Lớn nhất, nhỏ nhất trong đời sống: khi đỉnh parabol chưa phải là đáp án
Bài toán giá bán, rào vườn, thuê xe và giảm giá: hoàn thành bình phương, xét miền của biến, chọn số nguyên gần đỉnh và kiểm tra dữ kiện trước khi kết luận.
Toán 9 · Ứng dụng đại số · Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Lớn nhất, nhỏ nhất trong đời sống: khi đỉnh parabol chưa phải là đáp án
Giá bán, lợi nhuận, hàng rào, thuê xe, giảm giá liên tiếp: đề nào cũng hỏi “lớn nhất” hay “nhỏ nhất”, nhưng đáp án đúng không phải lúc nào cũng nằm ở đỉnh đường cong. Bài này dạy em cách lập mô hình, kiểm tra miền của biến rồi mới kết luận.
Khoảng 120 phút Mức: khá đến giỏi Lập mô hình, kiểm tra miền, kết luận
Em sẽ học: hoàn thành bình phương để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; xét miền của biến; tối ưu khi biến chỉ nhận số nguyên; giảm giá liên tiếp và ngân sách; kiểm tra một dữ kiện có thể xảy ra hay không.
1 Bản đồ bài học và ba câu khởi động
Từ một câu chuyện bán hàng đến ba nhịp giải bài: mô hình, miền, kết luận.
GV
Cô Lukato
Có một sai lầm rất phổ biến trong các bài toán “tìm giá trị lớn nhất”: thấy biểu thức bậc hai là em lập tức lấy đỉnh, viết đáp án, rồi dừng. Bài hôm nay cho em thấy ba tình huống mà cách làm ấy cho đáp án sai, dù mọi phép tính đều đúng.
Các con số trong bài đều do LUKATO tự đặt ra để luyện tập; chúng mô phỏng dạng bài ứng dụng thường gặp trong các bài Toán 9. Em không cần biết trước về hàm số bậc hai: mọi thứ ta cần là hằng đẳng thức bình phương, giải bất phương trình bậc nhất và phép tính phần trăm.
Em sẽ làm được gì
- Viết hàm lợi nhuận, diện tích, chi phí từ một câu chuyện thực tế.
- Đưa biểu thức bậc hai về dạng bình phương cộng hằng số để chỉ ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
- Nhìn ra khi nào đỉnh nằm ngoài miền cho phép và đáp án phải lấy ở biên.
- Xử lí biến nguyên: chọn số nguyên gần đỉnh nhất và nhận ra khi hai phương án đồng hạng.
- Giải bài thuê xe bằng cách lập bảng các phương án hợp lệ.
Em cần biết trước
- Hằng đẳng thức (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
- Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.
- Tính phần trăm, giảm giá, làm tròn xuống một số nguyên.
- Đọc bảng số liệu và biểu diễn điểm trên mặt phẳng tọa độ.
Tình huống · Biến là gì · Công cụ chính · Nơi có bẫy
Giá bán và lợi nhuận · Giá bán, số thực · Hoàn thành bình phương · Giá trần cắt mất đỉnh
Rào vườn · Cạnh của hình chữ nhật · Bình phương và bất đẳng thức tích · Tường ngắn hơn cần thiết
Giảm giá theo bậc · Số lần giảm, số nguyên · So sánh các số nguyên gần đỉnh · Hai phương án đồng hạng
Thuê xe chở hàng · Số xe, số nguyên · Liệt kê phương án hợp lệ · Làm tròn cho đáp án sai
Giảm giá liên tiếp · Số vé, số nguyên · Nhân hệ số, lấy phần nguyên · Cộng phần trăm thay vì nhân
Ba nhịp của bài
Mỗi bài toán tối ưu có ba nhịp bắt buộc: (1) Mô hình : đặt biến, viết hàm mục tiêu; (2) Miền : biến được phép nhận những giá trị nào; (3) Kết luận : tìm điểm tốt nhất trong miền, rồi trả lời đúng câu hỏi của đề (giá, số lượng hay lợi nhuận).
Trước khi vào học, em làm ba câu khởi động để biết mình đang đứng ở đâu. Sai cũng không sao: phần giải thích dưới mỗi phương án sẽ chỉ ra em hiểu nhầm ở chỗ nào.
Với mọi số thực x, biểu thức x^{2}-6x+11 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
Sai. Đây là số hạng tự do, chưa phải giá trị nhỏ nhất: x=0 cho 11 nhưng x=3 cho giá trị bé hơn.
Đúng. x^{2}-6x+11=(x-3)^{2}+2\ge 2, dấu bằng khi x=3.
Sai. 3 là giá trị của x tại điểm nhỏ nhất, còn đề hỏi giá trị của biểu thức.
Sai. Nhầm dấu khi hoàn thành bình phương: (x-3)^{2}=x^{2}-6x+9, nên phần bù là +2, không phải -9.
Biểu thức 4x-x^{2} đạt giá trị lớn nhất tại x bằng bao nhiêu?
Sai. Với x=4 biểu thức bằng 0, còn x=2 cho 4, lớn hơn.
Sai. x=-2 cho -8-4=-12, rất nhỏ.
Đúng. 4x-x^{2}=4-(x-2)^{2}\le 4, dấu bằng khi x=2.
Sai. Hệ số của x^{2} âm nên đồ thị quay bề lõm xuống, giá trị lớn nhất tồn tại.
Một cửa hàng bán áo với số áo bán mỗi ngày là q chiếc. Em xét các phát biểu sau về biến q.
a) Số áo bán mỗi ngày có thể bằng 12{,}5 chiếc.
Sai: số chiếc áo bán được là số nguyên không âm.
b) Cửa hàng được phép đặt giá tùy ý, không bắt buộc tròn nghìn. Khi đó giá bán x nghìn đồng có thể là 45{,}5.
Đúng: vì giá được đặt tùy ý nên x là số thực dương, và 45{,}5 nghìn tức 45\,500 đồng là hợp lệ. Lưu ý: nếu đề nói giá chỉ thay đổi theo bước 1 nghìn thì x mới buộc là số nguyên.
c) Nếu giá vốn là 40 nghìn thì bán giá 30 nghìn vẫn có lãi.
Sai: giá bán thấp hơn giá vốn thì lợi nhuận âm, tức là lỗ.
d) Đỉnh của đường cong luôn là đáp án của bài toán.
Sai: đỉnh chỉ là đáp án khi nó nằm trong miền cho phép của biến. Đây chính là điều cả bài sẽ chứng minh.
2 Hoàn thành bình phương: công cụ nền của mọi bài tối ưu
Biến biểu thức bậc hai thành bình phương cộng hằng số để đọc ngay giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Ta bắt đầu bằng công cụ đơn giản nhất: một bình phương luôn không âm. Từ đó, muốn biết một biểu thức lớn nhất hay nhỏ nhất bao nhiêu, ta chỉ cần viết nó dưới dạng “bình phương cộng một hằng số”.
GV
Cô Lukato
Hãy nhìn Hình 1. Đường cong trong hình là đồ thị của biểu thức 13-(x-4)^{2}. Em thử đoán: điểm nào cao nhất, và vì sao không điểm nào có thể cao hơn nó?
Hình 1. Đường cong quay bề lõm xuống: mọi điểm đều không cao hơn đỉnh, vì bình phương của một số luôn không âm.
Vì (x-4)^{2}\ge 0 với mọi x, ta có 13-(x-4)^{2}\le 13. Giá trị 13 đạt được khi (x-4)^{2}=0, tức x=4. Ta gọi 13 là giá trị lớn nhất và x=4 là điểm đạt giá trị lớn nhất. Đó là hai câu trả lời khác nhau cho hai câu hỏi khác nhau.
Ghi nhớ: dạng đỉnh
Với a\ne 0:ax^{2}+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}+\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}.Nếu a\gt 0: biểu thức có giá trị nhỏ nhất \dfrac{4ac-b^{2}}{4a}, đạt khi x=-\dfrac{b}{2a}. Nếu a\lt 0: biểu thức có giá trị lớn nhất cũng bằng \dfrac{4ac-b^{2}}{4a}, đạt tại cùng điểm đó.
Vì sao đẳng thức trên đúng? Em khai triển vế phải: a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}=ax^{2}+bx+\dfrac{b^{2}}{4a}. Cộng thêm \dfrac{4ac-b^{2}}{4a}=c-\dfrac{b^{2}}{4a} thì phần \dfrac{b^{2}}{4a} triệt tiêu, còn lại ax^{2}+bx+c. Trong thực hành, em không cần nhớ công thức này: chỉ cần làm lại các bước “rút hệ số, thêm bớt, gom bình phương” như trong hai ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1 · Giá trị lớn nhất của -x^{2}+8x-3
Đề bài: tìm giá trị lớn nhất của f(x)=-x^{2}+8x-3. Trước hết nhìn hệ số của x^{2}: nó bằng -1, âm.
Hệ số âm nghĩa là biểu thức có xu hướng “đi xuống” khi x rất lớn hoặc rất bé, nên ta kì vọng có giá trị lớn nhất chứ không phải nhỏ nhất.
Rút hệ số -1 khỏi hai số hạng chứa x: f(x)=-(x^{2}-8x)-3.
Mục tiêu là làm cho phần trong ngoặc trông như đầu của một bình phương (x-\ldots)^{2}.
Ta có x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}, nên x^{2}-8x=(x-4)^{2}-16. Do đó f(x)=-\left[(x-4)^{2}-16\right]-3=-(x-4)^{2}+16-3=13-(x-4)^{2}.
Số 16 là bình phương của một nửa hệ số 8. Vì có dấu trừ đứng trước ngoặc nên khi bỏ ngoặc, -16 đổi thành +16.
Vì (x-4)^{2}\ge 0 nên f(x)\le 13, dấu bằng khi và chỉ khi x=4. Kết luận: giá trị lớn nhất của f là 13, đạt tại x=4.
Kiểm tra: thay x=4 vào đề: -16+32-3=13. Thay thử x=3: -9+24-3=12\lt 13, hợp lí.
Ví dụ 2 · Giá trị nhỏ nhất của 2x^{2}-12x+7
Đề bài: tìm giá trị nhỏ nhất của g(x)=2x^{2}-12x+7. Hệ số của x^{2} là 2, dương, nên ta kì vọng có giá trị nhỏ nhất.
Quy tắc: hệ số dương thì đồ thị quay bề lõm lên, có đáy; hệ số âm thì quay xuống, có chóp.
Rút hệ số 2 khỏi hai số hạng đầu: g(x)=2(x^{2}-6x)+7.
Chỉ rút khỏi các số hạng chứa x. Số hạng tự do 7 để nguyên ngoài ngoặc.
x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9, suy ra g(x)=2\left[(x-3)^{2}-9\right]+7=2(x-3)^{2}-18+7=2(x-3)^{2}-11.
Lỗi hay gặp là quên nhân -9 với hệ số 2 bên ngoài. Vì vậy ta bỏ ngoặc vuông ngay và nhân từng số hạng.
Vì 2(x-3)^{2}\ge 0 nên g(x)\ge -11, dấu bằng khi x=3. Giá trị nhỏ nhất là -11.
Kiểm tra: g(3)=18-36+7=-11. Thử x=4: 32-48+7=-9\gt -11, hợp lí.
Bẫy thường gặp
Nhiều bạn viết -x^{2}+8x-3=-(x-4)^{2}-3. Kiểm tra bằng cách khai triển: -(x-4)^{2}-3=-x^{2}+8x-16-3=-x^{2}+8x-19, khác đề. Khi thêm 16 để tạo bình phương thì phải bớt đi đúng 16 (nhớ dấu trừ đứng trước ngoặc).
Bẫy thường gặp
Đề hỏi “giá trị lớn nhất của biểu thức” nhưng nhiều bạn trả lời “x=4”. Đó là điểm đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất là 13. Luôn đọc lại câu hỏi cuối cùng của đề trước khi viết đáp số.
GV
Cô Lukato: tại sao nghĩ ra hướng này
Vì sao ta nghĩ đến bình phương? Vì đó là thứ duy nhất em biết chắc chắn không âm. Muốn chặn một biểu thức từ trên hoặc từ dưới, em cần một đại lượng có dấu chắc chắn. Mục tiêu của mọi phép biến đổi trong mục này là làm cho biến x chỉ còn xuất hiện ở đúng một chỗ, bên trong một bình phương.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức -x^{2}+6x+1. Nhập giá trị của biểu thức (không phải giá trị của x).
Gợi ý 1. Chú ý hệ số của x^{2} là -1, nên biểu thức có giá trị lớn nhất.
Gợi ý 2. Viết -x^{2}+6x+1=-(x^{2}-6x)+1, rồi thêm bớt 9 để tạo (x-3)^{2}.
Gợi ý 3. Bỏ ngoặc cẩn thận: -(x-3)^{2}+9+1.
Chính xác! -x^{2}+6x+1=10-(x-3)^{2}\le 10, dấu bằng khi x=3.
Đây là giá trị của x tại điểm lớn nhất. Đề hỏi giá trị của biểu thức: hãy thay x=3 vào.
Đó là số hạng tự do, giá trị tại x=0. Biểu thức còn có thể lớn hơn.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Ta có -x^{2}+6x+1=-(x^{2}-6x+9)+9+1=10-(x-3)^{2}. Vì (x-3)^{2}\ge 0 nên biểu thức không vượt quá 10, và đạt 10 khi x=3. Giá trị lớn nhất là 10.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Tìm giá trị nhỏ nhất của 3x^{2}-12x+20.
Gợi ý 1. Rút hệ số 3 khỏi hai số hạng chứa x: 3(x^{2}-4x)+20.
Gợi ý 2. x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4. Nhớ nhân -4 với 3.
Gợi ý 3. Kết quả có dạng 3(x-2)^{2}+\ldots
Chính xác! 3x^{2}-12x+20=3(x-2)^{2}+8\ge 8.
Bạn đã bỏ hệ số 3: 3(x-2)^{2}=3x^{2}-12x+12, nên phần bù là +8, không phải +16.
Đó là giá trị của x tại điểm nhỏ nhất, không phải giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
3x^{2}-12x+20=3(x^{2}-4x)+20=3\left[(x-2)^{2}-4\right]+20=3(x-2)^{2}-12+20=3(x-2)^{2}+8. Vì 3(x-2)^{2}\ge 0 nên biểu thức \ge 8, dấu bằng khi x=2. Giá trị nhỏ nhất là 8.
Điền số vào chỗ trống. Ta viết -x^{2}+8x-3=-(x-a)^{2}+b. Khi đó a= và b= . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng .
Biểu thức 5-2(x+1)^{2} có tính chất nào sau đây?
Sai. Hạng tử -2(x+1)^{2} luôn không dương nên biểu thức chỉ nhỏ hơn hoặc bằng 5, có thể rất nhỏ; không có giá trị nhỏ nhất.
Đúng. -2(x+1)^{2}\le 0 nên biểu thức \le 5, dấu bằng khi x+1=0, tức x=-1.
Sai về điểm đạt: x+1=0 cho x=-1, không phải 1. Sai dấu khi giải x+1=0 là lỗi rất hay gặp.
Sai. -2 là hệ số, không phải một giá trị mà biểu thức bị chặn dưới.
3 Lập mô hình lợi nhuận và kiểm tra miền của biến
Cùng một hàm lợi nhuận, hai miền khác nhau cho hai đáp án khác nhau.
Bài toán kinh doanh nào cũng chung một công thức: lợi nhuận bằng (giá bán trừ giá vốn) nhân với số lượng bán . Khó khăn duy nhất là số lượng bán phụ thuộc vào giá bán: bán rẻ thì được nhiều, bán đắt thì được ít. Khi đề cho quan hệ ấy, em có ngay một biểu thức bậc hai.
Ví dụ 3 · Định giá áo để lợi nhuận cao nhất
Đề bài: một cửa hàng nhập áo với giá vốn 40 nghìn đồng mỗi chiếc. Nếu bán giá x nghìn đồng mỗi chiếc (với 40\le x\le 130) thì mỗi ngày bán được 130-x chiếc. Tìm giá bán để lợi nhuận mỗi ngày lớn nhất, và lợi nhuận đó.
Ở đây giá x là biến liên tục vì đề cho phép định giá tùy ý trong khoảng [40;130], ví dụ 85{,}5 nghìn đồng cũng được.
Lãi trên mỗi chiếc là x-40 nghìn đồng, số chiếc bán được là 130-x. Vậy lợi nhuận mỗi ngày: P(x)=(x-40)(130-x) nghìn đồng.
Đây là bước “dịch đề sang toán”. Luôn ghi rõ đơn vị của hàm mục tiêu: ở đây là nghìn đồng mỗi ngày.
Khai triển: P(x)=-x^{2}+170x-5200. Hoàn thành bình phương: P(x)=-(x^{2}-170x)-5200=-\left[(x-85)^{2}-7225\right]-5200=2025-(x-85)^{2}.
85 là một nửa của 170 và 85^{2}=7225. Kiểm tra bằng cách khai triển ngược lại ra đúng -x^{2}+170x-5200.
Vì (x-85)^{2}\ge 0 nên P(x)\le 2025, dấu bằng khi x=85. Điểm x=85 thuộc [40;130], nên được phép dùng.
Đây là bước kiểm tra miền: đỉnh có nằm trong khoảng cho phép hay không. Ở ví dụ này là có.
Kết luận: bán giá 85 nghìn đồng mỗi chiếc, mỗi ngày bán 130-85=45 chiếc, lợi nhuận lớn nhất là 2025 nghìn đồng.
Kiểm tra: (85-40)\cdot 45=45\cdot 45=2025. Đúng khớp. Hai thừa số bằng nhau là dấu hiệu của điểm lớn nhất, ta sẽ giải thích ở mục sau.
Bây giờ ta thay đổi một chi tiết nhỏ của đề. Giả sử cửa hàng thuộc một chuỗi bán lẻ có quy định: giá niêm yết không được vượt quá 70 nghìn đồng . Hình 2 vẽ đường cong lợi nhuận và phần giá còn được phép bán.
Hình 2. Giá trần 70 nghìn đồng cắt mất đỉnh của đường cong: phần nét đậm là những giá còn được phép bán.
GV
Cô Lukato
Đỉnh của đường cong vẫn ở giá 85 nghìn đồng, nhưng em không được bán ở giá đó nữa. Em nghĩ điểm cao nhất trong phần nét đậm nằm ở đâu? Hãy đoán trước rồi bấm từng bước bên dưới.