Ôn giữa kì Đại số 9: hệ phương trình, bất phương trình và phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ôn giữa kì Đại số 9: nhận dạng và giải hệ phương trình bậc nhất, bất phương trình một ẩn, phương trình chứa ẩn ở mẫu, lập hệ từ bài toán thực tế, kèm bài…
Toán 9 · Ôn giữa kì Đại số
Hệ phương trình, bất phương trình và phương trình chứa ẩn ở mẫu: ôn giữa kì không mất điểm oan
Trong bài kiểm tra giữa kì Đại số 9, phần lớn điểm bị mất không phải vì em không biết giải, mà vì nhận nhầm dạng bài, quên điều kiện, quên đổi chiều hoặc chuyển vế sai một dấu. Bài này đi qua bốn mảng kiến thức của kì đầu và cho em một thói quen kiểm tra ngắn để giữ lại những điểm ấy.
Khoảng 110 phút Mức: trung bình - khá Có sơ đồ, đồ thị và trục số
Bạn sẽ ôn: nhận dạng phương trình, hệ và bất phương trình bậc nhất; giải hệ bằng phép cộng và phép thế; tính chất của bất đẳng thức; giải bất phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình chứa ẩn ở mẫu; lập hệ phương trình từ bài toán thực tế.
1 Bốn câu hỏi trước khi cầm bút
Ôn tập hiệu quả bắt đầu từ việc gọi đúng tên bài toán, vì tên của bài toán quyết định cách giải.
Hãy nghĩ tới một bài kiểm tra giữa kì có bốn dạng câu: nhận biết một phương trình hay hệ, giải một hệ hai phương trình, giải một bất phương trình hoặc phương trình có phân thức, và một bài toán lời văn. Cả bốn dạng đều dùng những phép biến đổi mà em đã biết, nhưng mỗi dạng có một chỗ rất dễ trượt chân.
GV
Cô Lukato
Cô chấm bài nhiều năm và thấy một điều: những lỗi làm em mất điểm hầu như đều rơi vào cùng một nhóm nhỏ. Vì thế bài học này không chỉ nhắc lại cách giải, mà chỉ ra chỗ trượt chân của từng dạng, để em nhìn thấy nó trước khi bước vào.
Việc đầu tiên của mọi bài đại số là nhận dạng . Cùng nhìn sơ đồ dưới đây: chỉ với ba câu hỏi về dấu, số ẩn và chỗ đứng của ẩn, em đã biết mình đang đối mặt với loại bài nào.
Hình 1. Sơ đồ nhận dạng: nhìn dấu, số ẩn và vị trí của ẩn trước khi chọn cách giải.
Danh sách sau nói kĩ hơn về bốn đối tượng chính. Em chú ý phần "không phải bậc nhất khi", vì đó là chỗ đề bài hay đặt bẫy.
- Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng chuẩn ax+by=c, với a và b không đồng thời bằng 0. Ví dụ 4x-3y=9. Không phải bậc nhất khi có x^{2}, y^{2}, xy hoặc ẩn dưới dấu căn.
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai phương trình dạng trên, chẳng hạn x+y=3 và 2x-y=3. Chỉ cần một dòng không tuyến tính là cả hệ không còn là hệ bậc nhất.
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax+b>0 (hoặc <, \le, \ge) với a\ne0, ví dụ 2x-5>0. Không phải bậc nhất khi ẩn nằm ở mẫu hoặc có x^{2}.
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu có ít nhất một phân thức mà mẫu chứa ẩn, ví dụ \dfrac{1}{x-2}=3. Với dạng này, việc đầu tiên là tìm điều kiện của ẩn.
Ba câu ngắn dưới đây kiểm tra khả năng nhận dạng. Em cứ chọn theo cảm giác, sai cũng được: mỗi phương án đều có lời giải thích đi kèm.
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
Sai. Có x^{2} nên bậc của ẩn x là 2, không còn là bậc nhất.
Đúng. Hai ẩn x và y, mỗi ẩn đều bậc 1, hệ số của chúng 4 và -3 không đồng thời bằng 0, vế phải là hằng số 9.
Sai. Tích xy là một hạng tử bậc 2 (mỗi ẩn bậc 1 nhưng nhân với nhau), nên phương trình không bậc nhất.
Sai. Đây là phương trình một ẩn, có ẩn ở mẫu. Nó thuộc dạng phải tìm điều kiện của ẩn trước khi giải.
Hệ nào sau đây là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?
Sai. Dòng thứ hai có x^{2}. Chỉ một dòng không tuyến tính là cả hệ không còn là hệ bậc nhất.
Đúng. Cả hai dòng đều có dạng ax+by=c.
Sai. Dòng thứ nhất có tích xy.
Sai. Ẩn y nằm dưới dấu căn ở dòng thứ nhất, nên dòng này không tuyến tính.
Đề bài cho phương trình \dfrac{1}{x-2}=3. Việc đầu tiên nên làm là gì?
Sai. Quy đồng khi chưa ghi điều kiện dễ dẫn tới việc nhận một giá trị làm mẫu bằng 0.
Đúng. Phân thức chỉ có nghĩa khi mẫu khác 0, tức x-2\ne0. Điều kiện phải có trước mọi phép biến đổi.
Sai. Nhân chéo chỉ là kĩ thuật để tính, nó không thay cho việc ghi điều kiện.
Sai. Chuyển vế không sai, nhưng cũng không phải việc đầu tiên: điều kiện của ẩn luôn đứng trước.
2 Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Một cặp số phải "sống sót" qua cả hai dòng của hệ mới được gọi là nghiệm.
Một phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c có vô số nghiệm: cứ chọn x tùy ý rồi tính y. Mỗi nghiệm là một cặp số (x_{0};y_{0}), và tất cả các cặp ấy nằm trên một đường thẳng. Khi ghép hai phương trình thành một hệ, ta tìm những cặp số nằm trên cả hai đường thẳng cùng lúc.
Ghi nhớ
Nghiệm của hệ là cặp (x_{0};y_{0}) thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. Một cặp chỉ thỏa một phương trình thì chưa phải nghiệm của hệ.
Muốn biết một cặp số có phải là nghiệm hay không, cách nhanh nhất không phải giải hệ mà là thế cặp số vào từng phương trình . Ta thử ngay với câu hỏi sau.
Cặp số (1;-2) là nghiệm của hệ nào?
Sai. Dòng đầu cho 1-2\cdot(-2)=5, khác 4, nên cặp số đã trượt ngay ở phương trình thứ nhất (dù dòng thứ hai lại đúng: 3\cdot1+(-2)=1).
Đúng. Dòng đầu: 1-2\cdot(-2)=5. Dòng thứ hai: 3\cdot1+(-2)=1. Cả hai dòng cùng đúng.
Sai. Dòng đầu đúng: 1+2\cdot(-2)=-3. Nhưng dòng thứ hai cho 3\cdot1-(-2)=5, khác 1. Một dòng đúng chưa đủ.
Sai. Dòng đầu đúng: 1-2\cdot(-2)=5. Nhưng dòng thứ hai cho 3\cdot1+(-2)=1, khác -1.
Ta xem hình học của một hệ. Hệ \left\{\begin{aligned}x-2y&=4\\ x+2y&=0\end{aligned}\right. gồm hai đường thẳng. Giao điểm của chúng chính là nghiệm.
Hình 2. Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng: M(2; -1).
Ví dụ 1 · Giải hệ bằng phép cộng đại số
Quan sát hệ số của y: ở hai phương trình là -2 và +2, đối nhau. Vì thế cộng từng vế sẽ làm y biến mất.
Trước khi giải, hãy nhìn xem có ẩn nào có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau không. Có thì phép cộng (hoặc trừ) là nhanh nhất.
Cộng vế với vế: (x-2y)+(x+2y)=4+0, tức 2x=4, suy ra x=2.
Cộng hai phương trình cho ta một phương trình mới chỉ còn một ẩn.
Thế x=2 vào phương trình thứ hai: 2+2y=0, suy ra y=-1.
Có thể thế vào phương trình nào cũng được; chọn phương trình có số nhỏ hơn cho đỡ tính.
Kiểm tra cả hai dòng: 2-2\cdot(-1)=4 đúng, 2+2\cdot(-1)=0 đúng. Kết luận: nghiệm là (2;-1), khớp với điểm M trên Hình 2.
Kiểm tra bằng cách thế lại là thói quen rẻ nhất để bắt lỗi tính toán.
Ví dụ 2 · Giải hệ bằng phép thế
Cho hệ \left\{\begin{aligned}2x+3y&=7\\ x-y&=1\end{aligned}\right.. Phương trình thứ hai có hệ số của x bằng 1, nên rút x=y+1 rất gọn.
Chọn ẩn có hệ số 1 (hoặc -1) để rút, vì như thế không xuất hiện phân số.
Thế vào phương trình thứ nhất: 2(y+1)+3y=7, tức 5y+2=7, suy ra y=1.
Nhớ dấu ngoặc: nhân 2 cho cả y lẫn 1.
Từ x=y+1 suy ra x=2. Nghiệm là (2;1).
Thế ngược vào phương trình còn lại để tính ẩn thứ hai.
Kiểm tra: 2\cdot2+3\cdot1=7 đúng; 2-1=1 đúng.
Ví dụ 3 · Khi cần nhân trước khi cộng
Cho hệ \left\{\begin{aligned}2x+3y&=8\\ 3x-2y&=-1\end{aligned}\right.. Không ẩn nào có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau, nên phải "tạo" ra chúng.
Chọn ẩn cần khử, rồi tìm bội chung nhỏ nhất của hai hệ số của nó.
Muốn khử y: hệ số là 3 và -2, bội chung nhỏ nhất là 6. Nhân phương trình đầu với 2 và phương trình sau với 3: 4x+6y=16 và 9x-6y=-3.
Phải nhân cả hai vế, kể cả vế phải, không chỉ vế trái.
Cộng vế với vế: 13x=13, suy ra x=1.
Hai hệ số của y đã đối nhau nên y biến mất.
Thế x=1 vào 2x+3y=8: 3y=6, suy ra y=2. Nghiệm là (1;2).
Kiểm tra dòng sau: 3\cdot1-2\cdot2=-1 đúng.
Bẫy thường gặp
Bẫy: nhân không đủ hai vế. Khi nhân phương trình 2x+3y=8 với 2, nhiều bạn viết 4x+6y=8 vì quên nhân vế phải. Hãy tự hỏi: "Mình vừa nhân thứ gì với thứ gì?" Mỗi hạng tử, kể cả hằng số, đều phải nhân.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Giải hệ \left\{\begin{aligned}x+y&=5\\ 2x-y&=1\end{aligned}\right.. Nhập nghiệm dạng cặp (x;y), ví dụ 3; 4.
Gợi ý 1. Hệ số của y là 1 và -1: hai số đối nhau.
Gợi ý 2. Cộng hai phương trình để khử y.
Chính xác! Cộng hai vế: 3x=6, nên x=2; rồi y=5-2=3. Thử lại: 2\cdot2-3=1.
Em đã đảo thứ tự cặp số. Hãy thế thử: với x=3,y=2 ta có 2\cdot3-2=4, khác 1. Nghiệm phải viết theo thứ tự (x;y).
Cặp (1;4) chỉ thỏa phương trình đầu: 1+4=5. Ở phương trình sau, 2\cdot1-4=-2, khác 1. Nghiệm của hệ phải thỏa cả hai.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Cộng hai phương trình: (x+y)+(2x-y)=5+1, tức 3x=6, suy ra x=2. Thế vào x+y=5: y=3. Kiểm tra: 2\cdot2-3=1 đúng.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Giải hệ \left\{\begin{aligned}3x+2y&=13\\ x-2y&=-1\end{aligned}\right. và nhập nghiệm dạng cặp (x;y).
Gợi ý 1. Hệ số của y là 2 và -2.
Gợi ý 2. Cộng hai phương trình rồi tính x.
Đúng rồi. Cộng vế: 4x=12, nên x=3; thế vào x-2y=-1: 3-2y=-1, suy ra y=2.
Em đã tính 3-2y=-1 thành y=-2. Hãy chuyển vế lại: -2y=-1-3=-4, nên y=2.
Cặp số này thỏa phương trình đầu (3\cdot4+2\cdot0{,}5=13) nhưng chưa thỏa phương trình thứ hai: 4-2\cdot0{,}5=3, khác -1. Hãy thế lại vào cả hai dòng.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Cộng hai phương trình: 4x=12, suy ra x=3. Thế vào x-2y=-1: 3-2y=-1, suy ra y=2. Kiểm tra: 3\cdot3+2\cdot2=13.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Giải hệ \left\{\begin{aligned}4x-3y&=5\\ 2x+y&=5\end{aligned}\right. bằng phép thế và nhập nghiệm dạng cặp (x;y).
Gợi ý 1. Ở phương trình thứ hai, rút y=5-2x.
Gợi ý 2. Thế vào phương trình thứ nhất: 4x-3(5-2x)=5.
Chính xác! 4x-15+6x=5 nên 10x=20, x=2, rồi y=5-4=1.
Có vẻ em đã tự chọn x=0 để nhận y=5 từ phương trình thứ hai. Cặp này chỉ thỏa phương trình thứ hai; thử vào phương trình đầu: 4\cdot0-3\cdot5=-15, khác 5.
Em đã bỏ sót một dấu khi mở ngoặc: 4x-3\cdot5-2x là sai. Đúng phải nhân -3 cho cả hai hạng tử trong ngoặc: -3\cdot5+6x.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Từ 2x+y=5 suy ra y=5-2x. Thế vào phương trình đầu: 4x-3(5-2x)=5, tức 4x-15+6x=5, nên 10x=20, x=2. Khi đó y=1. Kiểm tra: 4\cdot2-3\cdot1=5.
Không phải hệ nào cũng có đúng một nghiệm. Hai đường thẳng có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau, tương ứng ba khả năng sau.
Hình 3. Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song; hệ có vô số nghiệm khi hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng.
- Cắt nhau : hệ có đúng một nghiệm. Khi giải, ta tìm được giá trị cụ thể cho từng ẩn.
- Song song : hệ vô nghiệm. Khi giải, ta rút gọn ra một đẳng thức sai, chẳng hạn 0=4.
- Trùng nhau : hệ có vô số nghiệm. Khi giải, ta rút gọn ra một đẳng thức đúng, chẳng hạn 0=0.
Hệ \left\{\begin{aligned}x+y&=3\\ 3x+3y&=8\end{aligned}\right. có bao nhiêu nghiệm?
Sai. Nhân phương trình đầu với 3 ta được 3x+3y=9, trong khi phương trình sau là 3x+3y=8: hai vế trái giống nhau mà vế phải khác nhau nên không có cặp số nào thỏa cả hai.
Đúng. 3x+3y không thể vừa bằng 9 vừa bằng 8: hai đường thẳng song song, hệ vô nghiệm.
Sai. Vô số nghiệm chỉ xảy ra khi phương trình sau đúng bằng ba lần phương trình đầu, tức 3x+3y=9.
Sai. Hệ bậc nhất hai ẩn không bao giờ có đúng hai nghiệm: hai đường thẳng chỉ có 0, 1 hoặc vô số điểm chung.
Bài 4 Mức 3 · Thách thức
Cho hệ \left\{\begin{aligned}x+my&=3\\ 2x+4y&=6\end{aligned}\right.. Tìm giá trị m để hệ có vô số nghiệm.
Gợi ý 1. Hệ có vô số nghiệm khi phương trình sau là "bội" của phương trình đầu.
Gợi ý 2. Nhân phương trình đầu với 2 rồi so với phương trình sau.
Chính xác! Với m=2, phương trình đầu nhân 2 thành 2x+4y=6, đúng bằng phương trình sau: hai đường thẳng trùng nhau.
Em đã lấy hệ số 4 của phương trình sau. Nhưng phương trình đầu đã bị nhân 2 nên 2m mới bằng 4, tức m=2.
Với m=1: hai phương trình là x+y=3 và 2x+4y=6, tức x+2y=3. Hai đường thẳng khác nhau, hệ có đúng một nghiệm.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Nhân phương trình đầu với 2: 2x+2my=6. Để trùng với 2x+4y=6 cần 2m=4, tức m=2. Khi đó hai phương trình giống nhau nên hệ có vô số nghiệm.
Xét hệ \left\{\begin{aligned}x+y&=3\\ x-y&=1\end{aligned}\right.. Hãy đánh giá từng nhận định sau.
a) Cặp (2;1) là nghiệm của hệ.
Đúng: 2+1=3 và 2-1=1, cả hai dòng đều thỏa.
b) Cặp (3;0) là nghiệm của hệ vì thỏa phương trình x+y=3.
Sai. Cặp (3;0) chỉ thỏa phương trình đầu; ở phương trình sau 3-0=3, khác 1. Nghiệm của hệ phải thỏa cả hai.
c) Hệ này có vô số nghiệm.
Sai. Hai đường thẳng x+y=3 và x-y=1 có hệ số góc khác nhau, nên cắt nhau tại đúng một điểm.
d) Cộng hai phương trình theo vế ta được 2x=4.
Đúng: (x+y)+(x-y)=3+1, tức 2x=4.
3 Bất đẳng thức: vì sao nhân với số âm thì đảo chiều
Đây là mảnh kiến thức nhỏ nhất mà cũng là chỗ mất điểm nhiều nhất của phần bất phương trình.
Bất phương trình là phương trình mà dấu bằng bị thay bằng dấu so sánh. Vì vậy, trước khi giải bất phương trình, ta phải hiểu bất đẳng thức hoạt động thế nào khi cộng, nhân, chia. Phần này chỉ có một ý lớn, nhưng nếu hiểu ý ấy thì em sẽ không bao giờ quên đổi chiều.
Ba tính chất cần thuộc
Với ba số a, b, c, giả sử a<b: