừa số ấy bị khử với tử. Xét mẫu trước khi rút gọn sẽ cho kết luận sai. Quy tắc cũng không phải “mẫu chẵn thì hữu hạn”: 5/12 đã tối giản và 12=2^2\cdot3, nên phép chia không dừng.
Không cần chia dài, hãy xét mười ba phần hai trăm năm mươi
13/250 tối giản; 250=2\cdot5^3. Số chữ số ít nhất là ba. Nhân cả tử và mẫu với 4 cho 52/1000=0{,}052. Chữ số không ngay sau dấu phẩy có vai trò vị trí; không được bỏ để viết thành 0{,}52.
4. Số dư quyết định chữ số tiếp theo
Trong phép chia cho q>0, sau khi lấy phần nguyên, số dư r thỏa 0\le r<q. Muốn tìm chữ số thập phân tiếp theo, chia 10r cho q:
10r=qk+r',\qquad 0\le r'<q.
Vì 0\le10r<10q, thương k nằm trong 0,1,\ldots,9, đúng là một chữ số. Chữ số k và số dư mới r' được xác định duy nhất bởi r. Cùng một số dư xuất hiện lại thì mọi bước tiếp theo lặp lại như cũ.
Nếu gặp số dư không, phép chia dừng. Nếu không bao giờ gặp không, các số dư chỉ thuộc 1,2,\ldots,q-1, một tập hữu hạn. Trong một dãy tiếp tục vô hạn, phải có số dư xuất hiện lại. Từ chỗ đó trở đi, chữ số lặp theo chu kì. Trước lần lặp đầu, các số dư khác nhau; vì chỉ có q-1 số dư khác không, tìm được một chu kì có độ dài không vượt q-1.
Áp dụng cho 5/12, phần nguyên bằng không:
50=12\cdot4+2,\qquad20=12\cdot1+8,\qquad80=12\cdot6+8.
Các chữ số đầu là 4,1. Sau đó số dư 8 tự lặp, nên chữ số 6 lặp mãi:
\frac5{12}=0{,}41(6).
Không phải mọi phần sau dấu phẩy đều thuộc chu kì. Viết 0{,}(416) sẽ cho 0{,}416416\ldots, là số khác.
5. Một chu kì đủ sáu bước
Ví dụ nguồn 1/7 bắt đầu với số dư 1. Các bước chia tạo ra dãy số dư
1,3,2,6,4,5,1,\ldots
và các chữ số tương ứng 1,4,2,8,5,7. Sau sáu bước, số dư trở lại 1, nên
\frac17=0{,}(142857).
Mỗi hàng thỏa 10r=7k+s, trong đó k là chữ số ở giữa. Số dư cuối quay về đúng số dư đầu, nên sáu chữ số 142857 tiếp tục lặp.
Sáu số dư trước khi quay lại đều khác nhau, nên không có chu kì ngắn hơn trong dãy trạng thái của phép chia. Dãy chữ số này cũng không lặp theo một khối ngắn hơn: nếu có chu kì dài j với 1\le j<6, chữ số thứ j+1 phải bằng chữ số đầu là 1. Nhưng cả năm chữ số ở vị trí từ hai đến sáu đều khác 1. Vậy chu kì chữ số ngắn nhất có độ dài sáu.
Giới hạn q-1 là một cận trên cho độ dài chu kì ngắn nhất, không phải lúc nào cũng bằng độ dài thật. Chẳng hạn 1/3=0{,}(3) có chu kì một chữ số, nhỏ hơn 3-1=2. Với 5/12, chu kì cũng chỉ có một chữ số dù mẫu là 12.
6. Đổi ngược số tuần hoàn thành phân số
Muốn khử phần đuôi lặp, nhân với một lũy thừa của mười để hai phần đuôi giống nhau, rồi trừ. Đặt x=0{,}41(6). Khi đó
100x=41{,}(6),\qquad1000x=416{,}(6).
Hai phần thập phân giống hệt nhau, nên
1000x-100x=416-41=375,\qquad x=\frac{375}{900}=\frac5{12}.
Với y=0{,}(142857), cả khối lặp dài sáu chữ số:
10^6y-y=142857,\qquad y=\frac{142857}{999999}=\frac17.
Phép trừ không phải “bỏ bớt chữ số gần giống nhau”. Ta đã dịch đúng một chu kì, vì vậy hai phần đuôi vô hạn là cùng một số và bị trừ hết chính xác.
Công thức chung: một số thập phân không âm có m\ge0 chữ số trước chu kì ở phần thập phân, rồi lặp khối dài \ell\ge1, trong đó m,\ell đều là số nguyên. Gọi C là số nguyên viết bởi phần nguyên nối với m chữ số đầu; gọi D là số nguyên thu được khi nối thêm đúng một khối lặp. Khi đó
10^{m+\ell}x-10^mx=D-C,\qquad \boxed{x=\frac{D-C}{10^m(10^\ell-1)}}.
Mẫu khác không vì \ell\ge1. Các chữ số không đầu khối vẫn phải tính vào độ dài m,\ell, dù không làm thay đổi giá trị của số nguyên C,D. Ví dụ 0{,}0(3) có m=1,\ell=1,C=0,D=3, nên bằng 3/90=1/30, không phải 1/3.
Như vậy, theo cách viết từ phép chia, số hữu tỉ có dạng hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn; ngược lại, mỗi dạng hữu hạn hoặc tuần hoàn đều viết được thành phân số. Đây là một mối liên hệ được chứng minh theo cả hai chiều.
7. Một số gần đúng không đổi bản chất của số ban đầu
Với n là số nguyên không âm, khi dừng ghi chữ số sau n vị trí, ta có số cắt cụt T_n. Với x=p/q\ge0, số dư r_n của phép chia cho công thức chính xác
x=T_n+\frac{r_n}{q\cdot10^n},\qquad0\le r_n<q.
Suy ra 0\le x-T_n<1/10^n. Sai số có thể bằng không nếu phép chia đã dừng; nó luôn nhỏ hơn một đơn vị của chữ số cuối được giữ.
Nếu làm tròn đến điểm gần nhất trên lưới các bội của 1/10^n, sai số không vượt 1/(2\cdot10^n). Hai điểm lưới liên tiếp cách nhau 1/10^n; điểm ở giữa xa mỗi đầu đúng một nửa, còn điểm khác ở trong khoảng gần ít nhất một đầu hơn một nửa. Ở trường hợp đúng giữa, chọn đầu nào cũng cho cùng độ lớn sai số.
Với 5/12, cắt đến hai chữ số cho 0{,}41, sai số 5/12-41/100=1/150<1/100. Làm tròn cho 0{,}42, sai số 42/100-5/12=1/300<1/200. Cả hai số thập phân hữu hạn đều chỉ gần đúng 5/12; dấu bằng chỉ dùng với 0{,}41(6).
Một máy tính hiện vài chữ số cũng không chứng minh số ban đầu hữu tỉ. Ví dụ \sqrt7 có thể được hiển thị gần 2{,}6458, nhưng ta cần một chứng minh khác để phân loại nó. Ngay cả với số hữu tỉ 1/3, màn hình 0{,}33333 vẫn thiếu phần đuôi: 1/3-33333/100000=1/300000>0.
8. Khoảng chứa và tính hữu tỉ trả lời hai câu hỏi khác nhau
Từ 2^2<7<3^2, suy ra 2<\sqrt7<3. Điều đó chỉ định vị số, chưa chứng minh nó vô tỉ: 5/2 cũng nằm giữa 2 và 3 mà vẫn hữu tỉ.
Muốn chứng minh \sqrt7 vô tỉ, giả sử ngược lại \sqrt7=p/q với p,q nguyên dương và phân số tối giản. Khi ấy p^2=7q^2. Bình phương các số dư 0,1,2,3,4,5,6 khi chia cho 7 cho các số dư 0,1,4,2,2,4,1. Vì vậy, một bình phương chia hết cho 7 chỉ khi số ban đầu chia hết cho 7.
Suy ra p=7t với t nguyên; thay vào p^2=7q^2 cho q^2=7t^2, nên q cũng chia hết cho 7. Tử và mẫu cùng có ước 7, trái với giả thiết tối giản. Do đó \sqrt7 vô tỉ.
Việc ước lượng vẫn hữu ích nhưng phục vụ mục tiêu khác. Trên các số không âm, bình phương giữ thứ tự, vì với 0\le a<b, ta có b^2-a^2=(b-a)(b+a)>0. Tính chính xác
2{,}645^2=6{,}996025<7<7{,}001316=2{,}646^2
cho 2{,}645<\sqrt7<2{,}646. Số đó ở trên mốc giữa 2{,}645 của 2{,}64 và 2{,}65, đồng thời dưới 2{,}655, nên làm tròn đến hai chữ số thập phân được 2{,}65. Viết \sqrt7\approx2{,}65, không viết dấu bằng.
9. Tự kiểm tra bằng cả hai cách viết
Mười lăm phần bốn mươi lăm có phải số thập phân hữu hạn không?
Rút gọn 15/45=1/3. Mẫu tối giản có thừa số 3, nên phép chia không dừng và cho 0{,}(3). Phân số vẫn hữu tỉ; “không hữu hạn” không có nghĩa “vô tỉ”.
Đổi không phẩy hai, rồi lặp chữ số bảy, thành phân số
Với x=0{,}2(7), có 10x=2{,}(7) và 100x=27{,}(7). Do đó 90x=25, nên x=5/18. Kiểm bằng chia: 50=18\cdot2+14, 140=18\cdot7+14; số dư 14 lặp nên đúng là 0{,}27777\ldots.
Không phẩy bốn một sáu có bằng năm phần mười hai không?
Không. 0{,}416=416/1000=52/125, còn 5/12-52/125=(625-624)/1500=1/1500>0. Ba chữ số 416 là một đoạn đầu của cách viết thập phân; dấu ngoặc trong 0{,}41(6) mới chỉ rõ phần tiếp tục lặp.
Sai số làm tròn có thể bằng đúng một nửa đơn vị cuối không?
Có. 1/8=0{,}125 nằm đúng giữa 0{,}12 và 0{,}13. Làm tròn đến hai chữ số theo quy ước chọn phía trên cho 0{,}13; sai số là 0{,}005=1/200, đạt đúng cận 1/(2\cdot10^2). Vì vậy cận của làm tròn dùng dấu không vượt, còn cận cắt cụt từ số dư dùng dấu nhỏ hơn.
Để đọc đúng một cách viết thập phân, hãy rút gọn phân số trước khi xét mẫu, theo dõi số dư khi cần tìm chu kì, dịch đúng độ dài khối lặp khi đổi ngược, và ghi rõ đâu là giá trị chính xác, đâu là kết quả cắt cụt hoặc làm tròn.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện