Hai hình chiếu của chân đường cao trong tam giác vuông: hình chữ nhật và đẳng thức bậc ba
Bài luyện Toán 9 giữa kì: tam giác vuông, chân đường cao H, hai hình chiếu E và F, hình chữ nhật AEHF, tứ giác nội tiếp và đẳng thức bậc ba, kèm 22 bài có…
Toán 9 · Hình học · Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Hai hình chiếu của chân đường cao trong tam giác vuông: từ hình chữ nhật đến đẳng thức bậc ba
Em sẽ giải trọn một bài hình nhiều ý ở cuối bài kiểm tra giữa kì: hình chữ nhật, hệ thức lượng, đường tròn đi qua bốn điểm và một đẳng thức bậc ba gây bất ngờ. Quan trọng hơn, em học cách nhìn ra lối đi thay vì chép lời giải.
120 phút Lớp 9 Mức: khá – giỏi
Em sẽ học: hệ thức lượng và tỉ số lượng giác · tính chất hình chữ nhật · tam giác đồng dạng · chứng minh tứ giác nội tiếp · kiểm tra bậc của một đẳng thức
1 Bài toán trung tâm và bản đồ bài học
Đề bài dưới đây được giải xuyên suốt bài học. Em đọc kĩ và thử đoán hướng làm các ý cuối.
Bài luyện dưới đây do LUKATO soạn, theo dạng bài hình học nhiều ý thường gặp trong giữa kì I Toán 9: một tam giác vuông đặc biệt, chân đường cao, hai hình chiếu, rồi đi từ những ý nhẹ nhàng đến một đẳng thức khó. Riêng phần “bốn điểm B,E,F,C cùng nằm trên một đường tròn” trong ý c (tứ giác nội tiếp, mục 7) dùng kiến thức học kì II, nên được ghi là Mở rộng : nếu đang ôn giữa kì I, em có thể để dành phần này.
Đề bài
Bài toán trung tâm. Cho tam giác ABC vuông tại A, có \angle B=60^{\circ} và AB=6 cm. Kẻ đường cao AH. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
- Chứng minh AEHF là hình chữ nhật và EF=AH.
- Tính AH,\ BH,\ CH,\ BE,\ CF.
- Chứng minh AE\cdot AB=AF\cdot AC và (mở rộng, kiến thức học kì II) bốn điểm B,E,F,C cùng nằm trên một đường tròn.
- Chứng minh EF^{3}=BC\cdot BE\cdot CF.
Hình 1. Tam giác ABC vuông tại A, góc B bằng 60 độ, AB = 6 cm. AH là đường cao; E, F là hình chiếu của H trên AB, AC nên AEHF là hình chữ nhật.
Hình 1 vẽ đúng tỉ lệ: AB=6, AC=6\sqrt{3}, BC=12. Bốn ý của đề tăng dần độ khó. Hai ý đầu chỉ cần hình chữ nhật và hệ thức lượng. Ý thứ ba cần tam giác đồng dạng. Ý cuối là một đẳng thức có vẻ “không liên quan” giữa các đoạn thẳng nằm rải rác trên hình, và chính nó đáng để suy nghĩ lâu.
Bản đồ bài học
Mục · Việc cần làm · Công cụ chính
2 · Nhắc lại hệ thức lượng và tỉ số lượng giác · AB^{2}=BH\cdot BC, \cos B, \tan B
3 · Chứng minh AEHF là hình chữ nhật, suy ra EF=AH · Tứ giác có ba góc vuông, đường chéo
4 · Tính mọi độ dài của bài toán trung tâm · Hai cách: lượng giác và hệ thức
5 · Tam giác BHE đồng dạng BCA · Đồng dạng, cạnh tương ứng
6 · Chứng minh EF^{3}=BC\cdot BE\cdot CF · Nhân hệ thức, kiểm tra bậc
7 · Bốn điểm B,E,F,C cùng nằm trên một đường tròn · Đồng dạng cạnh – góc – cạnh, tổng hai góc đối
8 · Luyện tập tổng hợp · Bài có chấm điểm
9 · Thách thức: tỉ số diện tích và đẳng thức căn bậc ba · Cô-si, định lí Pythagore
10 · Trình bày bài thi và tự kiểm tra · Thang tự chấm, bảng kiểm
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Hệ thức nào đúng ?
Sai. BH\cdot BC bằng AB^{2}, không phải AH^{2}. Cạnh góc vuông AB mới là “trung bình nhân” của hình chiếu BH và cạnh huyền BC.
Đúng. Đường cao AH là trung bình nhân của hai hình chiếu BH và CH trên cạnh huyền.
Sai. AH\cdot BC bằng AB\cdot AC (cùng là hai lần diện tích tam giác), không bằng AB^{2}.
Sai. Vế phải sai: đúng phải là AB^{2}=BH\cdot BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H trên AB.
a) HE vuông góc với AB tại E.
Đúng: hình chiếu vuông góc của H trên AB là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB.
b) E luôn là trung điểm của AB.
Sai: E chỉ là trung điểm của AB khi H là trung điểm của cạnh huyền, nghĩa là tam giác vuông cân. Ở bài trung tâm, BE=\dfrac{3}{2} còn AB=6.
c) Tam giác AHB vuông tại H.
Đúng: AH\perp BC nên \angle AHB=90^{\circ}.
d) HE là đường cao của tam giác AHB.
Đúng: HE\perp AB, mà AB là cạnh huyền của tam giác vuông AHB.
Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) có \angle B=60^{\circ} và AB=6: vì \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2} nên BC= .
2 Hệ thức lượng và tỉ số lượng giác: hai bộ công cụ tính độ dài
Hầu hết các ý tính toán trong bài đều rơi vào hai bộ công cụ này.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Bảng dưới chỉ nhắc lại để dùng; mỗi hệ thức đều chứng minh được bằng một cặp tam giác đồng dạng (Ví dụ 4 ở mục 5 làm mẫu).
Hệ thức · Đọc thành lời · Dùng khi
AB^{2}=BH\cdot BC, AC^{2}=CH\cdot BC · Cạnh góc vuông bình phương bằng hình chiếu nhân cạnh huyền · Biết một cạnh góc vuông và cạnh huyền, cần hình chiếu
AH^{2}=BH\cdot CH · Đường cao bình phương bằng tích hai hình chiếu · Biết hai hình chiếu, cần đường cao
AH\cdot BC=AB\cdot AC · Đường cao nhân cạnh huyền bằng tích hai cạnh góc vuông · Hai cách tính diện tích
Ghi nhớ
Quy tắc mẫu. Cạnh góc vuông bình phương bằng hình chiếu của nó nhân cạnh huyền, trong mọi tam giác vuông trên hình. Với tam giác nhỏ AHB (vuông tại H, đường cao HE): AH^{2}=AE\cdot AB và BH^{2}=BE\cdot AB.
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Trong tam giác vuông có góc nhọn \alpha: \sin\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}, \cos\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}, \tan\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}. Với các góc đặc biệt:
Góc · 30^{\circ} · 45^{\circ} · 60^{\circ}
\sin · \dfrac{1}{2} · \dfrac{\sqrt{2}}{2} · \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\cos · \dfrac{\sqrt{3}}{2} · \dfrac{\sqrt{2}}{2} · \dfrac{1}{2}
\tan · \dfrac{1}{\sqrt{3}} · 1 · \sqrt{3}
Khi \angle B=60^{\circ} thì \angle C=30^{\circ}; ba cạnh tỉ lệ AB:AC:BC=1:\sqrt{3}:2.
Ví dụ 1 · Tính BC,\ AC,\ BH,\ CH,\ AH của tam giác ABC trong bài toán trung tâm
Tính cạnh huyền: \cos B=\dfrac{AB}{BC}, nên BC=\dfrac{AB}{\cos 60^{\circ}}=\dfrac{6}{1/2}=12.
Vì sao: biết cạnh kề AB và góc B, muốn tìm cạnh huyền thì dùng \cos. Nhớ ghép đúng: kề chia huyền.
Tính cạnh góc vuông còn lại: \tan B=\dfrac{AC}{AB}, nên AC=6\tan 60^{\circ}=6\sqrt{3}.
Kiểm tra bằng Pi-ta-go: 6^{2}+(6\sqrt{3})^{2}=36+108=144=12^{2}. Khớp.
Tính hình chiếu BH: AB^{2}=BH\cdot BC, nên BH=\dfrac{36}{12}=3.
Vì sao: AB là cạnh góc vuông, BH là hình chiếu của nó, BC là cạnh huyền. Đúng mẫu của quy tắc.
Tính CH=BC-BH=12-3=9. Kiểm tra bằng AC^{2}=CH\cdot BC: 108=9\cdot 12. Khớp.
H nằm giữa B và C (tam giác vuông có đường cao rơi vào cạnh huyền), nên trừ được.
Tính đường cao: AH^{2}=BH\cdot CH=3\cdot 9=27, nên AH=3\sqrt{3}. Kiểm tra: AH\cdot BC=3\sqrt{3}\cdot 12=36\sqrt{3} và AB\cdot AC=6\cdot 6\sqrt{3}=36\sqrt{3}.
Hai cách tính diện tích cho cùng một kết quả: dấu hiệu tốt rằng các con số đúng.
Bẫy thường gặp: nhầm hệ thức của cạnh góc vuông với hệ thức của đường cao
Bạn Quân viết: “AH^{2}=BH\cdot BC=3\cdot 12=36, nên AH=6”. Kết quả AH=6 trùng với AB, điều này vô lí vì đường vuông góc AH luôn ngắn hơn đường xiên AB kẻ từ cùng điểm A. Lỗi là đã nhầm hệ thức của cạnh góc vuông AB (AB^{2}=BH\cdot BC) với hệ thức của đường cao (AH^{2}=BH\cdot CH). Cách tự cứu: sau khi tính, so sánh với AB.
Bẫy thường gặp: chọn sai tỉ số lượng giác
Bạn Mai làm: BC=\dfrac{AB}{\sin B}=\dfrac{6}{\sqrt{3}/2}=4\sqrt{3}. Khi đó AC=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}-6^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} và \tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, tức B=30^{\circ}, mâu thuẫn với đề. Mai đã dùng \sin (đối chia huyền) cho cạnh AB (là cạnh kề của góc B). Luôn xác định “đối” và “kề” của đúng góc đang dùng trước khi chọn \sin, \cos hay \tan.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tam giác ABC vuông tại A có AB=20,\ AC=21; AH là đường cao. Tính AH (nhập phân số).
Gợi ý 1. Tính cạnh huyền BC trước bằng Pi-ta-go.
Gợi ý 2. Hai cách tính diện tích tam giác vuông cho một hệ thức nối AH, BC với hai cạnh góc vuông.
Chính xác! BC=29, AH=\dfrac{20\cdot 21}{29}=\dfrac{420}{29}\approx 14{,}48.
Bạn quên chia cho BC=29: 20\cdot 21=420 là tích hai cạnh góc vuông, chưa phải AH.
\dfrac{29}{2}=14{,}5 là độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, không phải đường cao (rất gần nhưng không bằng).
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Pi-ta-go: BC^{2}=20^{2}+21^{2}=841, BC=29. Hai cách tính diện tích: AH\cdot BC=AB\cdot AC, nên AH=\dfrac{420}{29}.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Tam giác ABC vuông tại A có AB=6 và BC=9; AH là đường cao. Tính BH.
Gợi ý 1. Cạnh góc vuông AB, hình chiếu BH, cạnh huyền BC: hệ thức nào nối ba đoạn này?
Gợi ý 2. Trong hệ thức ấy, BH là một thừa số của tích; muốn tìm nó thì chia chứ không nhân.
Chính xác! BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}=\dfrac{36}{9}=4.
Bạn đã nhân 6\cdot 9 thay vì chia: BH là một thừa số của tích BH\cdot BC nên phải chia.
\dfrac{9}{2}=\dfrac{BC}{2} là độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền, không phải hình chiếu BH.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Hệ thức cạnh góc vuông – hình chiếu – cạnh huyền: AB^{2}=BH\cdot BC, suy ra BH=\dfrac{36}{9}=4. Kiểm tra: BH=4\lt AB=6, hợp lí.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Tam giác ABC vuông tại A có AB=5,\ AC=12; AH là đường cao. Tính BH.
Gợi ý 1. Tính cạnh huyền BC bằng Pi-ta-go.
Gợi ý 2. Cạnh góc vuông AB bình phương bằng hình chiếu của nó nhân cạnh huyền.
Chính xác! BH=\dfrac{25}{13}\approx 1{,}92.
\dfrac{60}{13} là đường cao AH của tam giác này (5\cdot 12\div 13), không phải BH.
\dfrac{144}{13} là CH (hình chiếu của AC), bạn đã dùng nhầm cạnh góc vuông AC.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Pi-ta-go: BC=\sqrt{25+144}=13. Từ AB^{2}=BH\cdot BC: BH=\dfrac{25}{13}. Kiểm tra CH=\dfrac{144}{13} và BH+CH=\dfrac{169}{13}=13=BC.
Tam giác ABC vuông tại A có \angle C=30^{\circ}, BC=10. Độ dài AB bằng
Đúng. AB là cạnh đối của góc C: AB=BC\sin 30^{\circ}=10\cdot\dfrac{1}{2}=5.
Sai. 5\sqrt{3} là độ dài AC, cạnh đối của góc B=60^{\circ}.
Sai. Cạnh góc vuông không thể dài hơn cạnh huyền 10; 10\sqrt{3}\approx 17{,}3.
Sai. Đây là kết quả khi chia cho \sqrt{3} thay vì nhân với \sin 30^{\circ}; \dfrac{10}{\sqrt{3}}\approx 5{,}77, không đúng.
Tam giác ABC trong bài toán trung tâm có AH^{2}=BH\cdot CH=3\cdot 9=27, nên AH= ; và AH\cdot BC=AB\cdot AC cho AC=\dfrac{3\sqrt{3}\cdot 12}{6}= .
3 Hình chữ nhật AEHF: vì sao đoạn EF bằng đoạn AH
Ý đầu của đề là chìa khóa của cả bài. Một khi biết AEHF là hình chữ nhật, hai đường chéo của nó cho ta cả loạt đẳng thức miễn phí.
Điều đề bài cho: HE\perp AB và HF\perp AC (vì E,F là hình chiếu của H). Điều ta cần chứng minh: AEHF là hình chữ nhật. Trước khi viết, em hãy đếm xem trong tứ giác AEHF đã có bao nhiêu góc vuông và lấy chúng ở đâu.
Ba góc vuông từ ba nguồn
Góc A: \angle EAF=\angle BAC=90^{\circ} do tam giác ABC vuông tại A (và E\in AB, F\in AC). Góc E: \angle AEH=90^{\circ} do HE\perp AB. Góc F: \angle AFH=90^{\circ} do HF\perp AC. Một tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật, vì góc thứ tư bằng 360^{\circ}-3\cdot 90^{\circ}=90^{\circ}.
Ghi nhớ
Hình chữ nhật. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường . Ở đây hai đường chéo là AH và EF, suy ra EF=AH.
Hình 2. Hai đường chéo AH (xanh đậm) và EF (đỏ) của hình chữ nhật AEHF bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm M; góc AEF bằng 30 độ.
Gọi M là giao điểm của AH và EF. Vì M là trung điểm chung nên MA=MH=ME=MF: bốn điểm A,E,H,F cùng cách đều M. Tính chất “M cách đều bốn đỉnh” sẽ giúp ta tìm góc bằng nhau ngay sau đây.
Ví dụ 2 · Chứng minh AEHF là hình chữ nhật và \angle AEF=\angle ACB
Xét tứ giác AEHF: \angle A=90^{\circ} (vì \triangle ABC vuông tại A), \angle E=90^{\circ} (vì HE\perp AB), \angle F=90^{\circ} (vì HF\perp AC).
Vì sao: ta liệt kê ba góc và nêu lí do bên cạnh mỗi góc. Người chấm không được phải đoán nguồn gốc của các góc vuông.
Tứ giác AEHF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Đây là dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật. Đừng viết “có hai góc vuông” (xem bẫy bên dưới).
Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau: EF=AH. Gọi M là giao điểm, ta có MA=ME.
Vì sao: đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, và hai đường chéo bằng nhau, nên hai nửa đường chéo cũng bằng nhau.
Tam giác MAE cân tại M nên \angle MEA=\angle MAE, tức \angle AEF=\angle EAH=\angle BAH.
Đây là chỗ dùng “M cách đều”. \angle MAE chính là \angle EAH, mà E nằm trên AB nên bằng \angle BAH.
Trong tam giác ABH vuông tại H: \angle BAH=90^{\circ}-\angle B. Trong tam giác ABC vuông tại A: \angle C=90^{\circ}-\angle B. Vậy \angle BAH=\angle C, suy ra \angle AEF=\angle ACB.
Đây là lúc góc B “mất tích” và góc C xuất hiện. Ở bài trung tâm, \angle ACB=30^{\circ} nên \angle AEF=30^{\circ}, khớp với Hình 2.
Bẫy thường gặp: chỉ nêu hai góc vuông
Bạn Hải viết: “Tứ giác AEHF có \angle E=\angle F=90^{\circ} nên là hình chữ nhật”. Hai góc vuông ở hai đỉnh đối nhau không đủ. Ví dụ: tứ giác lồi AEHF với \angle E=\angle F=90^{\circ} và \angle A=60^{\circ} hoàn toàn có thể tồn tại (nó nội tiếp đường tròn đường kính AH); khi đó \angle H=120^{\circ} và nó không phải hình chữ nhật. Ở bài này ta có góc A vuông do \triangle ABC vuông nên đủ ba góc vuông, nhưng lời giải phải nêu cả ba.