Toán 9: giữ đúng điều kiện khi giải hệ, bất phương trình và tam giác vuông
Học phép biến đổi tương đương, ý nghĩa miền xác định, quy tắc thứ tự và tỉ số lượng giác qua chứng minh, mô hình thực tế, phản ví dụ và tự sửa lỗi.
Toán 9 · Đại số và lượng giác
Toán 9: giữ đúng điều kiện khi giải hệ, bất phương trình và tam giác vuông
Học phép biến đổi tương đương, ý nghĩa miền xác định, quy tắc thứ tự và tỉ số lượng giác qua chứng minh, mô hình thực tế, phản ví dụ và tự sửa lỗi.
1. Một nghiệm phải đi qua tất cả điều kiện
Hệ phương trình, bất phương trình, phân thức và tam giác vuông có vẻ là bốn mảng tách biệt. Thực ra chúng cùng đòi hỏi một điều: mỗi kết luận phải giữ đúng các điều kiện ban đầu . Bài học này xây các công cụ trước, rồi nối chúng bằng những tình huống có thể kiểm tra theo hai cách.
Một nghiệm của phương trình là giá trị làm hai vế xác định và bằng nhau. Nghiệm của một hệ phải làm tất cả các phương trình cùng đúng. Nghiệm của bất phương trình phải làm đúng quan hệ thứ tự. Trong bài toán thực tế, nghiệm còn phải phù hợp với ý nghĩa như giá dương, số vật nguyên hoặc độ dài dương.
Dự đoán. Cặp (4;0) làm đúng x+2y=4. Có đủ để kết luận đó là nghiệm của hệ gồm x+2y=4 và 3x-y=5 không?
Phản hồi: một dòng đúng chưa đủ
Không, vì 3\cdot4-0=12\ne5. Cặp (2;1) mới thỏa cả hai: 2+2\cdot1=4, 3\cdot2-1=5. Một điểm nằm trên một đường thẳng chưa chắc nằm trên đường kia. Chữ “và” trong hệ nghĩa là lấy phần chung của các điều kiện.
2. Hệ bậc nhất: giữ lại thông tin khi khử ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax+by=c, trong đó a,b,c là hằng số và a,b không đồng thời bằng không. Một hệ số có thể bằng không: 0x+2y=6 vẫn là phương trình dạng này, với mọi x và y=3. Nếu cả hai hệ số bằng không thì 0=0 là điều kiện luôn đúng, còn 0=1 là điều kiện bất khả; chúng không được gọi là phương trình bậc nhất hai ẩn theo định nghĩa trên.
Vì sao phép thế và phép cộng có thể dùng được?
Từ x+2y=4, ta viết tương đương x=4-2y. Thay biểu thức ấy vào phương trình còn lại không làm mất hoặc thêm nghiệm, miễn giữ lại quan hệ đã rút . Ngược lại, mọi giá trị y thỏa phương trình sau thế, cùng x=4-2y, đều khôi phục cả hai phương trình.
Với phương pháp cộng, thay dòng thứ hai bằng “dòng thứ hai cộng k lần dòng thứ nhất”, đồng thời giữ dòng thứ nhất, là phép biến đổi hai chiều: muốn quay lại, lấy dòng mới trừ k lần dòng đã giữ. Nhân một phương trình với một số khác không cũng có phép đảo bằng phép chia. Nhân với không thì làm mất thông tin.
Áp dụng vào hệ đang xét: nhân dòng đầu với ba, rồi trừ dòng sau:
3x+6y=12,\qquad3x-y=5.
7y=7,\quad y=1,\quad x=4-2\cdot1=2.
Nếu chỉ viết phương trình 7y=7 rồi bỏ cả hai dòng gốc, mọi cặp có y=1 sẽ có vẻ được nhận. Cặp (0;1) là phản ví dụ: nó thỏa phương trình sau khử nhưng không thỏa hệ. Phải giữ một phương trình để tìm ẩn còn lại.
Đường d_1:x+2y=4 và d_2:3x-y=5 cùng đi qua M(2;1). Điểm P(4;0) nằm trên d_1, không nằm trên d_2. Hai trục dùng cùng tỉ lệ.
Khi nào hệ không có một nghiệm duy nhất?
Xét họ hệ mx-y=2 và 4x-2y=5, với m\in\mathbb R. Nhân dòng đầu với hai, rồi trừ dòng sau:
(2m-4)x=-1.
Nếu m=2, phương trình thành 0=-1, vô lý, nên hệ vô nghiệm. Nếu m\ne2, ta được x=-\frac1{2m-4}, rồi y=mx-2, một nghiệm duy nhất. Không được chia ngay cho 2m-4 trước khi xét khả năng nó bằng không.
Thay số năm ở dòng sau bằng số bốn, trường hợp m=2 cho hai dòng trùng nhau: mọi cặp (x;2x-2) đều thỏa, nên có vô số nghiệm. Hình học tương ứng là hai đường thẳng cắt nhau, song song phân biệt hoặc trùng nhau. Cách khử vẫn dùng được cho cả đường thẳng đứng, trong khi viết hệ số góc có thể không làm được.
Thử đổi dữ kiện và tự kiểm tra
Giải hệ 3x-2y=7, x+4y=7. Trước khi đọc tiếp, chọn ẩn em muốn khử.
Gợi ý: nhân dòng đầu với hai tạo -4y. Cộng với dòng sau: 6x-4y+x+4y=14+7, nên x=3; giữ dòng thứ hai cho 3+4y=7, tức y=1. Thử cả hai: 9-2=7, 3+4=7. Nếu được x=2, kiểm tra xem em đã nhân cả vế phải với hai chưa.
3. Thứ tự: vì sao nhân với số âm phải đổi chiều?
Với hai số thực, a>b có nghĩa a-b>0. Cộng cùng c vào hai vế giữ nguyên hiệu, nên giữ nguyên thứ tự. Nhân với c>0 cho c(a-b)>0, nên ca>cb. Nhân với c<0 cho c(a-b)<0, nên ca<cb: đó là lý do đổi chiều, không phải một mẹo riêng của chuyển vế.
Với c=0, cả hai tích bằng không; thứ tự chặt bị mất. Nếu nhân hoặc chia cho một biểu thức có chứa ẩn, phải biết dấu của nó trên miền đang xét hoặc chia trường hợp. Không áp dụng quy tắc “giữ nguyên” chỉ vì chưa nhìn thấy dấu âm.
Giải 3-2x\le7: trừ ba hai vế được -2x\le4, chia cho âm hai nên x\ge-2. Giá trị biên x=-2 thỏa dấu bằng; x=0 cũng thỏa; x=-3 cho 9\le7, sai. Ba phép thử này kiểm được hướng và đầu mút, nhưng không thay chứng minh tập nghiệm.
Dự đoán. Từ a>b, có luôn suy ra a^2>b^2 hoặc \frac1a<\frac1b không?
Phản ví dụ và điều kiện để sửa phát biểu
Chọn a=1,b=-2: a>b, nhưng a^2=1<4=b^2. Công thức a^2-b^2=(a-b)(a+b) cho biết khi a>b, dấu hiệu của hai bình phương phụ thuộc vào a+b. Nếu a+b>0, thứ tự giữ nguyên; nếu bằng không, hai bình phương bằng nhau; nếu âm, thứ tự đảo.
Với nghịch đảo, phải có ab\ne0, và \frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}. Khi a>b, tử âm. Nếu a,b cùng dấu thì ab>0, nên thứ tự đảo; nếu trái dấu thì ab<0, nên thứ tự giữ. Chọn a=1,b=-1 là phản ví dụ cho phát biểu không có điều kiện. Một phản ví dụ đủ bác bỏ “luôn đúng”; thử nhiều cặp đúng vẫn chưa chứng minh “luôn đúng”.
Đầu mút và miền số không phải chi tiết phụ
Giải 5-2x>-8 được x<\frac{13}{2}. Số nguyên lớn nhất thỏa là sáu; không làm tròn biên thành bảy. Giải 4x-9<2x+3 được x<6. Nếu hỏi nghiệm nguyên dương, có 1,2,3,4,5. Nếu hỏi nghiệm nguyên không âm, thêm số không. Nếu hỏi mọi nghiệm thực, có vô hạn giá trị.
Chuyển giao: có mẫu số nhưng không có ẩn ở mẫu
Giải \frac{x+1}{3}-\frac{2x-1}{2}\ge1, rồi tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn.
Gợi ý: mẫu ba và hai đều dương; nhân hai vế với sáu không đổi chiều. Ta được 2(x+1)-3(2x-1)\ge6, tức -4x+5\ge6, nên -4x\ge1, hay x\le-\frac14. Số nguyên lớn nhất là âm một. Thử âm một cho \frac32\ge1; thử số không cho \frac56\ge1, sai. Nếu được số không, có thể em đã đổi sai chiều ở bước chia cho âm bốn hoặc làm tròn một biên thay vì xét tập số nguyên.
4. Phân thức: phép biến đổi chỉ đúng trên miền xác định
Phân thức \frac{A(x)}{B(x)} chỉ xác định khi B(x)\ne0. Vì vậy cần tìm miền xác định từ biểu thức ban đầu . Sau khi rút gọn, các giá trị bị loại vẫn bị loại: \frac{x-1}{x-1}=1 đúng với x\ne1, không làm phân thức ban đầu có nghĩa tại x=1.
Trên miền mọi mẫu khác không, nhân hai vế với một mẫu chung khác không là phép biến đổi tương đương: có thể chia lại để trở về phương trình ban đầu. Khi tạm giải phương trình sau khử mẫu trên toàn bộ số thực, ta phải giao kết quả với miền ban đầu.
Xét \frac{x}{x-2}-\frac1{x+2}=\frac8{x^2-4}. Trước hết x^2-4=(x-2)(x+2), nên x\ne2 và x\ne-2. Trên miền đó:
x(x+2)-(x-2)=8.
x^2+x-6=0,\qquad(x-2)(x+3)=0.
Hai giá trị ứng viên là 2 và -3. Giá trị hai bị loại; âm ba được nhận. Thế ngược âm ba cho hai vế cùng bằng \frac85. Dấu trừ trước phân thức thứ hai tác động tới toàn bộ x-2, vì vậy -(x-2)=-x+2, không phải -x-2.
Một trường hợp vô nghiệm thực sự. Với \frac{x}{x-4}=\frac4{x-4}, điều kiện x\ne4; khử mẫu buộc x=4, nên không có nghiệm. Cùng mẫu không có nghĩa mọi giá trị đều được nhận.
Chuyển giao: nghiệm hợp lệ không nhất thiết là số nguyên
Giải \frac3{x-1}+\frac2{x+1}=\frac7{x^2-1}.
Gợi ý: loại x=1 và x=-1, rồi nhân với (x-1)(x+1). Ta được 3(x+1)+2(x-1)=7, tức 5x+1=7, nên x=\frac65. Giá trị này khác hai giá trị bị loại. Vế trái bằng 15+\frac{10}{11}=\frac{175}{11}, vế phải bằng \frac7{11/25}=\frac{175}{11}. Nếu em chỉ tìm số nguyên mà đề không yêu cầu, em sẽ bỏ mất nghiệm đúng.
5. Lập hệ từ lời văn: kiểm tra cả ý nghĩa của nghiệm
Giả sử các hộp bút màu cùng giá, các cuốn vở cùng giá, không có giảm giá theo số lượng. Bốn hộp bút màu và ba cuốn vở hết 142 nghìn đồng; hai hộp bút màu và năm cuốn vở hết 148 nghìn đồng. Gọi x,y lần lượt là giá một hộp bút và một cuốn vở, đơn vị nghìn đồng, x>0,y>0. Hai câu nói trở thành
4x+3y=142,\qquad2x+5y=148.
Nhân dòng sau với hai được 4x+10y=296; trừ dòng đầu: 7y=154, nên y=22, x=19. Thử ngược 4\cdot19+3\cdot22=142 và 2\cdot19+5\cdot22=148. Cả hai giá dương, hợp ý nghĩa.
Dự đoán. Muốn mua ba hộp bút và bốn cuốn vở, có thể tính tổng tiền ngay từ hai hóa đơn mà không tìm riêng từng giá không?
Một cách thứ hai: lấy trung bình hai hóa đơn
Giỏ cần mua bằng trung bình số món ở hai giỏ đã cho: 3=\frac{4+2}{2}, 4=\frac{3+5}{2}. Vì giá đơn vị không đổi, cộng hai phương trình cho 6x+8y=290, rồi chia hai được 3x+4y=145. Cách này kiểm tra độc lập kết quả 3\cdot19+4\cdot22=145. Nếu có khuyến mại riêng cho một giỏ, phép lập hệ tuyến tính từ giá cố định không còn đúng như đã viết.
Điều kiện nguyên tùy đại lượng. Giá tính bằng nghìn đồng có thể là số thập phân; số tờ tiền phải là số nguyên không âm. Ví dụ có hai mươi tờ gồm loại hai nghìn và năm nghìn, tổng 82 nghìn: x+y=20, 2x+5y=82 cho y=14,x=6, hợp lệ. Nếu đổi tổng thành 81 nghìn, ta được 3y=41, nên y=\frac{41}{3}, không thể là số tờ. Hệ có nghiệm thực nhưng tình huống đếm vật không có phương án như mô tả.
Tương tự, “không vượt quá” cho phép dấu bằng. Có 200 nghìn đồng, mua ba sách giá x nghìn mỗi quyển và một bút giá 35 nghìn, điều kiện là 3x+35\le200. Kết hợp giá dương được 0<x\le55, không phải chỉ x\le55 nếu đang mô tả giá bán.
6. Lượng giác: tỉ số không đổi khi phóng to tam giác
Xét tam giác ABC vuông tại A, các cạnh có độ dài dương, góc B=\alpha với 0^\circ<\alpha<90^\circ. Cạnh BC đối diện góc vuông là cạnh huyền. Xét góc B, cạnh AC là cạnh đối, cạnh AB là cạnh kề. Đổi sang góc C, đối và kề đổi vai; cạnh huyền không đổi.
Hai tam giác vuông có cùng góc nhọn đồng dạng theo góc-góc, nên các tỉ số cạnh tương ứng bằng nhau. Vì vậy những tỉ số dưới đây phụ thuộc vào góc, không phụ thuộc vào kích thước tam giác:
\sin\alpha=\frac{AC}{BC},\qquad\cos\alpha=\frac{AB}{BC}.
\tan\alpha=\frac{AC}{AB},\qquad\cot\alpha=\frac{AB}{AC}.
Hình dựng theo đúng tỉ lệ 6:8:10. Với góc B, \sin B=\frac45, \cos B=\frac35, \tan B=\frac43. Với góc C, các tỉ số đổi theo vai trò cạnh.
Chứng minh các hệ thức thay vì học rời rạc
Pythagore cho AB^2+AC^2=BC^2. Chia cho BC^2>0 được
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.
Vì AB,AC>0, \tan\alpha\cdot\cot\alpha=\frac{AC}{AB}\cdot\frac{AB}{AC}=1, và \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. Cạnh huyền dài hơn mỗi cạnh góc vuông, nên 0<\sin\alpha<1 và 0<\cos\alpha<1; còn tang có thể lớn hơn một. Tam giác trong hình có \tan B=\frac43>1, là phản ví dụ cho việc áp giới hạn của sin cho mọi tỉ số lượng giác.
Ở biên góc bằng không hoặc góc vuông, tam giác đang xét suy biến; không dùng các định nghĩa từ tam giác không suy biến để chia cho một cạnh bằng không. Bài này chỉ làm việc với góc nhọn; máy tính phải để chế độ độ khi nhập số đo độ.
Từ mô hình đến con số có đơn vị
Mô hình một thang thẳng dài 6\,\mathrm m, chân tường vuông góc mặt đất nằm ngang, thang tạo với mặt đất góc 75^\circ. Trong mô hình hình học, thang là cạnh huyền, độ cao h là cạnh đối, khoảng cách chân thang đến tường d là cạnh kề:
h=6\sin75^\circ\approx5{,}8\,\mathrm m,\qquad d=6\cos75^\circ\approx1{,}6\,\mathrm m.
Các giá trị chưa làm tròn thỏa h^2+d^2=36. Nếu dùng hai số đã làm tròn thì chỉ kiểm tra gần đúng, không đòi đẳng thức tuyệt đối. Đây là mô hình toán học, không phải hướng dẫn lựa chọn góc an toàn khi dùng thang.
Nếu biết d=2\,\mathrm m, ta dùng \cos\alpha=\frac26=\frac13, nên \alpha=\arccos\frac13\approx70{,}53^\circ, làm tròn thành 71^\circ. Kí hiệu \arccos là tìm góc từ cos, không phải nghịch đảo 1/\cos\alpha. Có thể có nhiều góc trong phạm vi rộng, nhưng miền góc nhọn của mô hình xác định lựa chọn cần dùng.
Chuyển giao: biết cạnh kề, tìm cạnh đối
Tam giác ABC vuông tại A, AB=9\,\mathrm{cm}, B=40^\circ. Tìm AC, làm tròn đến 0{,}1\,\mathrm{cm}.
Gợi ý: cạnh biết là kề, cạnh cần tìm là đối, nên dùng tang. AC=9\tan40^\circ\approx7{,}5519\,\mathrm{cm}, làm tròn 7{,}6\,\mathrm{cm}. Nếu làm tròn tang thành 0{,}8 trước, sẽ được 7{,}2, sai mức chính xác yêu cầu. Nếu dùng 9/\cos40^\circ, em đang tìm BC, không phải AC. Góc nhỏ hơn 45^\circ cho cạnh đối ngắn hơn cạnh kề, phù hợp kết quả.
7. Tự sửa một lời giải: tìm bước đầu tiên mất điều kiện
Đừng chỉ so đáp số. Hãy nhìn dòng đầu tiên mà lời giải không còn tương đương với điều kiện ban đầu.
Tình huống A: chia cho một biểu thức có thể bằng không
Một bạn giải x(x-1)=0, chia hai vế cho x và kết luận chỉ có x=1. Hãy dự đoán nghiệm bị mất.
Phản hồi: x=0 cũng thỏa phương trình gốc. Chia cho x chỉ hợp lệ ở trường hợp x\ne0. Tách hai trường hợp hoặc dùng tích bằng không: x=0 hoặc x=1. So với bài phân thức, đây là lỗi làm mất nghiệm, không phải thêm giá trị bị cấm.